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2009年度高考考前数学120个提醒


2009 年度高考考前数学 120 个提醒
一、集合与逻辑 1、(Ⅰ)区分集合中元素的形式:如: ?x | y ? lg x?—函数的定义域; ?y | y ? lg x? —函数的值域;

?( x, y) | y ? lg x? —函数图象上的点集,如(1)设集合 M ? {x | y ? x ? 3} ,集合 N=

?y

| y ? x

2

? ? ? 1, x ? M ? , M ? N ? ___ 则 (答: ??) ) (2) ; 设集合 M ? {a | a ? (1, 2) ? ? (3, 4), ? ? R} , [1,

? ? N ? {a | a ? (2,3) ? ? (4,5) , ? ? R} ,则 M ? N ? _____(答: {(?2,?2)} )(Ⅱ)(1)

M ? a y ? lg(ax2 ? x ? a)的定义域为R ,求 M ;(2) N ? a y ? lg(ax 2 ? x ? a )的值域为R 。
解:(1) ax ? x ? a ? 0 在 x ? R 恒成立,①当 a ? 0 时, ? x ? 0 在 x ? R 不恒成立;②当 a ? 0 时,
2

?

?

?

?

则?

a?0 ? ? a?0 1 1 ? 2 1 1 ? a ? ? M ? ? ,?? ? ; ?? ? ? (2)ax ? x ? a 能取遍所有的正实数。 2 a ? ? 或a ? 2 ?2 ? ?1 ? 4a ? 0 ? 2 2 ?

①当 a ? 0 时,? x ? R ; ②当 a ? 0 时, ? 则

? a?0 ? a?0 1 1 ? 1 ? 0 ? a ? 。 N ? ?0, ? 。 ?? 1 ? 2 ? 2? ? ?a? 2 ? ? ?1 ? 4a ? 0 ? 2 2 ?
2 ?

2、 条件为 A ? B , 在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。 A ? {x | ax ? 2 x ? 1 ? 0} , 如: 如果 A ? R ? ? , 求 a 的取值。(答:a≤0) 3、(1) A ? B ? {x | x ? A且x ? B} ; A ? B ? {x | x ? A或x ? B} CUA={x|x∈U 但 x ? A}; A ? B ? 若 x ? A 则

x ? B ;真子集怎定义?含 n 个元素的集合的子集个数为 2n,真子集个数为 2n-1,非空真子集个数为 2n
-2;如满足 {1, 2} ? M ? {1, 2,3, 4,5} 集合 M 有______个。 (答:7) (2)从集合 A ? ?a1 , a 2 , a3 ,? ? ?, a n ? 到 ?
n 集合 B ? ?b1 , b2 , b3 ,? ? ?, bm ? 的映射有 m 个。 (3) U(A∩B)=CUA∪CUB; U(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=? C C (4)

A∩B=A ? A∪B=B ? A ? B ? CUB ? CUA ? A∩CUB= ? ? CUA∪B=U(5)补集思想常运用于解决否定型或正面较 复杂的有关问题。如:已知函数 f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ? 1 在区间 [?1,1] 上至少存在一个实数
2 2

3 c ,使 f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围。 (答: (?3, ) ) 2 4、 充要条件与命题: (1) 充要条件: ①充分条件: p ? q , p 是 q 充分条件。 若 则 ②必要条件: q ? p , 若 则 p 是 q 必要条件。③充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件。注:如果甲是乙的充分条 件,则乙是甲的必要条件;反之亦然。(2)四种命题:①原命题: p ? q ;②逆命题: q ? p ;③否命 题: p ? ?q ; ④逆否命题: q ? ?p ; 互为逆否的两个命题是等价的。 如: sin ? ? sin ? ” “ ? ? ? ” “ 是 ? ? 的 条件。(答:充分非必要条件)(3)若 p ? q 且 q ?? p ;则 p 是 q 的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非充分条件);(4)注意命题 p ? q 的否定与它的否命题的区别:① 命题 p ? q 的否定是 p ? ?q ;②否命题是 ?p ? ?q ;③命题“p 或 q”的否定是“┐P 且┐Q”;④“p 且 q”的否定是“┐ P 或┐Q”。(5)注意:如 “若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数, 则 a ? b 是奇数”;否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a ? b 是奇数”。
1

二、函数与导数 5、 指数式、 对数式: (1)a n ?
m n

a m ,a

?m n

? 0 ? 1 , (以上 a ? 0, m, n ? N , n ? 1 ) a ? 1 ,log a 1 ? 0 , 且 。 m an

log a a ? 1 , lg 2 ? lg 5 ? 1 , log e x ? ln x ,(2) a b ? N ? log a N ? b ( a ? 0 , a ? 1 , N ? 0 );
(3) log a ?MN ? ? log a M ? log a N ;(4) log a (5) log am bn ?

M ? log a M ? log a N ; N

log a N n ? N ;(7)对数的换底公式: log N ? log m N 。如 log a b ;(6)对数恒等式: a a log m a m

1 log ( ) 2

2

8

的值为___(答:

1 ) 64

6、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0 时奇函数; 2 2 7、二次函数:①三种形式:一般式 f(x)=ax +bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点式 f(x)=a(x-h) +k, h , k =?;零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)( a ? 0 )(轴?);b=0 偶函数;②区间最值:配方后一看开口方向,

y?
二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如: 若函数

1 2 x ? 2x ? 4 2 的定义域、 值域都是闭区间 [2,2b] ,

则 b = (答:2)③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 8、反比例函数: y ? 9、对勾函数 y ? x ?
c c (中心为(b,a)) ( x ? 0) 平移 ? y ? a ? x ?b x

a 是奇函数, a ? 0时, 在区间(??, (0, ?)上为增函数 0), ? x
a ? 0时, 在(0,a ], [? a ,0)递减 , 在(??, a ], [ a ,?? )递增 ?

10、单调性:(Ⅰ)定义法:设 x1 、 x2 ? ?a, b ? , x1 ? x2 ,那么

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f (x) 在 ?a, b ? 上是增函数; x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? ? 0 ? f (x) 在 ?a, b ? 上是减函数。 x1 ? x 2 (Ⅱ)导数法:设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导, 如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数。
( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?
如:已知函数 f ( x) ? x ? ax 在区间 [1, ??) 上是增函数,则 a 的取值范围是____(答: (??,3] );
3

注意:(1) f ?( x) ? 0 能推出 f (x) 为增函数,但反之不一定。如函数 f ( x) ? x 在 (??,??) 上单调递
3

增,但 f ?( x) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分不必要条件。(2)函数单调性与奇偶性的逆用了 吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数范围).如已知奇函数 f (x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若

1 2 ? m ? )(3)复合函数由同增异减判定; 2 3 2 (4)图像判定;(5)作用:比大小,解证不等式。 如函数 y ? log1 ? ? x ? 2x? 的单调递增区间是
f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围。(答: ?
2

2

________(答:(1,2))。 11、奇偶性:(1)定义:f(x)是偶函数 ? f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 ? f(-x)=-f(x);定义域含 零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。(2)奇偶 函数的图象特征:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数; 如果一个函数的图象关于 y 轴对称, 那么这个函数是偶函数. (3) 多项式函数 P( x) ? an x ? an ?1 x
n n ?1

? ? ? a0 的奇偶性: P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系

数全为零; P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零。 12、周期性:(Ⅰ)类比“三角函数图像”得:(1)若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) , 则 y ? f ( x) 必 是 周 期 函 数 , 且 一 周 期 为 T ? 2 | a ? b | ; ( 2 ) 若 y ? f ( x) 图 像 有 两 个 对 称 中 心

A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周期为 T ? 2 | a ? b | ;(3)如果函数 y ? f ( x) 的
图像有一个对称中心 A(a , 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为

T ? 4 | a ? b | ;如:已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是以 2 为周期的奇函数,则方程 f ( x) ? 0 在 [?2, 2] 上至
少有__________个实数根(答:5)。(Ⅱ)由周期函数的定义“函数 f ( x) 满足 f ?x ? ? f ?a ? x ? (a ? 0) , 则 f ( x) 是周期为 a 的周期函数”得:(1)函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 2 a 的周 期函数;(2)若 f ( x ? a) ?

1 1 ( a ? 0 , f ( x) ? 0 )恒成立,则 T ? 2a ;(3)若 f ( x ? a) ? ? f ( x) f ( x)

( a ? 0 , f ( x) ? 0 )恒成立,则 T ? 2a 。 (4) 则 T ? 2a 。 (5) f ( x) ? 1 ?

1 ? 2

f ( x ) ? f 2 ( x ) = f ( x ? a) ( f (x) ? ?0,1? )恒成立,

1 ( f ( x) ? 0 ) 恒成立, T ? 3a 。 则 (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) , f ( x ? a)
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 , 0 ? x1 ? x 2 ? 2a ), 1 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 )

则 T ? 6a 。 (7) f ( x1 ? x2 ) =

则 T ? 4a 。如:①设 f (x) 是 (??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , 则 f (47.5) 等于_____(答: ? 0.5 );②定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上 是 减 函数 , 若 ? , ? 是 锐 角三角 形 的两 个 内角 , 则 f (sin ? ), f (cos ? ) 的大 小 关系 为 _________(答:

f (sin ? ) ? f (cos ? ) );
13、常见的图象变换: (1)函数 y ? f ?x ? a ? 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左 (a ? 0) 或向右

(a ? 0) 平移 a 个单位得到的。如:①要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于__轴对称的图像,

3

再向__平移 3 个单位而得到(答: ; ②函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ? 1 的图象与 x 轴的交点个数有__个(答: y 右); 2)。(2)函数 y ? f ?x ? + a 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 a 个 单位得到的;如:将函数 y ?

b ? a 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与 x?a
( A)a ? ?1, b ? 0 ( B)a ? ?1, b ? R (C )a ? 1, b ? 0

原 图 象 关 于 直 线 y?x 对 称 , 那 么

( D)a ? 0, b ? R (答:C) (3)函数 y ? f ?ax? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来


1 1 得到的。如:①将函数 y ? f ( x) 的图像上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),再将此图 3 a

像沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,所得图像对应的函数为___(答: f (3x ? 6) );②如若函数 y ? f (2x ?1) 是偶函数,则函数 y ? f (2 x) 的对称轴方程是___(答: x ? ? 把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得到的。 14、对称:(Ⅰ)点、曲线的对称性:(1)点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y) ;函数 y ? f ?x ? 关于 y 轴 的对称曲线方程为 y ? f ?? x ? ;(2)点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y) ;函数 y ? f ?x ? 关于 x 轴的对称 曲线方程为 y ? ? f ?x ? ;(3)点 ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x, ? y) ;函数 y ? f ?x ? 关于原点的对称曲线 方程为 y ? ? f ?? x ? ;(4)点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x ? a 的对称点 (?( y ? a), ? x ? a) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关 于直线 y ? ? x ? a 的对称曲线的方程为 f (?( y ? a), ? x ? a) ? 0 。特别地,点 ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称 点为 ( y, x) ; 曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 的对称曲线的方程 f ( y, x) ? 0 ; ( x y 关于直线 y ? ?x 的 点 , ) 对称点为 (? y, ? x) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ?x 的对称曲线的方程为 f (? y, ? x) ? 0 。如己知函数

1 ).(4)函数 y ? af ?x ? (a ? 0) 的图象是 2

x ?3 3 , ( x ? ) ,若 y ? f ( x ? 1) 的图像是 C1 ,它关于直线 y ? x 对称图像是 C 2 ,C 2 关于原点对称 2x ? 3 2 x?2 的图像为 C3 , 则C3 对应的函数解析式是__(答: y ? ? );(5)曲线 f ( x, y) ? 0 关于点 (a, b) 的对 2x ?1 f ( x) ?
称曲线的方 f (2a ? x, ? y) ? 2b

0 。如若函数 y ? x 2 ? x 与 y ? g (x) 的图象关于点(-2,3)对称,则 g (x) =___(答: ? x2 ? 7 x ? 6 )
(6)形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线,对称中心是点 (? d , a ) 。如已知函数图象 C ? 与

cx ? d

c c

C : y( x ? a ? 1) ? ax ? a 2 ? 1关于直线 y ? x 对称,且图象 C ? 关于点(2,-3)对称,则 a 的值为___(答:
2)(7) | f ( x) | 的图象先保留 f ( x) 原来在 x 轴上方的图象,作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称图形,然
4

后擦去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x) 在 y 轴右方的图象,擦去 y 轴左方的图象,然后 作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。如①作出函数 y ?| log 2 ( x ? 1) | 及 y ? log 2 | x ? 1| 的图象; ②若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ) 的图象关于____对称 (答: y 轴) (Ⅱ)函数图像本身的对称性:(1) y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x)

? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f (x) ;(2) y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ?

f (b ? x) ? f (a ? b ? x) ? f (x) ;如已知二次函数 f (x) ? ax 2 ? bx
( a ? 0 )满足条件 f (5 ? x) ? f ( x ? 3) 且方程 f ( x) ? x 有等根,则 f (x) =___(答: ?

1 2 x ? x );(3) 2

(4)y ? f (x) 的 y ? f (x) 的图象关于点 (a,0) 对称 ? f (x) ? ? f (2a ? x) ? f (a ? x) + f (a ? x) =0; 图象关于点 (a, b) 对称 ? f (x) ? 2b ? f (2a ? x) ? f (a ? x) ? f (a ? x) (Ⅲ)两函数图像的对称: (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴) ? 2b ; 对称;(2)函数 y ? f ( x ? a) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称;(3)函数 y ? f ( x) 的图 象关于直线 x ? a 对称的解析式为 y ? f (2a ? x) ;(4)函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (a, 0) 对称的解析式 为 y ? ? f (2a ? x) ; 函数 y ? f (x) 和函数 y ? f (5) 与 y=f(b-x)图像关于直线 x=
?1

( x) 的图象关于直线 y ? x 对称。 两函数 y=f(a+x) (6)

b?a a?b 对称。但若 f(a-x)=f(b+x),则 f(x)图像关于直线 x= 对称; 2 2

提醒:证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;如: 已知函数 f ( x) ?

x ?1? a (a ? R) 。求证:函数 f (x) 的图像关于点 M (a, ?1) 成中心对称图形。 a?x

15、求解抽象函数问题的常用方法是:借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 :(1)正比例 函 数 型 : f ( x) ? kx(k ? 0) --- f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) , f (0) ? 0 , f (1) ? c ; ( 2 ) 幂 函 数 型 :

x f ( x) ' f ( x) ? x? --- f ( xy) ? f ( x) f ( y) , f ( ) ? , f (1) ? ? ; ( 3 ) 指 数 函 数 型 : y f ( y)
f ( x) ? a x --- f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ?

f ( x) , f (1) ? a ( a ? 0 ); (4)对数函数型: f ( y)

x f ( x) ? log a x --- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ,且 f (a) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 );(5) y
三角函数型:①余弦函数 f (x) ? cos x ,正弦函数 g (x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 0 ,lim
x ?0

g ( x) f ( x) ? f ( y ) ? 1。 ② f ( x) ? tan x ---- f ( x ? y ) ? 。如已知 f (x) 是定义在 R 上 1 ? f ( x) f ( y ) x

的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则 f (?

T ) ? __(答:0) 2
5

16、反函数:①函数存在反函数的条件一一映射;②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定 义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为 A,值域为 B, -1 -1 则 f[f (x)]=x(x∈B),f [f(x)]=x(x∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义 域。 已知函数 y ? f ( x) 的图象过点(1,1),那么 f ? 4 ? x ? 的反函数的图象一定经过点_____ 答: 如: ( (1,3) ; ) 17、题型方法总结 (Ⅰ)判定相同函数:定义域相同且对应法则相 (Ⅱ)求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法―― 已 知 所 求 函 数 的 类 型 ( 二 次 函 数 的 表 达 形 式 有 三 种 : 一 般 式 : f ( x) ? ax ? bx ? c ; 顶 点 式 :
2

f ( x) ? a( x ? m)2 ? n ; 零 点 式 : f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ) 。 如 : 已 知 f ( x) 为 二 次 函 数 , 且

f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式 。(答:

f ( x) ?

1 2 x ? 2 x ? 1)(2)代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x) 的表达式。如: 2
2

① 已 知 f (1 ? c o sx) ? s in x, 求 f x

? ? 的 解 析 式 ( 答 : f (x ) ? ?x
2
2

4

? 2 x 2 , x ? [? 2, 2] ) ; ② 若

1 1 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,则函数 f ( x ? 1) =___(答: x 2 ? 2 x ? 3 );③若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, x x
且当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,那么当 x ? (??,0) 时, f (x) =_____(答: x(1 ? 3 x ) )。 这里 需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即 f ( x) 的定义域应是 g ( x) 的值域。 (3)方程的思想―― 对已知等式进行赋值, 从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数的方程组。 ①已知 f ( x) ? 2 f ( ? x) ? 3x ? 2 , 如: 求 f ( x) 的解析式 (答:f ( x) ? ?3x ? 则 f ( x) = (答:

2 1 ) ②已知 f ( x) 是奇函数,g (x) 是偶函数, f ( x) + g (x) = ; 且 , x ?1 3

x )。(Ⅲ)求定义域:(1)使函数解析式有意义(如:分母?偶次根式被开方 x ?1
2

数?对数真数?底数?零指数幂的底数?);2) ( 实际问题有意义; f(x)定义域为[a,b],复合函数 f[g(x)] 若 定义域由 a≤g(x)≤b 解出;(3)若 f[g(x)]定义域为[a,b],则 f(x)定义域相当于 x∈[a,b]时 g(x)的值 域;如:①若函数 y ? f (x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log 2 x) 的定义域为____(答: x | 2
2

?1 ? ? ?

?

2 ? x ? 4 );

?

②若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,1) ,则函数 f ( x) 的定义域为____(答:[1,5])。(Ⅳ)求值域: (1)

3x 配方法: 求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ? [?1, 2] 的值域 如: (答: [4,8]) (2) ; 逆求法 (反求法) 如:y ? : 1 ? 3x
2

通过反解,用 y 来表示 3 ,再由 3 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围(答: (0,1)); (3)

x

x

3cos x 1 的值域为___(答: [?4, ? 换元法:如:① y ? 2sin x ?
2

17 ] );② y ? 2 x ? 1 ? x ? 1 的值域为 8

____(答: ?3, ?? ? )(令 x ? 1 ? t , t ? 0 。运用换元法时,要特别要注意新元 t 的范围);(4)三角

6

有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;如: y ?

2sin ? ? 1 的值域(答: 1 ? cos ?

3 (5)不等式法――利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R ? ) 求函数的最值。如设 x, a1 , a2 , y ( ??, ] ); 2
成等差数列, x, b1 , b2 , y 成等比数列,则

( a1 ? a 2 ) 2 的取值范围是_____(答: (??,0] ? [4, ??) )。(6) b1b2

单 调 性 法 : 函 数 为 单 调 函 数 , 可 根 据 函 数 的 单 调 性 求 值 域 。 如 求 y ? x?

1 (1 ? x ? 9) , x

y ? sin 2 x ?

9 ,y ? 2 1 ? sin 2 x

x?2

? log 3 ? 5 ? x ? 的值域为____(答:(0,

80 11 (7) ) 、[ ,9] 、? 0, ?? ? ); 9 2
2 2

数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。如①已知点 P( x, y ) 在圆 x ? y ? 1上,



3 3 y , ] 、 [? 5, 5] );②求函数 y ? ( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2 的 及 y ? 2 x 的取值范围(答: [ ? 3 3 x?2 x?2 x ? 1 1? 的值域 (答:? ? , ? ) ②求函数 y ? ; 2 x?3 1? x ? 2 2?

值域 (答:[10, ??) ) (8) ; 判别式法: 如①求 y ?

的值域(答:[0, ] )如求 y ?
3 2

1 2

x2 ? x ? 1 的值域(答: (??, ?3] ? [1, ??) )。 (9)导数法;分离参数法: x ?1

如:求函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 40 x , x ?[?3,3] 的最小值。(答:-48)。用 2 种方法求下列函数的值 域:① y ?

x2 ? x ? 3 x2 ? x ? 3 3 ? 2x , x ? (??,0) ;③ y ? , x ? (??,0) ( x ? [?1,1]) ②( y ? x x ?1 3 ? 2x

(Ⅴ)解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证。(Ⅵ)恒成立问题:分离参数法;最值法; 化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立 ? a≥[f(x)]max,; a≤f(x)恒成立 ? a≤[f(x)]min; (Ⅶ) 任意定义在 R 上函数 f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即 f(x)= g ( x)+h( x) 其中 g(x)= f(x)+f(-x) 是偶函数,h(x)= f(x)-f(-x) 是奇函数(Ⅷ)利用一些方法 2 2 (如赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ?x 等)、递推法、反证法等)进行逻辑 探究。如:(1)若 x ? R , f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) 则 ( 奇函数) ; 若 x?R, (2) ? f ( y) , f ( x) 的奇偶性是____ 答: y

f ( x) 满 足
(3)已知 图像如右图

f ( x y? )

则 ( 偶函数) ; f( x f ( y) , f ( x) 的奇偶性是___ 答: ? )

f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时, f ( x) 的
所 示 , 那 么 不 等 式 f ( x) ? c o sx ? 0 的 解 集 是 _____ ( 答 :

O 2 x

1 3
7

(?

?

x ? ? ; 设 对任意 x, y ? R , 都有 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) , , ?1) ? (0,1) ? ( ,3) ) (4) f ( x) 的定义域为 R ? , y 2 2

且 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,又 f ( ) ? 1 ,①求证 f ( x) 为减函数;②解不等式 f ( x) ? f (5 ? x) ? ?2 .(答:

1 2

? 0,1? ? ? 4, 5? ).
18、(1)导数几何物理意义:k=f (x0)表示曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。V=s (t)表示 t 时刻即时速度,a=v′(t)表示 t 时刻加速度。如一物体的运动方程是 s ? 1 ? t ? t ,其中 s 的单位是米, t
2
/ /

的单位是秒,那么物体在 t ? 3 时的瞬时速度为_____(答:5 米/秒)(2)常见函数的导数: ① C ? ? 0 ( C 为常数),② x ⑤ ?ln x ? ?

?

1 , ?log a x

? ?? ? nx ?n ? Q ? ,③ ?sin x ?? ? cos x ,④ ?cos x ?? ? ? sin x ? ? ? 1 x ? ? log e ,⑥ ?e ? ? e , ?a ? ? a ln a .
n n ?1 x x x x

x

a

(3)可导函数四则运算的求导法则:① ?u ? v ? ? u ? ? v ? ,② ?uv? ? u ?v ? uv ? , ?Cu ? ? Cu ?

?

?

?

? u ?v ? uv ? ?u? ?v ? 0? 。(4)复合函数的求导法则:设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u x ' ? ? ' ( x) , ③? ? ? 2 v? v ?
函数 y ? f (u) 在点 x 处的对应点 U 处有导数 yu ? f (u ) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且
' ' ' ' ' y x ? yu ? u x ,或写作 f x' (? ( x)) ? f ' (u )? ' ( x) 。

19、 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义:函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在

P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 )
20、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条; 如:已知函数 f ( x) ? x ? 3 x 过点 P(2, ? 6) 作曲线
3

y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程(答: 3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0 )。 ⑵研究单调性步骤:分析
y=f(x)定义域;求导数;解不等式 f (x)≥0 得增区间;解不等式 f (x)≤0 得减区间;注意 f (x)=0 的点; 如:设 a ? 0 函数 f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上单调函数,则实数 a 的取值范围___(答: 0 ? a ? 3 );⑶
3
/ / /

求极值、最值步骤:求导数;求 f ?( x) ? 0 的根;检验 f ?(x) 在根左右两侧符号,若左正右负,则 f(x)在该根处 取极大值;若左负右正,则 f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小 的是最小值. 如:①函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5 在[0,3]上的最大值、最小值分别是__(答:5;? 15 );
3 2

②已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 在区间[-1,2 ]上是减函数,那么 b+c 有最__值__答:大, ?
3 2

15 )③ 2

方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根的个数为__(答:1)
3 2

特别提醒(Ⅰ) x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号,而不仅是 f ? ? x0 ? =0, f ? ? x0 ? =0 是 x0 为 极值点的必要而不充分条件。(Ⅱ)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑 f ?( x0 ) ? 0 ,又要考虑检 验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记!如:函数
3 2 f ? x? ? x ? a x ? b x 2 ? 在 a

x1 处有极小值 10,则 a+b 的值为____(答:-7)(Ⅲ)导数与函数的单 ?
8

调性的关系:(1) f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系: f ?( x) ? 0 能推出 f (x) 为增函数,但反之不一定。 如函数 f ( x) ? x 3 在 (??,??) 上单调递增,但 f ?( x) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分不必要条 件。(2) f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系: f (x) 为增函数,一定可以推出 f ?( x) ? 0 ,但反之不一定, 因为 f ?( x) ? 0 ,即为 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 。当函数在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数,函 数不具有单调性。∴ f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的必要不充分条件。 21、 定积分: (1) 牛顿-来布尼兹公式: f (x) 是区间 ?a, b ? 上的连续函数,F (x) 是函数 f (x) 在区间 ?a, b ? 设 上的任一原函数,即 F ( x) ? f ( x) ,则:
'

?

b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a)(在定积分计算时,只需写出 f (x) 的

一个原函数 F (x) ,不需加上任意常数 C)(2)常用的积分公式:



?

b

a

x n dx ?

x n ?1 n ?1

b a

?

b n ?1 a n ?1 ? (n ? R, n ? ?1) ; n ?1 n ?1
; ④
?



?

b

a

1 dx ? ln x x

b a

? ln b ? ln a





?? sin xdx ? (? cos x) ? ? cos ? ? cos?

?

?

?? cos xdx ? sin x ? ? sin ? ? sin ?

?





??

?

a x dx ?

b a a? a? ? ;⑥ ? e x dx ? e b ? e a 。(3)①若 f (x) 是奇函数,则 ? f ( x)dx ? 0(a ? 0) 。如: a ?a ln a ln a

x3 ?? ? 5 ? cos x dx ? 0 2
2

?

; ② 若 f (x) 是 奇 函 数 , 则

?

a

?a

f ( x)dx ? 2? f ( x)dx(a ? 0) 。 如 :
0

a

s ?? ?2 c o dx ? 2?02 c o xs d =x2 sin x 2 =2; 0
2

?

?

?

三、立几 22、位置和符号:①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a∥α 、 a∩α =A (a ? α ) 、a ? α ③平面与平面:α ∥β 、α ∩β =a
a // b ? ? ? ?? ? // ? ? ? ? 23、常用定理:①线面平行 b ? ? ? ? a //? ; ? ? a //? ; a ? ? ? ? a //? ; a ? ?? a ? ?? a ?? ? ? ?

②线线平行: a ? ?

? // ? ? ? a ? ?? a // b ? ? ? ? a // b ; ? a // b ; ? ? ? ? a ? ? a // b ; ? ? ? c // b ; ? b ??? a // c ? ? ? ? ? b? ? ? ? ? b? ? ?

a //?

a ? ?,b ? ? ? a ??? ? // ? ? ? ③面面平行: a ? b ? O ? ? ? // ? ; ? ? ? // ? ; ? ? ? // ? ; a ? ?? ? // ? ? ? a // ? , b // ? ?

④线线垂直: a ? ? ? ? a ? b ;所成角 90 ; a ? ? ?
0

b ? ??

PO ? ? ? ? (三垂线逆定理?); ? ? a ? PA ? a ? AO ?

⑤线面垂直: a ? b ? O

??? a ? ? ,b ? ? ? ? a // b ? ? // ? ? ? ? ?? b ?? ??a ? ? ; ? l ? ? ;? ? ? ? l ? ? a ? ? ; ? a ? ?? a ? ?? a ? ?, a ? l? l ? a, l ? b ? ? ?



9

⑥面面垂直:二面角 90 ;

0

a ? ?? a // ? ? ??? ? ? ; ??? ? ? ; a ?? ? a ? ??

24、求空间角:(Ⅰ)异面直线所成角 ? 的求法:(1)范围: ? ? (0,

?
2

] ;(2)求法:平移以及补形法、

向量法。如:①正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长相等, E 是 PC 的中点,那么异面直线 BE 与 PA 所成 的角的余弦值等于__(答:

3 );②在正方体 AC1 中,M 是侧棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD 的中 3

心,P 是棱 A1B1 上的一点,则 OP 与 AM 所成的角的大小为__(答:90°);(Ⅱ)直线和平面所成的 角:(1)范围: [0 ,90 ] ;(2)斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。(3)求法:作垂线找射 影或求点线距离(向量法);如:①在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=1,D 在棱 BB1 上,BD=1,
? ?

6 );②正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 4 1 AB、C1D1 的中点,则棱 A1B1 与截面 A1ECF 所成的角的余弦值是____(答: );(Ⅲ)二面角:二 3 S' 面角的求法: 定义法、 三垂线法、 垂面法、 面积射影法: S射=S原 ? cos ? , 面积射影定理: S ? 即 (平 cos? ' 面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? )
则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为___(答:arcsin 、转化为法向量的夹角。如:①正方形 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 B-A1C-A 的大小为___(答: 60 ); ②正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°,则二面角 C1—BD1—B1 的大小为____(答: arcsin
?

6 );(3)从点 P 出发引三条射线 PA、PB、PC,每两条的 3

夹角都是 60°,则二面角 B-PA-C 的余弦值是___(答:

1 ); 3

25、平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系 三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ? 顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱 垂直) ? 顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等) ? 顶点在底面射影为底面内心;正 棱锥各侧面与底面所成角相等为θ ,则 S 侧 cosθ =S 底;正三角形四心?内切外接圆半径? 26、空间距离:①异面直线间距离:找公垂线;②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离:直 接法、等体积、转移法、垂面法、向量法 d ? 27、直线 AB 与平面 ? 所成的角:

PA ? n n

.③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;

sin ? ? cos AB, m ?

AB ? m AB ? m

,故

? ? arcsin

AB ? m AB ? m
m?n m?n

,其中 m 为平面 ? 的法向量。

28、锐二面角 ? ? l ? ? 的平面角:

cos? ? cos m, n ,故 ? ? arccos

m?n m?n

或 ? ? ? ? arccos

,其中 m 、n 为平面 ? 、 ? 的法向量。

29、空间两点间的距离公式:若 A?x1 , y1 , z1 ? B?x 2 , y 2 , z 2 ? ,则
10

d A, B ?

?x 2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2 .
1 a
2

★30、点 Q 到直线 l 的距离: h ? 量 b ? PQ 。 31、点 B 到平面 ? 的距离: d ?

?a ? b ? ? ?a ? b? ,点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a ? PA ,向
2

AB ? n n

, n 为平面 ? 的法向量, AB 是面 ? 的一条斜线, A ? ? 。 ×R; 纬线半径 r=Rcos

32、 求球面两点 A、 距离①求|AB|②算球心角∠AOB 弧度数③用公式 L 球面距离=θ B 纬度。S 球=4π R ;V 球=
2

球心角

4 3 πR; 3

33、平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变; 34、(1)设直线 OA 为平面 ? 的斜线,其在平面内的射影为 OB , OA 与 OB 所成的角为 ? 1 , OC 在平面

? 内,且与 OB 所成的角为 ? 2 ,与 OA 所成的角为 ? ,则 cos? ? cos?1 cos? 2 ;(2)从点 O 引射线 OA、OB、
OC, 若∠AOB=∠AOC, A 在平面 BOC 的射影在∠BOC 平分线上; A 到 OB 与 OC 距离相等,则 A 在平面 BOC 则 若 的射影在∠BOC 平分线上; 35、常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体 积转化⑤线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行⑥线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直⑦有中点等特殊点线,用 “中位线、重心”转化。 36、三面角公式:AB 和平面所成角是θ ,AB 在平面内射影为 AO,AC 在平面内,设∠CAO=α ,∠BAC=β , 则 cosβ =cosθ cosα ;长方体:对角线长 l ? a 2 ? b 2 ? c 2 ;若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成 角分别为α ,β ,γ ,则有 cos α +cos β +cos γ =1;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α , 2 2 2 β ,γ ,则 cos α +cos β +cos γ =2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长; 特别指出:立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即:
2 2 2

线∥线 ? ? 线∥面 ? ? 面∥面 ? ? 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ? 线⊥面 ? ? 面⊥面 ???? ? ?
四、 解几

线∥线 ? ? 线⊥面 ? ? 面∥面 ? ?
0

37、倾斜角α ∈[0,π ],α =90 斜率不存在;斜率 k=tanα = 方向向量 v ? ?a, b ? ,则直线的斜率为 k =

y2 ? y1 ,其中 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ;直线的 1 x2 ? x1

b (a ? 0) 。 a 38、直线方程:点斜式: y-y1=k(x-x1) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k );斜截式:y=kx+b( b 为直 1
y ? y1 x ? x1 ( P ( x1 , y1 ) 、 ? 1 y2 ? y1 x2 ? x1

线 l 在 y 轴上的截距); 一般式:Ax+By+C=0(其中 A、 不同时为 0); B 两点式:

P2 ( x2 , y2 ) x1 ? x2 , y1 ? y2 );截距式: x ? y ? 1 (其中 a 、 b 分别为直线在 x 轴、 y 轴上的截距,且
a b

a ? 0, b ? 0 );求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,直线 Ax+By+C=0 的方向向量为
a =(A,-B)。

39、两直线平行和垂直①若斜率存在 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 则 l1∥l2 ? k1∥k2,b1≠b2; l1⊥l2 ? k1k2=-1;②若 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0 ,③若 A1、A2、B1、B2 都不为零 l1∥l2 ?
|C ?C | A1 B1 C1 ;④l1∥l2 则化为同 x、y 系数后距离 d= 1 2 。 ? ? A2 B2 C2 A2 ? B 2

11

k ?k 40、l1 到 l2 的角 tanθ = k2 ? k1 ;夹角 tanθ =| 2 1 |;点线距 d= | Ax0 ? By0 ? C | ;
1 ? k2 k1

1 ? k2 k1

A2 ? B 2
2 2 2 2 2 2

41、(Ⅰ)圆的方程:①标准方程:(x-a) +(y-b) =r ;②一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0(D +E -4F>0)③参 数方程: ?
?x ? a ? r cos ? ;④直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 ( A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 圆的直径的 ?y ? b ? r sin?
2 2 2

2

端点)。(Ⅱ)圆中有关重要结论:(1)若 P( x0 , y0 )是圆 x ? y ? r 上的点,则过点 P( x0 , y0 )的切线 方程为 xx0 ? yy0 ? r ;(2)若 P( x0 , y0 )是圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上的点,则过点 P( x0 , y0 )的切线
2

2

2

2

方程为 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 。(3)若 P( x0 , y0 )是圆 x ? y ? r 外一点,由 P( x0 , y0 )
2

2

2

2

向圆引两条切线, 切点分别为 A、B,则直线 AB 的方程为 xx0 ? yy0 ? r 。(4)若 P( x0 , y0 )是圆
2

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 外一点, 由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切点分别为 A、B,则直线 AB 的方程为
( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2 。(Ⅲ)圆的切线方程:(1)已知圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 。
①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上, 则切线只有一条, 其方程是 x0 x ? y0 y ? 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ?

D( x0 ? x) E ( y0 ? y) ? ? F ? 0 表示过两个切点的切点弦方程.②过圆 2 2

D( x0 ? x) E ( y0 ? y) ? ?F ?0; 2 2

外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,注意不要漏掉 平行于 y 轴的切线.③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线。 (2)已知圆 x ? y ? r . ①过圆上的 P ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ; ②斜率为 k 的圆的切线 0
2 2 2
2

方程为 y ? kx ? r 1 ? k 。
2

42、若(x0-a) +(y0-b) <r (=r ,>r ),则 P(x0,y0)在圆(x-a) +(y-b) =r 内(上、外) 43、直线与圆关系,常化为线心距与半径关系,如:用垂径定理,构造 Rt△解决弦长问题,又:d>r ? 相 离;d=r ? 相切;d<r ? 相交。 44、圆与圆关系常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为 d,两圆半径分别为 r,R 则 d>r+R ? 两圆相 离;d=r+R ? 两圆相外切;|R-r|<d<r+R ? 两圆相交;d=|R-r| ? 两圆相内切;d<|R-r| ? 两圆内 含;d=0,同心圆。 2 2 2 2 45、把两圆 x +y +D1x+E1y+C1=0 与 x +y +D2x+E2y+C2=0 方程相减即得相交弦所在直线方程: (D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线 f1(x,y)=0 与曲线 f2(x,y)=0 交点的 曲线系方程为: f1(x,y)+λ f2(x,y)=0 46、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 47、椭圆①方程:
2

2

2

2

2

2

2

2

2

| PF | x 2 y2 ?x ? a cos ? ②定义: =e<1;|PF1|+|PF2|=2a>2c③ ? ? 1 (a>b>0);参数方程 ? d 相应 y ? b sin? a 2 b2 ?
2 2

e= c ? 1 ? b2 ,a =b +c ④长轴长为 2a,短轴长为 2b⑤焦半径左 PF1=a+ex,右 PF2=a-ex;左焦点弦
a a

2

AB ? 2a ? e( x A ? x B ) ,右焦点弦 AB ? 2a ? e(x A ? x B ) ⑥准线 x= ?

2 a2 2b 2 、通径(最短焦点弦) ,焦准距 p= b ⑦ c a c

12

S?PF1F2 = b 2 tan ? ,当 P 为短轴端点时∠PF1F2 最大,近地 a-c 远地 a+c;
2

48、双曲线:①方程:

2 x 2 y2 | PF | 2 2 2 =e>1;||PF1|-|PF2||=2a<2c③e= c ? 1 ? b 2 ,c =a +b ? 2 ? 1 (a,b>0)②定义: 2 d 相应 a a b a

④四点坐标?x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦 点不同);到焦点距离常化为到准线距离⑥准线 x= ?
S?PF1F2 = b 2 cot
2 a2 2b 2 、通径(最短焦点弦) ,焦准距 p= b ⑦ c a c

?
2

⑧渐进线
2

b x 2 y2 ? 2 ? 0 或 y ? ? x ;焦点到渐进线距离为 b; 2 a a b p ,0), 2

49、 抛物线: ①方程: =2px②定义: y |PF|=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点; 范围?轴?焦点 F( x,y 准线 x=-

2 p p 2 ,④焦半径 AF ? x A ? ;焦点弦 AB =x1+x2+p;y1y2=-p ,x1x2= p 其中 A(x1,y1)、 B(x2,y2) 2 2 4

⑤通径 2p,焦准距 p; 50、B>0,Ax+By+C>0 表示直线斜上侧区域;Ax+By+C<0 表示直线斜下侧区域; A>0,Ax+By+C>0 表示直线斜右侧区域;Ax+By+C<0 表示直线斜左侧区域; 求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系。 51、过圆 x +y =r 上点 P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r ;过圆 x +y =r 外点 P(x0,y0)作切线后切点弦方程:
2 2 2 2 2 2 2

x 0 x ? y0 y ? r 2 ;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直 x 轴.
52、对称:①点(a,b)关于x轴、y 轴、原点、直线 y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m 的对称点分别是 (a,-b),(-a,b),(-a,-b),(b,a),(-b,-a),(b-m、a+m),(-b+m、-a+m)②点 (a,b)关于直线 Ax+By+C=0 对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线 f(x,y)=0 关于点(a,b)对称 曲线为 f(2a-x,2b-y)=0;关于 y=x 对称曲线为 f(y,x)=0;关于轴 x=a 对称曲线方程为 f(2a-x,y)=0;关于 轴 y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题. 53、相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意 二次项系数为 0 的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径 公式,其它用弦长公式 AB ?
1 ? k 2 ? x 2 ? x1 ? (1 ? k 2 )
2 2

?x | ax |

? 1?

?y 1 1 ? y 2 ? y1 ? (1 ? 2 ) k | ay | k2

②涉及弦中点与斜率问题
2

常用“点差法”。如: 曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (a,b>0)上 A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为 M(x0,y0),则 KABKOM= ? b 2 ;对抛
a b
a
2 物线 y =2px(p≠0)有 KAB= 2p

y1 ? y 2

54、轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点 P(x,y)依赖 于动点 Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用 x、y 表示 x1、y1,再将 x1、y1 代入已知曲线即得所求方 程)、参数法、交轨法等. 55、解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误②求圆锥曲线方程常用 待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设 2 2 技巧以简化计算。如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为 Ax +Bx =1;共渐进线
b x 2 y2 y ? ? x 的双曲线标准方程可设为 2 ? 2 ? ? (? 为参数,? a a b

≠0);抛物线 y =2px 上点可设为(

2

2 y0 ,y0);直线的 2p

另一种假设为 x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义. 56、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n ? ;(2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,则已知 OA ? OB 过

?

?

? AB 的中点;(3)给出 PM ? PN ? 0 ,则已知 P 是 MN 的中点;(4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,
13

?

?

则已知 A, B 与 PQ 的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一: AB // AC ; ① ②存在实数 ? , 使AB ? ? AC ;

?

?

使 O B ③ 若 存 在 实 数 ? , ? ,且 ?? ?? 1, O C ? ? A ? ?O , 则 已 知 A, B, C 三 点 共 线 。 ( 6 ) 给 出

? ? ??

? ? ??

? ? ??

OA ? ? OB ,等于已知 P 是 AB 的定比分点,? 为定比,即 AP ? ? PB 。 (7) 给出 MA ? MB ? 0 , 1? ? 则 已 知 MA ? MB , 即 ?AMB 是 直 角 ; 给 出 MA ? MB ? m ? 0 , 则 已 知 ?A M B是 钝 角 ; 给 出 ? ? ? MA MB ? MA ? MB ? m ? 0 ,则已知 ?AMB 是锐角,(8)给出 ? ? ? ? ? MP ,则已知 MP 是 ?AMB 的平 ? MA MB ? ? ? OP ?
分线(9)平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,则已知 ABCD 是菱形:(10) 平 行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,则已知 ABCD是矩形:(11)在 ?ABC 中,给出

??? ???? ?

??? ???? ?

OA ? OB ? OC ,则已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直
平分线的交点);(12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,则已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的 重心是三角形三条中线的交点);(13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则已知 O 是 ?ABC 的 垂 心 ( 三 角 形 的 垂 心 是 三 角 形 三 条 高 的 交 点 ) ; ( ★ 14 ) ?ABC 中 , 给 出

2

2

2

??? ? ???? AB AC ? OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ) (? ? R ? ) , AP 通 过 ?ABC 的 内 心 ; ( ★ 15 ) 在 ?ABC 中 , 给 出 | AB | | AC | a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 则已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三 ???? 1 ??? ???? ? 条角平分线的交点);(16) 在 ?ABC 中,给出 AD ? AB ? AC ,则已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的 2 中线;(17)三角形五“心”向量形式的充要条件:设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长 ? ? 2?? ?2 ? ?? 2 ? ? ? ? C 分 别 为 a, b, c , 则 ① O 为 ?ABC 的 外 心 ? O A ? O B ? O 。 ② O 为 ?ABC 的 重 心 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? O A ? O B? O C。③ O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA 。④ O 为 ?ABC 的内心 0 ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 。⑤ O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC 。

?

?

五、算法 57、算法的含义、程序框图(1)了解算法的含义及思想(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构: 顺序、条件分支、循环 58、基本算法语句:输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。 59、算法案例:(1)求最大公约数:辗转相除法、更相减损术。(对于两个以上的正数求最大公约数可 以先求其中两个数的最大公约数,在将刚得到的最大公约数与下一数在一起求最大公约数,如此下 去 ……………. ) 。 ( 2 ) 进 制 数 的 转 化 : ① 将 101111011 ?2 ? 转 化 为 十 进 制 的 数 ; 解 :

1 0 1 1 1 1 ?0? 1 1 ? 28 ? 0 ? 27 ? 1? 26 ? 1? 25 ? 1? 24 ? 1? 23 ? 0 ? 22 ? 1? 21 ? 1? 20 =379. ②将 53 ?8 ? 转化 2 =
为二进制的数。解:(2) 53 ?8 ? = 5 ? 8 ? 3 ? 8 = 43 ?10 ? =43
1 0

2 43 余 数 1 2 21 1 2 10 2 5 0 1 2 2 0 2 1 0 1
∴ 53 ?8 ? = 101011 ?2 ?

将余数从下到上的顺序改排成从左到右的顺序即可。

14

③已知 n 次多项式

Pn ( x) ? a0 x n ? a1 x n ?1 ? ? ? an ?1 x ? an

,如果在一种算法中,计算

x0 k

(k=2,3,4,?,

n)的值需要 k-1 次乘法,(1)计算

P3 ( x0 )

的值需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法),那么计算

Pn ( x0 )

的值需要多少次运算?(2)若采取秦九韶算法: n-1),计算 2n;

P0 ( x) ? a0 , Pk ?1 ( x) ? xPk ( x) ? ak ?1 Pn ( x0 )

(k=0, 1,2,?,

P3 ( x0 )

的值只需 6 次运算,那么计算

的值共需要多少次运算?答案: (1)(n+3); (2)

④利用秦九韶算法计算多项式 f(x) =3x ? 4 x ? 5 x ? 6 x ? 7 x ? 8 x ? 1 当 x=4 的值的时候, 需要做乘法和
6 5 4 3 2

加法的次数分别为(A)A、6,6 B、5,6 C、5,5 D、6,5 六、概率 60 、 ⑴ 必 然 事 件 P(A)=1 , 不 可 能 事 件 P(A)=0 , 随 机 事 件 的 定 义 0<P(A)<1 。 两 条 基 本 性 质 ①

pi ? 0(i ? 1,2, ?); ②P1+P2+?=1。⑵等可能事件的概率(古典概率):P(A)=m/n,理解这里 m、n的意
义。;如: 设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率:①从中任取 2 件都是次品;②从 中任取 5 件恰有 2 件次品;③从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品;④从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 (答: ①

2 10 44 10 ; ② ; ③ ; ④ ) ⑶互斥事件(不可能同时发生的, 这时 P(A?B)=0): P(A+B)=P(A)+P(B); 21 21 15 125

如:有 A、B 两个口袋,A 袋中有 4 个白球和 2 个黑球,B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球,从 A、B 袋中各

8 取两个球交换后,求 A 袋中仍装有 4 个白球的概率。(答: 21 );⑷对立事件(A、B 对立,即事件 A、B
不可能同时发生,但 A、B 中必然有一发生。这时 P(A?B)=0):P(A)+P( A )=1;⑸独立事件(事件 A、B 的 发生相互独立,互不影响):P(A?B)=P(A)·P(B);如①设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是____(答:

1 ,A 发 9

2 );②某同 3

学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得 100 分、100 分、 200 分,答错得 0 分,假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6,且各题答对与 否相互之间没有影响,则这名同学得 300 分的概率为____;这名同学至少得 300 分的概率为______(答: (K) k k k 0.228;0.564);⑹独立重复事件(贝努里概型) Pn =Cn p (1-p) 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中恰 . 好发生了 k 次的概率。P 为在一次独立重复试验中事件 A 发生的概率。特殊:令 k=0 得:在 n 次独立重 .... . . (0) 0 0 n n 复试验中,事件 A 没有发生的概率为 Pn =Cn p (1-p) =(1-p) , 令 k=n 得:在 n 次独立重复试验中,事 ........ 件 A 全部发生的概率为 Pn =Cn p (1-p) =p ........ 61、几何概型: P( A) =
(n) n n 0 n

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

62、求事件的概率首先要正确判断属于那一种事件的概率。 63、要学会正确使用排列组合知识解决概率问题。 64、概率解答过程的书写一定要以文字为主,分步进行,尽量得分。 65、 ⑴随机变量 ? 的所有可能取值分别为 x1 ,x 2 , . . . x n , . . . 对应的概率分别为 p1 , p 2 , p 3 , . . .
15

则离散型随机变量 ? 的概率分布为

?
p

x1

x2
p2

? ?

xn pn

? ?

p1

其中 p1 ? p 2 ? ? ? ? ? p n ? ? ? ? ? 1 ,则(1) E? ? x1 p1 ? x2 p 2 ? ? ? ? ? xn p n ? ? ? 为 ? 的数学期望;(2)

D? ? ( x1 ? x ) 2 ? p1 ? ( x2 ? x ) 2 ? p 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ? p n ? ? ? 为 ? 的 方 差 。 其 中 x 为 x1 ,

x 2 ,...... x n 这 n 个数的算术平均数。(3)数学期望与方差的性质: E ?a? ? b ? ? aE? ? b ,
k D?a? ? b ? ? a 2 D? ,D? ? E (? 2 ) ? ( E? ) 2 (4)①独立事件重复试验: p n ?k ? ? C n p k q n ?k ( p ? q ? 1)

为 A 在 n 次独立重复试验中恰发生 k 次的概率 (记在一次试验中事件 A 发生地概率为 p )②若 ? ~ B(n, p) 。 ( ? 服从二项分布),记
k p n ?k ? ? b(k ; n, p) ? C n p k q n ?k

,数学期望是: E? ? np ,方差是: D? ? npq 。

如(1)袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是 _____(答: );(2)冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每次饮用时从中任意取 1 瓶甲种或乙种饮料, 取用甲种或乙种饮料的概率相等,则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下 3 瓶的概率为____(答:

1 9

15 ) 128

⑷①几何分布:在独立重复试验中,某事件 A 第一次发生时所作试验的次数 ? 是一个取值为正整数的离散 型随机变量。 ②若 ? ~ G ( p)( ? 服从几何分布) 记 p?? ? k ? ? g (k ; p) ? q ,
k ?1

p ,数学期望是:E? ? 1 , p

方差是: D? ? 七、统计

q 。 p2

66、总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越 大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图; (1)平均数(又称期望值)设数据 x1 , x 2 , x3 , ?,x n ,则① x ?
'

1 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) n

' ' ' ②设 x1 ? x1 ? a , x 2 ? x 2 ? a ,??? x n ? x n ? a ,则 x ? x ? a

1 [ f1 x1 ? f 2 x2 ? ? ? f i xi ], f1 ? f 2 ? ? ? f i ? n n 2 2 1 (2)方差:衡量数据波动大小 S 2 ? ? x1 ? x ? ?? ? xn ? x ? ( xi ? x 较小) ? ? ? n? 2 1 2 1 ' 2 2 ' ( 数 据 较 小 ) ? [ x1 ? x2 ? ? xn ? n x ] ? [( x1 ? x ' ) 2 ? ?? ? ( xn ? x ' ) 2 ] n n
③x ?

?

?

?

?

16

2 1 '2 '2 '2 ? [ x1 ? x2 ? ?? xn ? n x ' ] n

?

1 n 1 n ? ( xi ? x ) 2 ? n ? ( xi2 ? nx 2 ) (数据较大) n i ?1 i ?1

S 2 ---标准差。学会用修正的样本方差 S * 2 ? 1 [( x ? x ) 2 ? ( x ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( x ? x ) 2 ] 1 2 n
n ?1
67、了解三种抽样的意义,理解样本频率分布的意义。 (Ⅰ)简单随机抽样:设一个总体的个数为 N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取 时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样,常用抽签法和随机 数表法。(Ⅱ)系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的 规则,从每一部分抽取 1 个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样)。系统 抽样的步骤可概括为:(1)将总体中的个体编号;(2)将整个的编号进行分段;(3)确定起始的个体 编号;(4)抽取样本。(Ⅲ)分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分, 然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样,其中所分成的各部分叫做层。 68、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用 于个体有明显差异时)共同点:每个个体被抽到的概率都相等

n 。如某中学有高一学生 400 人,高二学生 N

300 人,高三学生 300 人,现通过分层抽样抽取一个容量为 n 的样本,已知每个学生被抽到的概率为 0.2, 则 n= ___(答:200); 69、总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,即用样本平均数估计总体 平均数(即总体期望值――描述一个总体的平均水平)直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距 的商(而不是频率),横轴一般是数据的大小,小矩形的面积表示频率。样本平均数:

1 1 n x ? ( x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ) ? ? xi 样本方差: n n i ?1
2 1 n 1 1 s 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ? ? ( xi ? x) 2 = (x12+x22+ x32+?+xn2-n x )方差和标 n i ?1 n n

准差用来衡量一组数据的波动大小,数据方差越大,说明这组数据的波动越大。
2 提醒:若 x1 , x2 , ?, xn 的平均数为 x ,方差为 s ,则 ax1 ? b, ax2 ? b,?, axn ? b 的平均数为 ax ? b ,方差
2 x , x , ?, x n 为 a s 。如数据 1 2 的平均数 x ? 5 ,方差 S ? 4 ,则数据 3x1 ? 7,3x2 ? 7,?,3xn ? 7 的平均数和

2 2

标准差分别为 A.15,36 B.22,6 C.15,6 D.22,36

(答:B)
? 1 e 2? ? ( x?? )2 2? 2

70、正态分布:⑴正态分布概念:若连续型随机变量 ? 的概率密度函数为 f ( x) ? 其中 ? , ? 为常数,且 ? ? 0 ,则称 ? 服从正态分布,简记为 ? ~ N ? , ?

,x?R ,

?

2

? 。 f ? x ? 的图象称为正态曲线。

⑵正态分布的期望与方差若 ? ~ N ? , ? ⑶正态曲线的

?

2

? ,则 E? ? ? , D? ? ?
标准正态分布曲线

2

17

⑷在标准正态分布表中相应于 x0 的值 ? ? x0 ? 是指总体取值小于 x0 的概率。即 ? ? x0 ? ? P ? x ? x0 ?

?( x0 )

⑸两个重要公式:

?? x 0 ? ? 1 ? ? ( ? x 0 ) ①

, ② P?x1 ? ? ? x2 ? ? ?( x2 ) ? ?( x1 )

y
?( x0 ) 1 ? ?(? x0 )

x1
⑹ N ? ,?

x2
O

?

2

? 与 N ? 0,1? 的关系:
2

x
0

①若 ? ~ N ? , ?

?

? ? ? ,则? ? ? ? ? ~ N ? 0,1? ,有 P ?? ? x ? ? F ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? ?
0 0

?

?

②若 ? ~ N ? , ?

?

2

? ,则 P ? x

1

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? x ? x2 ? ? ? ? 2 ? ??? ? ? ? ? ? ? ?

【例 1】 ? ? x ? 表示标准正态总体在区间 ? ??, x ? 内取值的概率, 以 若随机变量 ? 服从正态分布 N ? , ? 则概率 P ? ? ? ? ? 等于( A. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析:考查 N ? , ? 若 ? ~ N ? ,?

?

2

?,

?

?



B. ? ?1? ? ? ? ?1?

C.

? 1? ? ? ?? ? ? ? ?

D. 2? ? ? ? ? ?

?

2

? 与 N ? 0,1? 的关系:
1

?

2

? ,则 P ? x

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? x ? x2 ? ? ? ? 2 ? ??? ? ? ? ? ? ? ?

解: P ( ? ? ? ? ? ) = P( ? ? ? ? ? ? ? ? ? )
18

=?(

? ?? ? ? ? ?? ? ? ) -?( ) = ? (1) - ? (?1) ,答案为:B ? ?

【例 2】设随机变量 ? 服从标准正态分布 N ? 0,1? 已知 ? ? ?1.96 ? ? 0.025 ,则 P ? ? 1.96 ? A. 0.025
y

?

?

B. 0.050

C. 0.950 解法一:∵ ? ~ N ? 0,1?

D. 0.975

? P ? ? ? 1.96 ? ? P ? ?1.96 ? ? ? 1.96 ?
0.025 0.475 -1.96 0 0.475 0.025 1.96

? ? ?1.96 ? ? ? ? ?1.96 ? ? 1 ? 2? ? ?1.96 ? ? 0.950

解法二:因为曲线的对称轴是直线 x ? 0 ,所以由图知

P ?? ? 1.96 ? ? P ?? ? ?1.96 ? ? ? ? ?1.96 ? ? 0.025 ∴ P ? ? ? 1.96 ? ? 1-0.25-0.25=0.950
【例 3】已知随机变量 ? 服从标准正态分布 N 2, ? 则 P ?? ? 0 ? ? ( ) A. 0.16 B. 0.32

故答案为:C

?

2

? , P ?? ? 4? ? 0.84
C. 0.68 D. 0.84

y

解法一:∵ P ?? ? 4 ? ? F ? 4 ? ? ? ?

? 4?2? ?2? ? ? ? ? ? ? 0.84 ? ? ? ?? ?

0.16 0 2 4

0.16

? 0?2? ? 2? ?2? 解法二: 因为 ? P ?? ? 0 ? ? F ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 0.16 。 ? ? ? ? ?? ?? ?
x 曲 线 的 对 称 轴 是 直 线

x?2 , 所 以 由 图 知

P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 4 ? =1- P ?? ? 4 ? =0.16,故答案为:A
练习 1、设随机变量 ? 服从标准正态分布 N ? 0,1? ,若 P ?? ? 1? ? p , 则 P ? ?1 ? ? ? 0 ? ? ( ) A.

p 2

B. 1 ? p

C. 1 ? 2 p

D.

1 ?p 2

? ? ? 71、线性回归直线方程 y ? bx ? a ,其中 b ?

? ( x ? x )( y
i ?1 i n i ?1 i

n

i

? y)
=
2

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx 2

? (x ?x)

?x
i ?1

2 i

? ? a ? y ? bx ( x ?

? xi
i ?1

n

n

,y?

?y
i ?1

n

i

n

) , ( x , y ) 为样本中心点,回归直线必经过 ( x , y ) 。

19

r 72、 ⑴样本相关系数: ?

?x y
i ?1 i n 2 2 i ?1

n

i

? nx y
n

, 用它来衡量两个变量之间的线性相关程度, (Ⅰ)
2 2

(? xi ? nx )( ? yi ? ny )
i ?1

当 r>0 时,表示两个变量正相关;当 r<0 时,表示两个变量负相关;(Ⅱ) 关的程度越强;

r

越接近于 1,表示线性相

r

越接近于 0,表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系;(Ⅲ)通常 r > 0.75 时认

为两个变量之间有很强的线性相关关系。 ⑵相关指数: R ? 1 ?
2

?(y
i ?1 n i ?1

n

i

? yi ) 2
(有的用 k 2 来代替 R 2 ) ,

?(y

i

? y)2

用来刻画回归效果, R 2 越大,意味着残差平方和

?(y ?y )
i ?1 i i

n

2

(其中 y i 表示 y i 对线性回归方程的估计值)

越小, 也就说明模型的拟合效果越好, 在线性回归模型中,R 2 表示解释变量对预报变量变化的贡献率。R 2 越接近于 1,表示回归的效果越好。 (因为 R 2 越接近于 1,表示解释变量和预报变量变化的线性相关性越 强)⑶独立性检验:一般地,假设两个分类变量 X 和 Y ,它们的值域分别为 ?x1 , x2 ? 和 ?y1 , y2 ? ,其样本频 数列联表(2×2 列联表)为: 2×2 列联表 总 a+b c+d a+b+c+d 计

Y1
X1
X2

2

Y2
b d b+d

a c 计 a+c

随机变量: K ?

n(ad ? bc) 2 , (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
2

n(ad ? bc) 2 2 根据表中的数据利用公式 K ? 计算得到 K 的观测值 k (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
P( K 2 ? k0 )
0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

k0

首先、假设结论不成立,即 H 0 : X 和 Y 没有关系;

20

其次、根据公式 K ?
2

n(ad ? bc) 2 计算得到 K 2 的观测值 k (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

第三、找到实际问题需要的可信度确定临界值 k 0 最后、如果 k ? k 0 ,就以 1 ? p( K ?k 0 ) ? 100 ℅的把握认为 X 和 Y 有关系;否则就说样本观测数据
2

?

?

没有提供“ X 和 Y 有关系”的充分证据。 【例题】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系,随即抽取高二年纪 20 名学生 某次考试成绩(百分制)如下表所示: 序号 数学成绩 物理成绩 序号 数学成绩 物理成绩 1 95 90 11 67 77 2 75 63 12 93 82 3 80 72 13 64 48 4 94 87 14 78 85 5 92 91 15 77 69 6 65 71 16 90 91 7 67 58 17 57 61 8 84 82 18 83 84 9 98 93 19 72 78 10 71 81 20 83 86

若数学成绩 90 分(含 90 分)以上为优秀,物理成绩 85 分(含 85 分)以上为优秀。 (1) 根据上表完成下面的 2×2 列联表: 数学成绩优秀 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计 12 20 数学成绩不优秀 合计

(2)根据题(1)中表格的数据计算,有多少的把握,认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系? (3)若按下面的方法从这个 20 个人中抽取 1 人来了解有关情况:将一个标有数字 1,2,3,4,5,6 的 正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字之和为被抽到的学生序号 ? 试求 ? 的期望。 解:(1)表格为: 数学成绩优秀 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 5 1 数学成绩不优秀 2 12 合计 7 13 20

合计 6 14 ??????????????????????????????????(4 分)

(2)提出假设 H 0 :学生的数学成绩与物理成绩之间没有关系。根据上述列联表可以求得

k?

20(5 ? 12 ? 1 ? 2) 2 ? 8.802 ;当 H 0 成立时, K 2 ? 7.879 的概率约为 0.005,而这里 8.802 (5 ? 1)( 2 ? 12)(5 ? 2)(1 ? 12)

>7.879,所以我们有 99.5℅的把握认为:学生的数学成绩与物理成绩之间有关系。….(8 分) (3)

?

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

21

P

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1 36

E? ? 7 ……………………………………………………………(12 分)
八、三角与解三角形 73、终边相同(β =2kπ +α ); 弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R2 ,1 弧度

2

2

(1rad) ? 57.3? , 1? ? 0.001745 Rad 。如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该 扇形的面积。(答:2 cm2 ) 74、同角基本关系:① sin ? ? cos ? ? 1 , 1 ? tan ? ? sec ? , 1 ? cot ? ? csc ? ;
2 2

2

2

2

2

② tan ? =

ta? n s i ? ? 3c o ? n s sin? ; ③ tan ? ? cot? ? 1 。 如 : 已 知 = ____ ; ? ?1 , 则 cos? t a ? ?1 n s i n ? c o? ? s 5 13 sin 2 ? ? sin? cos? ? 2 =_________(答: ? ; ); 3 5
n n ? ? (?1) 2 sin ? , n为偶数 (?1) 2 co s ? , n为偶数 n? n? ? ? sin( ??) ? ? co s( ??) ? ? n ?1 n ?1 2 2 ?(?1) 2 co s ? , n为奇数 ?(?1) 2 sin ? , n为奇数 ? ?

75、(正弦、余弦的)诱导公式:

简 记 : 奇 变 偶 不 变 , 符 号 看 象 限 . ( 注 意 : 公 式 中 始 终 视 ? 为 锐 角 ) 如 .

?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? 。 2? ?
76、函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? b( ? ? 0, A ? 0 )(1)五点法作图;(2)振幅?相位?初相??周期 T= 频率?φ =kπ (k ? Z ) 时奇函数;φ =kπ +
2? , ?

? (k ? Z ) 时偶函数。(3)对称轴处 y 取最值,对称中心处值 2

为 0;余弦正切可类比。 如:①函数 y ? sin?

? 5? ? ? 2 x? 的奇偶性是___(答:偶函数);②已知函数 ? 2 ?

f ( x ) ? ax ? b sin3 x ? 1( a,b 为 常 数 ) , 且 f ( 5 ) ? 7 , 则 f (?5 ) ___ ( 答 : - 5 ) ; ③ 函 数 ?

y ? 2 c o s ( s i n ? c o s ) 的图象的对称中心和对称轴分别是____、___(答: ( x x x

x?

? ? ? k? ? ( k ? Z ) )(4)变换:φ 正左移负右移;b 正上移负下移;
6
? y ? sin x ?左或右平移?? y ? sin( x ? ? ) ?? ? ? ? ? ? ? y ? sin(?x ? ? ) ? ? ?|?| ?
1 ? 左或右平移 | | 横坐标伸缩到原来的 1 倍

k? ? x ? ( k ? Z ) ) ; ④ 已 知 f ( x )? s i n (? ? ? ) 3 2 8

k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 2 8

c o s (?x 为 偶 函 数 , 求 ? 的 值 。 ( 答 : ? )

? ? y ? sin x ?? ? ? ? ? ? ? y ? sin ?x ?? ? ??? y ? sin(?x ? ? ) ?

横坐标伸缩到原来的



?纵坐标伸缩到原来的 ? ? y ? A sin(?x ? ?) ?上或下平移 |b|? y ? A sin(?x ? ?) ? b ????? A倍 ? ??? ?
22

77、(1)正弦定理:2R=

a b c = = ;内切圆半径 r= 2S ?ABC 余弦定理: sin A sin B sin C a?b?c
b2 ? c 2 ? a 2 1 1 1 ; S ? ab sin C ? bc sin A? ca sin B 。术语:坡度、仰角、俯角、方位角(以 2 2 2 2bc

a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A , cos A ?

特定基准方向为起点(一般为北方),依顺时针方式旋转至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之。方 位角α 的取值范围是:0°≤α<360° 等。(2)在△ABC 中,有

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) ; 2 2 2 ② a ? b ? sin A ? sin B (注意是在 ?ABC 中)。 78 、 重 要 公 式 : ( Ⅰ ) 和 角 与 差 角 公 式 : ( 1 ) sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; tan ? ? tan ? . cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
① A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ? (2) sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ; cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos ? ? sin ? .
2 2 2 2

(3)辅助角公式: a sin ? ? b cos? = a ? b sin(? ? ? ) (辅助角的确定:辅助角 ? 所在象限由点 (a, b)
2 2

所在的象限决定,tan ? ?

b 3 )。 ①当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时 tan x 的值是___(答:? ) 如: 2 a

②如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2 cos( x ? ? ) 是奇函数,则 tan ? = (答:-2);(Ⅱ)二倍角公式:①

sin 2? ? 2 sin? cos? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? (升幂公式)。
cos 2 ? ?
cos 2? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 tan ? (降幂公式)。(Ⅲ)万能公式: sin 2? ? ; ,sin 2 ? ? 2 2 1 ? tan 2 ?
1 ? tan 2 ? 2 tan ? ; tan 2? ? 。(Ⅳ)半角公式: tan? ? ? 2 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan ?
2 2 2 2

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? 。 (Ⅴ)常 ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

用化简式: 1 ? sin? ? (cos? ? sin ? ) 2 ? cos? ? sin ?

79、 三角函数的周期、 单调性、 对称轴 (中心)(1) : 周期: ①函数 y ? A sin(? x ? ?) 及 y ? A cos(? x ? ? ) 的周期 T ?

2?

?

(A、ω 、? 为常数,且 A≠0).②函数 y ? A tan??x ? ? ? 的周期 T ?

? (A、ω 、? 为常数, ?

且 A≠0)。(2)单调性、对称:① y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ? 间 为 ? 2 k? ?

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?

k ? Z ,单调递减区

? 3? ? ? ? , 2 ? ? ? k ? Z , 对 称 轴 为 x ? k? ? (k ? Z ) , 对 称 中 心 为 ? k? , 0 ? (k ? Z ) 。 ② k 2 2 ? 2 ? y ? cos x 的单调递增区间为 ? 2k? ? ? , 2k? ? k ? Z ,单调递减区间为 ? 2k? , 2k? ? ? ? k ? Z ,对称轴为
为 数 : ,
23

? ? ? x ? k? (k ? Z ) , 对 称 中 心 为 ? k? ? , 0 ? (k ? Z ) 。 ③ y ? tan x 的 单 调 递 增 区 间 2 ? ? ? ?? ? k? ? ? ,0 ? ?k ? Z ? 。 如 : 函 ? k? ? , k? ? ? k ? Z , 对 称 中 心 为 ? 2 2? ? ? 2 ? 5 f ( ?5 ) x ? i n 23 x ?c o ( s? x 的 单 c 调 o 递s 增 x区 间 为 ___ ( 答 s 5 3 x R ) 2 ? 5? [ k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) ( 3 ) 巧 变 角 : 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? 12 12

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? 2 ? 2 ?
如:①已知 tan(? ? ? ) ?

? ?? ? ?? ? , , ? ?? ? ? ? ? 等)
2
2 2 2

?

??

?

2 ? 1 ? 3 , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是___(答: );②已知 ? , ? 为 5 22 4 4 4 3 锐 角 , s i ? ? x , ? o y , cos(? ? ? ) ? ? , 则 y 与 x 的 函 数 关 系 为 ____ ( 答 : n c?s 5 3 4 3 y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5
80、 常见三角不等式: 若 x ? (0, (1) (3) | sin x | ? | cos x |? 1 。 九、平面向量 81、(1)向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的 相反向量是- a 。)、共线向量、相等向量注意:不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移(2) 加、减法的平行四边形与三角形法则: AB ? BC ? AC ; AB ? AC ? CB 83、(1)平面上两点间的距离公式: d A, B ? 82、 a ? b ? a ? b ? a ? b ,

?

则s (2) 则 s i ) , n x ?x a? x ; 若 x ? (0, ) , 1 ?n i t n 2 2

?

cs? x o

2? x



( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ,其中 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) 。

(2)向量的平行与垂直:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则① a ∥ b ?

b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 ;② a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 。 ? ? ? ? (3)向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则:① a ? b ? a ? b ? 0 ;②当 a , b 同
向时, a ? b = a b ,特别地, a ? a ? a ? a , a ? a ;当 a 与 b 反向时, a ? b =- a b ;当 ? 为 锐角时, a ? b >0,且 a、 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分条件;当 ? 为钝角时, a ? b <0, b

? ?

?2

? ?
? ?

?2 ?

?2

? ?

? ?

b 且 a、 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件;③ | a ? b |?| a || b | 。如:已知 a ? (? ,2? ) ,
?

? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ? 4 1 b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是______(答: ? ? ? 或 ? ? 0 且 ? ? ); 3 3

84、向量 b 在 a 方向上的投影︱b︱cos ? =
? ?

a ?b a

85、 e1 和 e 2 是平面一组基底,则该平面任一向量 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ( ?1 , ?2 唯一)

?

?

?

??? ? ??? ? 特别: OP = ?1 OA ? ?2 OB 则

?1 ? ?2 ? 1 是三点 P、 B 共线的充要条件如平面直角坐标系中, 为坐标原点, A、 已知两点 A(3,1) , B(?1,3) , O
若点 C 满足 OC ?
? ??

(答: 直线 AB) ?1 OA ? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______

? ??

? ??

86、在 ?ABC 中(1)PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?
??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

?

3

为 ?ABC 的 重 心 ; ( 2 ) PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的 垂 心 ; ( 3 ) 向 量
24

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

???? ??? ? AC AB ? ???? )(? ? 0) 所 在 直 线 过 ?ABC 的 内 心 ( 是 ?BAC 的 角 平 分 线 所 在 直 线 ) ( 4 ) ? ? ( ??? | AB | | AC |
??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? | AB | PC ? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P 为 ?ABC 的内心; 5) ⊿AOB= 1 x A yB ? xB y A ; ①若 O 是 ?ABC ( S 如:
2

??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ?ABC 的形状为____(答:直角三角形);

??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? | AP | ? ②若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点,?ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA ? BP ? CP ? 0 ,设 ??? ? ? , | PD |
??? ??? ??? ? ? ? ? 则 ? 的值为___(答:2);③若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ABC 的内角 C 为____

(答: 120 ); 87、(1)线段的定比分点公式:设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 是有向线段 P1 P2 的分点, ? 是实数, 1 且 P P ? ? PP2 , ? ? 0 内分, ? ? 0 且 ? ? ?1 外分,则 1

?

??? ?

????

x1 ? ? x2 ? x1 ? x2 ? ???? ???? , ??? ? ???? ???? ??? OP ? ? OP ? ?x ? 1 ? ? ?x ? 1 ? ? 2 1 2 OP ? tOP ? (1 ? t )OP2 (其中 t ? OP ? )。中点 ? ; ? ? ? 1 1? ? 1? ? ? y ? y1 ? y 2 . ? y ? y1 ? ? y2 ? 2 ? ? 1? ? ?
x1 ? x 2 ? x 3 ? , ??? ? ?x ? 1 ? 3 重心 ? 若λ =1 则 OP = ( OP + OP2 );(2)若 OA ? 1 2 ? y ? y1 ? y 2 ? y 3 . ? 3 ?

??? ? ??? ? xOB ? yOB ,则 A 、 B 、 C 共线的

充要条件是 x ? y ? 1 。 88、 “按向量平移”的几个结论: (1)点 P( x, y) 按 a ? (h, k ) 平移得 P?( x?, y?) ,则 PP? = a 或 ?
?

????

?

? ' ' 8,3));(2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a = (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为
所得函数的解析式是 y ? cos 2 x ? 1 , a 则 y ? f ( x ? h) ? k .如:函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后, =_____(答:( ?
? ?

P ' ( x ? h, y ? k ) 。如:按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 (?7,2) 平移到点____(答:(-

?

?

? x? ? x ? h 得 ? y? ? y ? k

?
4
'

,1) )(3) 图象 C ' 按向量 a = (h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,得函数

?

? ' 方程为:y ? k ? f ( x ? h) , C 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k .(4)曲线 C : f ( x, y ) ? 0 按向量 a = (h, k ) 则
平移后得到图象 C ,则 C 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .(5) 向量 m = ( x, y ) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到的
'

向量仍然为 m = ( x, y ) . 十、数列 89、数列 {an } 的前 n 项和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,an={
S1 (n ? 1) S n ? S n?1 (n ? 2, n ? N * )

注意验

? 证 a1 是否包含在 an 的公式中。 90、(1) ?a n ? 等差 ? a n ? a n ?1 ? d (常数 n ? 2 , n ? N )

? 2a n ? an?1 ? an?1 ( n ? 2 , n ? N ? 为中项) ? an ? kn ? b (一次, a, b =?) ? S n = An2 ? Bn (常
数项为 0 的二次,A, B =?)(2)

?a n ? 等比 ?

an a n ?1

? q(定 n ? 2 ,n ? N ? )? a n ? a n ?1 ? a n ?1( n ? 2 ,
2

25

n ? N ? ) a n ? 0 ? a n ? a1 q n ?1 ( n ? N ? ) ? S n ? m ? mq n ( n ? N ? , m =?)(3)如若 {an } 是等比
数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (答:-1)

91 、 首 项 正 的 递 减 ( 或 首 项 负 的 递 增 ) 等 差 数 列 前 n 项 和 最 大 ( 或 最 小 ) 问 题 , 转 化 为 解 不 等 式
?an ? 0 ?an ? 0 (或? ) ,或用二次函数处理;(等比前 n 项积?),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? ? an?1 ? 0 ?an?1 ? 0 ?

如:(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。(答:前 13 项和最大,最大值为 169);(2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使 前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 92、等差数列中 an=a1+(n-1)d;Sn= na1 ?
n-1

(答:4006)
n(n ? 1) n(n ? 1) n(a1 ? an ) d = nan ? d= 2 2 2
a1 (1 ? q n ) a1 ? an q = 1? q 1? q

等比数列中 an= a1 q ;当 q=1,Sn=na1 当 q≠1,Sn= 93、常用性质:等差数列中, an=am+ (n-m)d,
d? a m ? an m?n

sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d d ? na1 ? 当 等比数列中, d ? n 2 ? (a1 ? )n ; m+n=p+q,am+an=ap+aq; 2 2 2 2

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? a n q a1 n , ? ? , n-m n ?1 a n ? a1q ? ? q ,an=amq , s n ? ? 1 ? q (q ? 1) s n ? ? 1 ? q (q ? 1) 或 ;当 m+n=p+q , q ? na1, ? 1) ?na1, ? 1) (q (q ? ?
aman=apaq; (1) 如 在等比数列 {an } 中,a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 , 公比 q 是整数, a10 =_ 则 (答: 512) ; (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log 3 a1 ?log 3 a ? ??log 2 94、常见数列:{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、 ?
3 10

a ?

(答:10)。

?1? ? 、{anbn}、 bn ? ?

? an ? a ? ? 等比;{an}等差,则 ?c ? (c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0 且 c ? 1)等差。 bn ? ?
n

★95、(1)等差三数为 a-d,a,a+d;四数 a-3d,a-d,,a+d,a+3d;(2)等比三数可设 a/q,a,aq;四个数成等 比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) ;(3)如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成 等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9, 3,1 或 0,4,8,16) 96、(1) ①等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等差 数列,其公差 D ? k d ,如下图所示:
2

?????????? ??????????? ?S3 k ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2 k ?1 ? ? ? a3k ??? ???? ? ? ?? ??? ?? ??? ? ? ? ?
Sk S2 k ?Sk S3 k ? S 2 k

②等比数列{an}的任意连续 m 项的和且不为零时构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等
26

比数列。,其公比为 Q ? q 。请注意:公比为-1 时, S 4 、 S8 - S 4 、 S12 - S8 、?不成等比数列。(2)设数
m

列 ?a n ?是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项的和, S n 是前 n 项的和,则:①前 n 项的和

S n ? S 奇 ? S 偶 ;②当 n 为偶数时, S 偶 ? S奇 ? d ,其中 d 为公差;③当 n 为奇数时,则 S奇 ? S偶 ? a中 ,
S奇 ?
S奇 n ? 1 S ? S偶 Sn n ?1 n ?1 , ? ? 奇 ? n (其中 a中 是等差数列的中间一项) a中 , S偶 ? a中 , S奇 ? S偶 S奇 ? S偶 S偶 n ? 1 2 2

n 2

(3)若等差数列 ?a n ?和 ?bn ? 的前 2n ? 1 项的和分别为 S 2 n ?1 和 T2 n ?1 ,则

a n S 2 n ?1 ? 。(4)等差数列{an}, bn T2 n ?1
S偶 S奇 ? q ;项数为奇数 2n ? 1 时,

项数 2n 时,S 偶-S 奇=nd;项数 2n-1 时,S 奇-S 偶=an ; 项数为 2n 时,则

S奇 ? a1 ? qS偶 .
97、分期付款(按揭贷款): 每次还款 x ?

ab(1 ? b) n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b )。 (1 ? b) n ? 1

98、求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加,关键找通项结构.。分组法求数列的和: 如 an=2n+3n 、 错 位 相 减 法 求 和 : 如 an=(2n-1)2n 、 裂 项 法 求 和 : ①

1 1 1 1 ? 1 1 ? ③ ? ?? ? ? ?; ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? a ? b a ?b
求和: 1 ?

?

a? b

?

1 1 1 ; ② ? ? n?n ? 1? n n ? 1 n 1 1 ; ④ 如 ? ? ?n ? 1?! n ! ?n ? 1?!

1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n


(答: ②

0 1 2 n Cn ? 3C n ?5C n ? ? ? ? ?(2n ? 1)Cn ? (n ? 1) ? 2n

2n )、倒序相加法求和:如①求证: n ?1 x2 f ( x) ? 已 知 , 则 1 ? x2

1 1 1 7 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =___(答: ) 2 3 4 2
99、求数列{an}的最大、最小项的方法(函数思想):

?? 0 ? ①an+1-an=?? ? ? 0 ?? 0 ?

?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 如 an= -2n +29n-3 ② an ?? 1 ?
2

9 n (n ? 1) (an>0) 如 an= 10 n

③ an=f(n)

研究函数 f(n)的增减性,如 an=

n n ? 156
2

求通项常法:(Ⅰ)已知数列的前 n 项和 s n ,求通项 a n

?S1 an ? ? ?S n ? S n ?1 ,可利用公式:

(n ? 1) (n ? 2)

如:数列

1 1 1 14, n ? 1 {an } 满足 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an (答: an ? n ?1 )(Ⅱ)先猜后证(Ⅲ)递推 2 ,n ? 2 2 2 2
式为 a n+1 = a n +f(n) (采用累加法); a n+1 = a n ×f(n) (采用累积法);如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,

?

27

a n ? a n ?1 ?

1 n ?1 ? n

(n ? 2) , 则 a n =_____ ( 答 : an ? n ? 1 ?

2? 1 ( Ⅳ ) 构 造 法 形 如

an ? kan?1 ? b 、 an ? kan ?1 ? b n ( k , b 为常数)的递推数列,如①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (答:
a n ? 2 ? 3n ?1 ? 1 ); (Ⅴ)涉及递推公式的问题,常借助于“迭代法”解决,适当注意以下 3 个公式的合
理运用:(1)形如 an ?1 ?a n ? f (n) 的数列 ?a n ? ,逐步求差,累加求和的方法。即 an=(an-an-1)+(an-1 -an-2)+??+(a2-a1)+a1 ;(2)形如

an ?1 ? f (n) 的数列 ?a n ? ,逐步求商,累乘求积的方法。即 an an



a n a n-1 a 2 ? ? a1 ; (3)一阶线性递推数列:满足 an ?1 ? pan ? q( p, q 是常数, p ? 1, 且 pq ? 0 ), a n-1 a n-2 a 1
n ?1

把等式 an ?1 ? pan ? q 两边都处以 p

, 得

an ?1 an ?1 an q 转化为 (1) 。 (Ⅵ) 倒数法形如 an ? ? n ? n ?1 , n ?1 kan ?1 ? b p p p
an ?1 1 ,求 an (答: an ? );②已知 3an ?1 ? 1 3n ? 2

的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知 a1 ? 1, an ? 数列满足 a1 =1, an ?1 ? an ?

an an ?1 ,求 an (答: an ?

1 ) n2

100、常见和:(1) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) ;(2) 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ;(3)

2 n(n ? 1) 2 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ ] 2

6

十一、不等式、不等式选讲 101、注意课本上的几个性质,另外需要特别注意:(1)若 ab>0,则

1 1 ? 。即不等式两边同号时,不 a b

等式两边取倒数,不等号方向要改变。 (2)如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号, 如果正负号未定, 要注意分类讨论。 已知 ?1 ? x ? y ? 1 , ? x ? y ? 3 , 3x ? y 的取值范围是______ 如: 则 1 (答: 1 ? 3x ? y ? 7 ); 102、比较大小的常用方法:(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2) 作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6) 利用函数的单调性;(7)寻找中间量与“0”比,与“1”比或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、

1 t ?1 的大小(答:当 a ? 1 时, log a t和 log a 2 2 1 t ?1 1 t ?1 ( t ? 1 时取等号);当 0 ? a ? 1时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号));②设 log a t ? log a 2 2 2 2 1 ? a 2 ? 4a ?2 ,q ? 2 ,试比较 p, q 的大小(答: p ? q ) a ? 2, p ? a ? a?2 a2 ? b2 a2 ? b2 ? 2ab ? ab ? 103、常用不等式:(1) a, b ? R ? (当且仅当 a=b 时取“=”号)。 2
作商)是最基本的方法。如①设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较
28

(2) a, b ? R

?

?

a?b ?a?b? ? ab ? ab ? ? ? ( 当 且 仅 当 a = b 时 取 “=” 号 ) 。 ( 3 ) 2 ? 2 ?
2

1

1 1 ? a b a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
3 3 3

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? (a ? 0, b ? 0) (当且仅当 a ? b 时取等 号) ;( 4 ) a、b、c ? R, 2 2
( 当 且 仅 当

a ?b?c















(5)

a ? b ? c ? 3abc ? a ? b ? c ? 33 abc ( 当 且 仅 当 a ? b ? c 时 取 “=” 号 ) 。 (6) a ? b ? a ? b ? a ? b ( 注 意 等 号 成 立 的 条 件 ) 。 ( 7 ) 柯 西 不 等 式 :

b b ? m (糖水的浓度问题) 。 ? a a ? m (8) 极值定理: 已知 x, y 都是正数, 则有: ①如果积 xy 是定值 p , 那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;
若 则 (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.(3) a ? b ? 0, m ? 0 , ②如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值

1 2 s 。 4

如:如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是______(答: ?9, ?? ? )基本变形:①

a?b ?

;② (

a?b 2 ) ? 2



注意:(1)一正二定三取等;(2)积定和最小,和定积最大。常用的方法为:拆、凑、平方;如:①函 数 y ? 4x ?

9 1 ( x ? ) 的最小值 2 ? 4x 2

。(答:8)②若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______
x y

(答: 2 2 );③正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为_____(答: 3 ? 2 2 ); x y

104、 a ? b ? a ? b ? a ? b (何时取等?);|a|≥a;|a|≥-a 105、证法:(1)比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号。另:商比(2)综合法--由因导 果;(3)分析法--执果索因;(4)反证法--正难则反。(5)放缩法方法有:①添加或舍去一些项,如:

a2 ?1 ? a ;

n(n ? 1) ? n ; ② 将 分 子 或 分 母 放 大 ( 或 缩 小 ) ③ 利 用 基 本 不 等 式 , 如 :

log 3 ? lg 5 ? (

lg 3 ? lg 5 2 n ? (n ? 1) ④利用常用结论:Ⅰ、 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; n(n ? 1) ? 2 2
1 k ?1 ? k ? 1 2 k
; Ⅱ、

k ?1 ? k ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ; 2 ? (程 ? ? ? ? ? 2 k (k ? 1) k ? 1 k k (k ? 1) k k ? 1 k k

度大)Ⅲ、

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ; (程度小) 2 k k ? 1 (k ? 1)( k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1
2 2 2

⑤换元法:常用的换元有三角换元和代数换元。如:已知 x ? y ? a ,可设 x ? a cos? , y ? a sin? 已知 x ? y ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin? ( 0 ? r ? 1 );
2 2

已知

x2 y2 ? ? 1 , x ? a cos? , y ? b sin? ; a2 b2
29

x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 x ? a sec? , y ? b tan? ; a b
⑥最值法,如:a>fmax(x),则 a>f(x)恒成立. 106、 解绝对值不等式: ①几何法(图像法)②定义法(零点分段法); ③两边平方; ④公式法: |f(x)|>g(x) ? |f(x)|<g(x) ? 。⑤含有绝对值的不等式:当 a ? 0 时,有 x ? a ? x ? a ? ?a ? x ? a ;
2 2

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a 。⑥解一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) :若 a ? 0 ,则
对 于 解 集 不 是 全 集 或 空 集 时 , 对 应 的 解 集 为 “ 大 两 边 , 小 中 间 ” 。 如 : 当

?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x ? x2或x ? x1 .
分式不等式:①

x1 ? x2 , ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x1 ? x ? x2 ;

107、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法(穿线法).注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回。(Ⅰ)

f ?x ? f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ;② ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; g ?x ? g ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 f ?x ? f ?x ? ?0?? ?0?? ③ ;④ (Ⅱ)指数不等式与对数不等式: g ?x ? g ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? g ?x ? ? 0
f ( x)

①当 a ? 1 时, a

?a

g ( x)

②当 0 ? a ? 1时, a

f ( x)

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? g ( x) ?a ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 。 ? f ( x) ? g ( x) ?
3 2

如(1)解不等式 ( x ? 3)( x ? 1) ( x ? 2) ? 0 。(答: {x | x ? 1 x ? ? 3或 x ? ?2} );(2)解不等式 或

ax 2 1 1 ? x(a ? R )(答:a ? 0 时,{x | x ? 0} ;a ? 0 时,{x | x ? 或 x ? 0} ;a ? 0 时,{x | ? x ? 0} ax ? 1 a a
或 x ? 0} ) 十二、排列、组合、二项式定理 108、计数原理:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出的是 最后的结果,只需一种方法就能完成这件事),分步相乘(一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步 都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的),有序排列,无序 组合.如(1)将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有 种(答: 3 );(2)从 4 台甲型和 5 台乙型 种(答:70);(3)
5

电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有

从集合 ?1, 2,3? 和 ?1, 4,5, 6? 中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___ (答:23);(4)72 的正约数(包括 1 和 72)共有 个(答:12);(5) ?A 的一边 AB 上有 4 个点, 另一边 AC 上有 5 个点,连同 ?A 的顶点共 10 个点,以这些点为顶点,可以构成___个三角形(答:90); 109 、 ( Ⅰ ) 排 列 数 公 式 : Anm =n(n-1)(n-2) ? (n-m + 1)=
n! ( n ? m )!

(m ≤ n,m 、 n ∈ N ),0!=1; A n =n!; n
n! n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) = m!( n ? m )! m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ?1

*

m m m m m m n.n!=(n+1)!-n!; An ? nAn??1 ; An?1 ? An ? mAn ?1 (Ⅱ)组合数公式: Cnm ? An ? 1

m!

30

n (m≤n), Cn0 ? 1 ; Cnm ? Cnn?m ; Cnr ? Cnr ?1 ? Cnr?1 ;; Cnm ? Cnm??1 ; 1 m

110、主要解题方法:(1)优先法:特殊元素优先或特殊位置优先。如:某单位准备用不同花色的装饰石 材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙,现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材 可选择,其中 1 号石材有微量的放射性,不可用于办公室内,则不同的装饰效果有__种(答:300);(2) 捆绑法:如:①把 4 名男生和 4 名女生排成一排,女生要排在一起,不同的排法种数为___(答:2880); ②某人射击8枪,命中4枪,4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为____(答:20);(3) 插空法: ①3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有___种 如: (答: ; 24) ②某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入 原节目单中,那么不同的插法种数为__(答:42)。(4)间接扣除法:如:在平面直角坐标系中,由六 个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(-1,-2),(-2,-1)可以确定三角形的个数为__(答:15)。(5)隔板法: 如:①10 个相同的球各分给 3 个人,每人至少一个,有多少种分发?每人至少两个呢?(答:36;15); ②某运输公司有 7 个车队,每个车队的车都多于 4 辆且型号相同,要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一 运输车队,每个车队至少抽 1 辆车,则不同的抽法有多少种?(答:84)。(6)先选后排,先分再排(注 意等分分组问题): 如:某种产品有 4 只次品和 6 只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只 测试, 直到 4 只次品全测出为止, 则最后一只次品恰好在第五次测试时, 被发现的不同情况种数是____ 答: ( 576)。 0 1 111、(Ⅰ)二项式定理 (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn2 a n?2b 2 ? ? ? Cnr a n?r b r ? ? ? Cnnb n 特别地: (1+x) =1+Cn x+Cn x +?+Cn x +?+Cn x (Ⅱ)二项展开式通项:Tr+1= Cn a b ;作用:处理与指定项、特定 项、常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与项的系数;(Ⅲ)二项式系数性质:①对称性: m n-m 与首末两端等距的二项式系数相等 Cn =Cn ②中间项二项式系数最大: 为偶数, n 中间一项; n 为奇数, 若
1 1 3 中间两项(哪项?)③二项式系数和 Cn0 ? Cn ? Cn2 ? ? ? ? ? Cnn ? 2n ; Cn0 ? Cn2 ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1;
n 1 2 2 r r n n r n-r r

(Ⅳ) f ( x) ? (ax ? b) 展开各项系数和为 f(1);奇次项系数和为 1 [ f (1) ? f (?1)] ;偶次项系数和为
n

2

(ax ? by) 1 展开各项系数和,令 x ? y ? 1 可得。 (Ⅴ)二项式定理应用:近似计算、整除问题、 [ f (1) ? f (?1)] ; 2
n

结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和。 一三、系坐标与参数方程 参数方程、极坐标包括5 个知识点:曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化,极坐标系,曲线的极 坐标方程,极坐标与直角坐标的互化。参数方程基本内容可归纳为:一种思想方法、二种直线参数方程、 三方面应用、四种消元法、五类参数方程。 112、 一种思想方法是指参数法。 参数是一种辅助变数,它是主要变数关系的纽带。 视 “参数” 为常数, 它 就处于相对静止状态, 转化为“定点”、“定值”、“定解”;视“参数”为变数, 它就处于相对运动状 态,转化为“范围”、“轨迹”。因此“参数”具有“变数”与“常数”的双重性。如圆锥曲线上的动点 就可设为参数形式, 以利于解题。 113、二种直线参数方程是指直线参数方程有标准式和一般式两种。(1)已知直线过定点 P( x0 , y 0 ) ,则

?x ? x 0 ? tcos? ? y ? y 0 ? tsin? 有形式1 :标准式 ? ( t 为参数,α为倾斜角);(2)若直线上有两点 P1 、 P 2 分别对应
参数 t 1 、 t 2 ,那么 P P2 = t1 ? t 2 ,形式2 :一般式 ? 1

?x ? x 0 ? ta ( t 为参数); ? y ? y 0 ? tb
P1 P2
=

若直线上有两点 P1 、 P 2 分别对应参数 t 1 、 t 2 ,那么

a 2 ? b 2 t 2 ?t 1
31

114、三方面应用是指利用参数方程可解决三方面问题::①是利用直线的参数方程计算弦长; ②是利用 圆、椭圆的参数方程解决有关最值问题(应注意三角函数的单调性、有界性以及等号成立的条件) ; ③是 利用参数解决轨迹问题(应注意点参数、线参数、角参数、比值参数、面积参数等的设法) 。 115、四种消元法是指化参数方程为普通方程有四种常用消元法。即代入消元法、加减消元法、代数恒等 式消元【法如 ? t ? ? ? ? t ? ? ? 4 】、三角恒等式消元法(如同角三角函数的八大关系式、倍角、半角 公式等) 。 116、五类参数方程。是指五类常见曲线的参数方程。 如下表: 曲线 直线 条件 过定点 ?x0 , y0 ? 且倾斜角为 ? 圆 圆心在 ?x0 , y0 ? 半径为 r 的圆 椭圆 中心在 ?x0 , y0 ? 长短半轴长分 别为 a 、 b 双曲线 中心在 ?x0 , y0 ? 实虚半轴长分 别为 a 、 b 抛物线 顶点在原点 普通方程 参数方程 参数的意义

? ?

1? t?

2

? ?

1? t?

2

y ? y0 ? tan? ? ( x ? x0 )
(当 ? = 90 时 x ? x0 )
?

?x ? x 0 ? tcos? ? ? y ? y 0 ? tsin?
( ? 为参数)
2

t 为数量

( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r
2 2

?x ? x 0 ? rcos? ? ? y ? y 0 ? rsin?
( ? 为参数)

? 为圆心角

?x ? x0 ?
a2

2

? y ? y0 ? ?
b2

2

?1

?x ? x 0 ? acos? ? ? y ? y 0 ? bsin?
( ? 为参数)

? 为离心角

?x ? x0 ?2 ? ? y ? y0 ?2
a2 b2
y 2 ? 2 px? p ? 0?

?1

? x ? x 0 ? a sec? ? ? y ? y 0 ? b tan ?
( ? 为参数)

? 为离心角

?x ? 2pt 2 ? ? y ? 2pt
( t 为参数)

t 为顶点到
抛物线上点 连线斜率的 倒数
2 2 2

注意: (1)重点掌握直线、 圆、 椭圆的参数方程(2)参数方程与三角代换有区别。 如对于 x ? y ? r
? ?

,其

参数方程是 x ? r cos? , y ? r sin ? (其中 ? 是参数, 0 ≤ ? < 360 ) ; 它的三角代换是 x ? r sin? ,

y ? r cos? ,则 ? 没有以上含义。 对于椭圆也类似。极坐标基本内容可归纳为:一条射线、二类重要的极
坐标方程、三同前提、四条直线、五个圆。一条射线指极坐标方程 ? ? ? 0 ( ? ? 0) 是一条过极点的射线。 二类重要的极坐标方程:由于考试范围的调整,从2009 年起, 对曲线的极坐标方程只考查到直线与圆,故 应掌握此二类极坐标方程的一般式。 曲 线 直 线 圆 条 件 极 坐 标 方 程 过点 A?a,0? ,倾斜角为 ? 0 圆心在 C ?? 0 ,? 0 ? ,半径为 r 的圆

? sin(? 0 ? ? ) ? ? sin ? 0
? 2 ? 2 ? 0 cos( ? ? 0 ) ? ? 0 2 ? r 2 ? 0 ?
32

三同前提是指极坐标和直角坐标互化仅仅适用于三同前提。 即①极点与直角坐标系原点重合; ②极轴与 直角坐标系正半轴重合;③两个坐标系中的长度单位必须相同。则直角坐标

P( x, y ) 与极

?? 2 ? x 2 ? y 2 ?x ? ?cos? ? 坐标 ?? , ? ? 的互化公式为:(Ⅰ) ? ,(Ⅱ) ? y 四条直线是指极坐标中的平行或垂 tan? ? ? y ? ?sin? ? x ?
直于极轴的四条特殊直线。五个圆是指圆心在极点的特殊圆及过极点的四个特殊圆。

高考有关极坐标的考查热点为:(1)仅仅考查到过极点的圆的极坐标方程,却以多种形式来考查:互化、 对称、求方程、判断图形等。(2)对于参数方程都是隐性考查,即对于圆锥曲线问题中,它的多种解法中 含有可用参数法来解决。(3)考查的重点在于两类互化,即参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐 标的互化,应注意互化的等价性,特别是范围应优先考虑。 预计在2009 年的高考中将会出现::①直线 或圆的极坐标方程; ②极坐标与直角坐标的互化或参数方程与普通方程的互化; ③圆锥曲线问题的“宽 入口”中含有可用参数法与极坐标法来解决。 对于本章要求较低, 主要掌握以下三种题型及解法即可::1、互化型问题是指曲线的参数方程与普通方程 的互化和直角坐标与极坐标的互化这两类。其解法如下:(1) 曲线的参数方程与普通方程的互化:

33

?x ? f (t ) ? f ( x, y) ? 0 【 t 为参数, ( x, y ) 适合 f ( x, y) ? 0 】,在化参数方程为普通方程时,消参技巧 ? ? y ? g (t )
有:代入法、加减法、代数恒等式法、三角恒等式法等;互化时更要注意范围的等价性。(2) 直角坐标与 极坐标的互化:①点 ( x, y ) ? 点 ?? , ? ? ( x、y、? ? R, ? ? 0) ;②方 f ( x, y ) ? 0 ? 方程 ? ( ? ,? ) ? 0

? 【 ( x, y ) 适合 f ( x, y ) ? 0 , ? , ? ? 也适合 ? ( ? ,? ) ? 0 】。在互化中,要重视互化的前提条件(三同前提) 及
?x ? ?cos? 互化的等价性;互化关系式有: ? , ? y ? ?sin?

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ( x ? 0) 。 极坐标化为直角坐标更符 y ? tan? ? ? x ?

合习惯思维,有时将直角坐标转化为极坐标更简洁。2、综合型问题是指在考查“互化”知识的同时, 还 考查圆锥曲线的几何性质, 如对称性、顶点(焦点、中心、交点) 坐标以及准线、渐近线等直线方程。在 近年高考中, 是以此种类型为主进行考查。其解法往往是先化为普通方程,然后再解。3、运用型问题是 指运用极坐标法和参数法来解题, 在圆锥曲线的“宽入口”的问题中, 往往都可用它们来解决,有时会 显得更简洁,我们仅仅推荐使用参数法解决三类题。 一四、复数 117、(1)复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R );(2)复数 z ? a ? bi 的模:

| z | = | a ? bi | = a 2 ? b 2 .
118 、 复 数 的 运 算 : ( 1 ) 复 数 的 四 则 运 算 法 则 : ① (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; ②

(a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ;③ (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; ac ? bd bc ? ad ④ (a ? bi ) ? (c ? di ) ? 2 ? i(c ? di ? 0)(2)复数的乘法的运算律:对于任何 z1 , z2 , z3 ? C , c ? d 2 c2 ? d 2 z ( z 有①交换律: 1 ? z2 ? z2 ? z1 ; ②结合律: z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) ; ③分配律: 1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 。
119 、 ( 1 ) 复 平 面 上 的 两 点 间 的 距 离 公 式 : d ?| z1 ? z2 |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , ???? ???? ? ? z2 ? x2 ? y2i );(2)向量的垂直:非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 , ???? ???? ? ? z 2 2 2 则 OZ1 ? OZ 2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 | ?| z1 | ? | z2 | ? z1

| z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非零实数)。
120、(1)对虚数单位 i ,有 i
4 n ?1

? i, i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i, i 4 n ? 1 ;(2)共轭复数:当两个复数的实部

相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.如 a ? bi 与 a ? bi ?a, b ? R ? 互为共轭复数;(3)

? 3 ? 1 ? ?? ? 1??? 2 ? ? ? 1? ? 0 ? ? ? 1 或 ? ? ? ?
1 2

3 i. 2

34


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