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2015届高考数学总复习第八章 第七节空间坐标系、空间向量的概念及运算课件 理

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第八章 第七节 空间坐标系、空间向量的概念及运算 空间直角坐标系中点的坐标和距离问题 【例 1】 如图所示,以棱长为 1 的正方体的具有公共顶 点的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系 Oxyz , 点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动. (1)当P是AB的中点,且2|CQ|=|QD|时,求|PQ|的值; (2) 当 Q 是棱 CD 的中点时,是否存在满足

条件的点 P , 使|PQ|的值最小?若有,请指出P点的位置,并求出这个 最小值;若没有,请说明理由. 思路点拨: (1)用空间中线段的中点坐标公式计算; (2)由坐标轴上坐标的特点设出所求点的坐标,然后由两 点间的距离公式,列出方程求解. 自主解答: 解析:(1)因为正方体的棱长为1,P是AB的中点, ?1 1 1? 所以由已知空间直角坐标系可得P?2,2,2?, ? ? 因为2|CQ|=|QD|, ? 1? 1 所以|CQ|=3,Q?0,1,3?. ? ? 所以由两点间的距离公式得 ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 1?2 19 19 |PQ|= ?2-0? +?2-1? +?2-3? = 36= 6 . ? ? ? ? ? ? (2)连接OA,过点P作PE⊥OA于点E, 则PE垂直于坐标平面xOy, 设点P的横坐标为x, 则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x, 由正方体的棱长为1得AE= 2(1-x). 2?1-x?×1 AE PE 因为AO=BO,所以PE= =1-x, 2 所以点P的坐标为(x,x,1-x). ? 1? 又因为Q?0,1,2?, ? ? ? 1 ?2 5 2 2 2 ? ? 所以|PQ|= x +?1-x? + -2+x = 3x -3x+4= ? ? ? 1?2 1 3?x-2? +2. ? ? 1 2 所以当x=2时,|PQ|min= 2 , ?1 1 1? 点P的坐标为?2,2,2?, ? ? 2 即P为AB的中点时,|PQ|的值最小,最小值为 2 . 点评: 点的坐标问题,包括建立适当坐标系写出有关 点的坐标,以及根据点、线、面的对称关系写出点的坐 标.距离问题,是用空间中两点间距离公式求两点间的距 离.第(1)小题利用中点公式求点的坐标,实际上是对称关 系,第(2)小题是空间中两点间距离公式的应用. 变式探究 1.(1)设点B是点A(2,-3,5)关于坐标平面xOy的对称点,则 → |=( |AB A.10 ) B. 10 C. 38 D.38 (2)△ABC三个顶点的坐标为A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6, -1,4),则△ABC的形状为( A.正三角形 C.直角三角形 ) B.锐角三角形 D.钝角三角形 解析:(1)点A(2,-3,5)关于坐标平面xOy的对称点是 B(2,-3,-5), → |= ?2-2?2+?-3+3?2+?5+5?2 =10.故选A. 故 |AB (2)由空间两点间距离公式得|AB|= 89, |AC|= 75,|BC|= 14.∴ AC2+BC2=AB2.故选C. 答案:(1)A (2)C 空间向量的基本运算与空间向量的基本 定理 【例2】 已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥ → =2 MC → , PN →= 平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且 PM → ,求满足MN → =xAB → +yAD → +zAP → 的实数x,y,z的值. ND → 出发,利用向量运算法则 思路点拨:结合图形,从向量 MN → , AD → , AP

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