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08第十章 第八节 二项分布及其应用


第 十章 计数 原理 、概 率、 随机 变量 及分 布列

第 八 节 二 项 分 布 及 其 应 用

高考成功方案第一步 高考成功方案第二步

高考成功方案第三步 高考成功方案第四步

考纲点击 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一



些简单的实际问题.

1 1.若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=4,则P(EF) 的值等于 A.0 1 C.4 1 B.16 ( )

1 D.2 1 1 1 解析:P(EF)=P(E)×P(F)=4×4=16.

答案:B

3 3 2.已知 P(AB)= ,P(A)= ,则 P(B|A)等于 ( 20 5 9 A. 50 9 C. 10 1 B. 2

)

1 D. 4 3 P?A∩B? 20 1 解析:P(B|A)= = 3 =4. P?A? 5

答案:D

4 3.某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 ,那么播下 5 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 12 A. 125 48 C. 125 16 B. 125 96 D. 125 ( )

解析:由 n 次独立重复恰有 k 次发生的概率公式得:
2 4 2 1 P(k=2)=C3( ) ( )=

5 5

48 . 125

答案:C

1 4.已知随机变量 X~B(6, ),则 P(X=2)等于________. 3

12 24 16 2 解析:P(X=2)=C6×( ) ×( ) =15× 6 = 3 3 3

80 . 243

80 答案:243

5.某单位在一次春游踏青中,开展有奖答题活动.从 2 道文 史题和 3 道理科题中不放回地依次抽取 2 道题,在第一次 抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为 ________.
解析:在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的 A2 3 A2 1 5 概率为 P= 1= . C3 2 C1 5 1 答案:2

1.条件概率及其性质
条件概率的定义 设A、B为两个事件,P(A)>0,
P?AB? 称P(B|A)= P?A?

条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1(2)

为在事件A发 若B、C是两个互斥

生的条件下, 事件B 发生的条件 事件,则P(B∪C|A) 概率 = P(B|A)+P(C|A)

2.事件的相互独立性 (1)设A、B为两个事件,如果P(AB)= P(A)P(B) ,则称事 件A与事件B相互独立.
A (2)如果事件A与B相互独立,那么 A 与 B , 与 B , A 与

B 也都相互独立.

3.独立重复试验
在 相同 条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

4.二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每 次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试 验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)
Ck pk(1-p)n-k (k=0,1,2,?,n). = n

此时称随机变量X服从二项分布,记作 X~B(n,p) ,并 称 p 为成功概率.

[做一题] [例1] 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和

3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从
2号箱随机取出一球,问: (1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的 概率是多少? (2)从2号箱取出红球的概率是多少?

[自主解答]

记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;

事件B:从1号箱中取出的是红球. 4 2 P(B)= = , 2+4 3 1 P( B )=1-P(B)=3, 3+1 4 (1)P(A|B)= = , 8+1 9

3 1 (2)∵P(A| B )= = , 8+1 3 ∴P(A)=P(AB)+P(A B ) =P(A|B)P(B)+P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 11 =9×3+3×3=27.

[悟一法] 条件概率的求法 P?A∩B? (1)利用定义,分别求P(A)和P(A∩B),得P(B|A)= . P?A? 这是通用的求条件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数 n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件 n?AB? 数,即n(AB),得P(B|A)= . n?A?

[通一类] 1.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为 3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”. (1)求P(A),P(B),P(AB);

(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时,求两颗骰子的点
数之和大于8的概率.

2 1 解:(1)①P(A)=6=3. ②∵两个骰子的点数共有36个等可能的结果,点数之和大 于8的结果共10个. 10 5 ∴P(B)=36=18. ③当蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8 的结果有5个, 5 故P(AB)=36.

5 P?AB? 36 5 (2)由(1)知P(B|A)= = 1 =12. P?A? 3

[做一题]
[例2] (2011· 四川高考)本着健康、低碳的生活理念,租 自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准 是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的 部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有

甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车

1 1 一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 4 , 2 ; 1 1 两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 2 , 4 ;两 人租车时间都不会超过四小时. (1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的 概率; (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.

[自主解答]

(1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四

小时还车为事件A、B, 1 1 1 1 1 1 则P(A)=1-4-2=4,P(B)=1-2-4=4. 答:甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分 1 1 别为4,4.

(2)记两人所付的租车费用之和小于6元为事件C,则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 P(C)=(4×2)+(4×4+2×2)+(2×4+4×2+4×4)=4. 3 答:两人所付的租车费用之和小于6元的概率是4.

[悟一法]

1.求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入 手计算.

2.已知两个事件A、B相互独立,它们的概率分别为P(A)、 P(B),则有 事件 A、B恰有一个 发生 表示 (A B )∪( A B) 概率 P(A)P( B )+P( A )P(B)

A、B中至少有 (A B )∪( A B)∪ P(A)P( B )+P( A )· P(B) 一个发生 +P(A)P(B) (AB) P(B) A、B中至多有 (A B )∪( A B)∪ P(A)P( B )+P( A )· 一个发生 (A B) +P( A )P( B )

[通一类]

2.(2012· 宜宾模拟)某研究小组在电脑上进行人工降雨
摸拟试验,准备用A,B,C三种人工降雨方式分别 对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其试验数据统计 如下: 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨

A B C

甲 乙 丙

4次 3次 2次

6次 6次 2次

2次 3次 8次

摸拟试验 总次数 12次 12次 12次

假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响. (1)求甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率;

(2)考虑到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即能达到
理想状态,乙地必须是大雨才能达到理想状态,丙地只要 是小雨或中雨就能达到理想状态,求甲、乙、丙三地中至 少有两地降雨量达到理想状态的概率.

解:(1)记“甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨”为事件A,则 6 6 8 1 P(A)=12×12×12=6 1 ∴甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率为6.

1 1 5 (2)甲、乙、丙三地能达到理想状态的概率分别为2、4、6, 记“甲、乙、丙三地中至少有两地降雨量达到理想状态”为 事件B,则 1 1 1 1 3 5 1 1 5 1 1 5 13 P(B)=2×4×6+2×4×6+2×4×6+2×4×6=24 ∴甲、乙、丙三地中至少有两地降雨量达到理想状态的概率 13 为24.

[做一题] [例3] 2 某射手每次射击击中目标的概率是 3 ,且各次射击的结

果互不影响. (1)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标,另外2次未 击中目标的概率;

(3)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分, 未击中目标得0分.在3次射击中,若有2次连续击中,而 另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加 3分.记 ξ 为射手射击3次后的总得分数,求 ξ 的分布列.

[自主解答]

(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数,

2 则X~B(5,3),在5次射击中,恰有2次击中目标的概率 22 23 2 P(X=2)=C5×( ) ×(1- ) = 3 3 40 243.

(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3,4,5); “射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中 目标”为事件A,则P(A)=P(A1A2A3 A 4 A 5)+P

( A 1A2A3A4 A 5)+P( A 1 A 2A3A4A5) 23 12 1 23 1 12 23 8 =(3) ×(3) +3×(3) ×3+(3) ×(3) =81. (3)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3). 由题意可知,ξ 的所有可能取值为0,1,2,3,6. 13 1 P( ξ=0)=P( A 1 A 2 A 3)=(3) =27; P( ξ=1)=P(A1 A 2 A 3)+P( A 1A2 A 3)+P( A 1 A 2A3)

2 1 1 2 1 1 2 2 =3×(3)2+3×3×3+(3)2×3=9; 2 1 2 4 P( ξ=2)=P(A1 A 2A3)=3×3×3=27; P( ξ=3)=P(A1A2 A 3)+P( A 1A2A3) 2 1 1 2 8 =(3)2×3+3×(3)2=27; 23 8 P(Y=6)=P(A1∩A2∩A3)=(3) =27.

所以 ξ的分布列是

ξ
P

0 1 27

1 2 9

2 4 27

3 8 27

6 8 27

[悟一法] 1.独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互 独立地进行的一种试验.在这种试验中,每一次试验只 有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任

何一次试验中发生的概率都是一样的.
2.二项分布满足的条件 (1)每次试验中,事件发生的概率是相同的.

(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.

[通一类]
3.下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量( 单位:吨)的频率分布直方图.

(1)求直方图中x的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看 作有放回的抽样),求月均用水量在3至4吨的居民数X的 分布列.

解:(1)依题意及频率分布直方图知, 0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12. (2)由题意知,X~B(3,0.1).
0 因此P(X=0)=C3×0.93=0.729,

P(X=1)=C1×0.1×0.92=0.243, 3 P(X=2)=C2×0.12×0.9=0.027, 3 P(X=3)=C3×0.13=0.001. 3 故随机变量X的分布列为 X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001

[热点分析]

相互独立事件、n次独立重复试验的概率的求法是
每年高考的热点,特别是相互独立事件、n次独立重复 试验及二项分布的综合应用更是高考命题的重中之重.

[考题印证] (2011· 天津高考) (12分) 学校游园活动有这样一个游戏项目: 甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、 2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从两个箱子 里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获

奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中, ①摸出3个白球的概率;

②获奖的概率;
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).

[考题巧解]————————(一样的结果,更简洁的过程) [巧思] 在1次游戏中,摸出3个白球则必定是从甲箱中摸出2

个白球,乙箱中摸出1个白球;在一次游戏中获奖即摸出的白 球为2个或3个;由于每次游戏结束后将球放回原箱,所以2次 游戏的试验属于二项分布问题. [妙解] (1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i=

C2 C1 1 3 2 0,1,2,3),则P(A3)=C2· 2=5.? 5 C3

②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3.?
2 2 1 C3 C2 C3C1 C1 1 2 2 又 P(A2)=C2· 2+ C2 · 2=2,? 5 C3 5 C3

且 A2,A3 互斥, 1 1 7 所以 P(B)=P(A2)+P(A3)=2+5=10.?

(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.? 7 2 9 P(X=0)=(1-10) =100,? P(X=1)=C1 2 7 7 21 10×(1-10)=50,?

7 2 49 P(X=2)=(10) =100.?

所以X的分布列是

X P

0 9 100

1 21 50

2 49 100

9 21 49 7 X的数学期望E(X)=0×100+1×50+2×100=5.?

1.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂占30%, 甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%, 则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 ( A.0.665 B.0.56 )

C.0.24

D.0.285

解析:记A=“甲厂产品”,B=“合格产品”,则P(A)= 0.7,P(B|A)=0.95,∴P(AB)=P(A)· P(B|A)=0.7×0.95 =0.665.

答案:A

2.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱

中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码
之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸奖,恰好有 3人获奖的概率是
16 A. 625 624 C. 625 96 B. 625 4 D. 625

(

)

1+5 2 解析:依题意得某人能够获奖的概率为 C2 =5(注:当摸 6 出的两个球中有标号为4的球时,此时两球的号码之积是 4的倍数,有5种情况;当摸出的两个球中有标号均不是4 的球时,此时要使两球的号码之积是4的倍数,只有1种 2 3 2 3 情况),因此所求概率等于C4· ) · ( (1- )= 5 5 96 625.

答案:B

3.如图,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系 统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时,系 统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为________.

解析:可知K、A1、A2三类元件正常工作相互独立.所以 当A1,A2至少有一个能正常工作的概率为P=1-(1-0.8)2

=0.96,所以系统能正常工作的概率为PK· P=0.9×0.96=
0.864. 答案:0.864

4.某中学在运动会期间举行定点投篮比赛,规定每人投篮4 次,投中一球得2分,没有投中得0分,假设每次投篮投中 1 与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是3. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率; (2)求小明在4次投篮后的总得分X的分布列及期望.

解:(1)设小明第i次投篮投中为事件Ai, 则小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为P= 2 2 1 4 P( A1 )· A2 )· 3)=3×3×3=27. P( P(A (2)由题意知 ξ 的可能取值为0、2、4、6、8,则P( ξ =0)= 2 4 16 32 1 1 2 3 2 1 2 2 2 ( 3 ) = 81 ,P(ξ =2)=C 4 ( 3 )( 3 ) = 81 ,P( ξ=4)=C 4 ( 3 ) ( 3 ) = 24 1 2 8 ξ=6)=C3( )3( )= , 4 81,P( 3 3 81 14 1 P( ξ=8)=(3) =81.

∴ ξ的分布列为

ξ
P

0 16 81

2 32 81

4 24 81

6 8 81

8 1 81

16 32 24 8 1 8 ∴E( ξ )=0× +2× +4× +6× +8× = . 81 81 81 81 81 3

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