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圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 2


圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 一、圆锥曲线 1.椭圆 (1)定义 定义 1:平面内一个动点到两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|),这 个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点). 定义 2:点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常

c 数e= (0<e<1) 时,这个点的轨迹是椭圆. a
(2)图形和标准

方程

x2 y2 图8-1的标准方程为: 2 + 2 =1(a>b> 0) a b 2 x y2 图8- 2 的标准方程为: 2 + 2 =1(a>b> 0) b a
(3)几何性质

条件

{M|MF1 |+|MF2 |=2a , 2a >|F1 F2 |}

|MF1 | {M|
标准方程 顶点 轴 焦点 焦距
离心率

点M到l 1 的距离

=

|MF2 | 点M到l 2 的距离

= e, 0<e<1}

x2 y2 ? ? 1(a>b> 0) a 2 b2 A1 (- a , 0), A2 (a , 0) B1 (0 ,- b), B2 (0 , b)
F1 (- c , 0), F2 (c , 0) |F1 F2 |=2c(c > 0), c 2 =a2 - b2

x2 y2 ? ? 1(a>b> 0) b2 a 2 A1 (0 ,- a), A2 (0 , a) B1 (- b , 0), B2 (b , 0)
F1 (0 ,- c), F2 (0 , c)

对称轴: x 轴, y 轴.长轴长|A1 A2 |=2a ,短轴长|B1 B2 |=2b

c e= (0<e<1) a

a2 a2 ;l2 :x= c c |MF1 |= a + ex0 , 焦点半径 |MF2 |= a - ex0
准线方程 l1 :x= ?

a2 a2 ;l2 :y= c c |MF1 |= a + ey0 , |MF2 |= a - ey0 l1 :y= ?


点和椭圆 的关系



x2 0 2 a

?

y2 0 2 b

? 1 ? ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上 < 内
(k 为切线斜率), 2 y= kx± b 2 k 2 ? a

(k 为切线斜率), 2 y= kx± a 2 k 2 ? b 切线方程

x0x a
2



y0y b
2

=1

x0x b
2



y0y a2

=1

(x0 , y0 )为切点 切点弦 方 程 (x0 , y0 )在椭圆外 x0x y y + 02 =1 2 a b

(x0 , y0 )为切点 (x0 , y0 )在椭圆外 x0x y y + 02 =1 2 b a

1 k2 弦长公式 其中(x1 , y1 ), 2 , y2 )为割弦端点坐标, k 为割弦所在直 (x |x 2 -x 1 | 1 + k 2 或|y 1 -y 2 | 1 +
线的斜率

2.双曲线 (1)定义 定义 1:平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点

的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点). 定义 2:动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数 e(e>1)时, 这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点). (2)图形和标准方程

图 8-3 的标准方程为:

x2 y2 - 2 =1(a> 0,b> 0) a2 b

图 8-4 的标准方程为:

y2 x2 - 2 =1(a> 0,b> 0) a2 b
(3)几何性质

P ={M|MF1 |-|MF2 |= 2a , a > 0 , 2a <|F1 F2 |}. 条件

P={M|

|MF1 | |MF2 | = =e,e>1}. 点M到l 1 的距离 点M到l 2 的距离
y2 x2 - 2 =1(a> 0,b> 0) a2 b A1 (0 ,- a), A2 (0 , a)
F1 (0 ,- c), F2 (0 , c)

标准方程 顶点 轴 焦点 焦距 离心率

y2 x2 - 2 =1(a> 0,b> 0) a2 b A1 (- a , 0), A2 (a , 0)
F1 (- c , 0), F2 (c , 0)

对称轴: x 轴, y 轴,实轴长|A1 A2 |= 2a ,虚轴长|B1 B2 |= 2b |F1 F2 |= 2c(c > 0), c 2 = a2 + b2 c e= (e>1) a

准线方程 l1 :x=- 渐近线 方 程 共渐近线 的双曲线 系方程 焦点半径

a2 a2 ;l2 :x= c c y2 b x2 y=± x( 或 2 - 2 = 0) a a b

l1 :y=-

a2 a2 ;l2 :y= c c y2 a x2 y=± x( 或 2 - 2 = 0) b a b

y2 x2 - 2 =k(k≠ 0) a2 b
|MF1 |= ex0 + a , |MF2 |= ex0 - 2 ? b 2 y= kx± a 2 k a (k 为切线斜率) b b k> 或k<- a a

y2 x2 - 2 =k(k≠ 0) a2 b
|MF1 |= ey0 + a , |MF2 |= ey0 - 2 ? a 2 y=kx± b 2 k a (k 为切线斜率) a a k> 或k<- b b

切线方程

x0x a
2



y0y b
2

=1

y0y a
2



x0x b2

=1

((x0 , y0 )为切点 x y ? y 0((x0 , y0 )为切点 x xy=a 2 的切线方程: 0 =a 2 ((x 0 ,y 0 ) 为切点 2

切点弦 方 程

(x0 , y0 )在双曲线外 x0x y y - 02 =1 2 a b

(x0 , y0 )在双曲线外 y0y x x - 02 =1 2 a b

1 k2 弦长公式 其中(x1 , y1 ),(x2 , y2 )为割弦端点坐标, k 为 |x 2 -x 1 | 1 + k 2 或|y 1 -y 2 | 1 +
割弦所在直线的斜率

3.抛物线 (1)定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (2)抛物线的标准方程,类型及几何性质,见下表:

①抛物线的标准方程有以下特点:都以原点为顶点,以一条坐标轴为对称轴; 方程不同,开口方向不同;焦点在对称轴上,顶点到焦点的距离等于顶点到准线距 离. ②p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离.

③弦长公式:设直线为y=kx+b抛物线为y 2 =2px,|AB| = 1 ? k 2
|x 2 -x 1 | = 1 ? 1 |y 2 -y 1 | k2

焦点弦长公式:|AB|=p+x1+x2 4.圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线, 定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用 e 表示,当 0<e<1 时,是 椭圆,当 e>1 时,是双曲线,当 e=1 时,是抛物线. 二、利用平移化简二元二次方程 1.定义 缺 xy 项的二元二次方程 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C 不同时为 0)※,通过 配方和平移,化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程,称 为利用平移化简二元二次方程. A=C 是方程※为圆的方程的必要条件. A 与 C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件. A 与 C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件. A 与 C 中仅有一个为 0 是方程※为抛物线方程的必要条件.

2.对于缺 xy 项的二元二次方程: Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C 不同时为 0)利用平移变换,可把圆锥曲线的一 般方程化为标准方程,其方法有:①待定系数法;②配方法.

( x ? h) 2 (y ? k) 2 ( x ? h) 2 ( y ? k) 2 + =1或 + =1 a2 b2 b2 a2 中心 O′(h,k) 椭圆:

( x ? h) 2 ( y ? k) 2 ( y ? k) 2 ( x ? h) 2 双曲线: - =1或 - =1 a2 b2 a2 b2
中心 O′(h,k) 抛物线:对称轴平行于 x 轴的抛物线方程为 (y-k)2=2p(x-h)或(y-k)2=-2p(x-h), 顶点 O′(h,k). 对称轴平行于 y 轴的抛物线方程为: (x-h)2=2p(y-k)或(x-h)2=-2p(y-k) 顶点 O′(h,k). 以上方程对应的曲线按向量 a=(-h,-k)平移,就可将其方程化为圆锥曲线的 标准方程的形式.


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