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2014年全国2卷数学答案.


2014 年全国统一高考数学试卷 (理科) (新课标Ⅱ)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求. 1. (5 分)设集合 M={0,1,2},N={x|x ﹣3x+2≤0},则 M∩N=( A.{1} B.{2} C.{0,1} 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算.

集合. 求出集合 N 的元素,利用集合的基本运算即可得到结论.
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2

) D.{1,2}

解:∵N={x|x ﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}, ∴M∩N={1,2}, 故选:D. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( A.﹣5 B.5 C.﹣4+i 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. ) D.﹣4﹣i

2

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根据复数的几何意义求出 z2,即可得到结论. 解:z1=2+i 对应的点的坐标为(2,1) , ∵复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, ∴(2,1)关于虚轴对称的点的坐标为(﹣2,1) ,

则对应的复数,z2=﹣2+i, 2 则 z1z2=(2+i) (﹣2+i)=i ﹣4=﹣1﹣4=﹣5, 故选:A 点评: 本题主要考查复数的基本运算,利用复数的几何意义是解决本题的关键,比较基础.

3. (5 分)设向量 , 满足| + |= A.1 B.2

,| ﹣ |=

,则 ? =( C .3

) D.5

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将等式进行平方,相加即可得到结论. 解答: 解:∵| + |= ,| ﹣ |= ,
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∴分别平方得

+2 ? +

=10,

﹣2 ? +

=6,

两式相减得 4 ? =10﹣6=4, 即 ? =1, 故选:A. 点评: 本题主要考查向量的基本运算,利用平方进行相加是解决本题的关键,比较基础.

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www.jyeoo.com 4. (5 分)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= A.5 B. ,则 AC=( C .2 ) D.1

考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用三角形面积公式列出关系式,将已知面积,AB,BC 的值代入求出 sinB 的值,分两种情况考虑:当 B 为钝角时;当 B 为锐角时,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosB 的值,利用余弦定理求出 AC 的值即 可. 解答: 解:∵钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=c=1,BC=a= ,
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∴S= acsinB= ,即 sinB= 当 B 为钝角时,cosB=﹣
2 2

, =﹣
2

, ,

利用余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cosB=1+2+2=5,即 AC= 当 B 为锐角时,cosB=
2 2 2

=



利用余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cosB=1+2﹣2=1,即 AC=1, 2 2 2 此时 AB +AC =BC ,即△ ABC 为直角三角形,不合题意,舍去, 则 AC= . 故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题的 关键. 5. (5 分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已 知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 考点: 专题: 分析: 解答: 相互独立事件的概率乘法公式. 概率与统计. 设随后一天的空气质量为优良的概率为 p,则由题意可得 0.75×p=0.6,由此解得 p 的值. 解:设随后一天的空气质量为优良的概率为 p,则有题意可得 0.75×p=0.6, 解得 p=0.8, 故选:A. 点评: 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于基础题.
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6. (5 分)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个 底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

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www.jyeoo.com A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 由三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求解几何体的体积即可. 解:几何体是由两个圆柱组成,一个是底面半径为 3 高为 2,一个是底面半径为 2,高为 4, 2 2 组合体体积是:3 π?2+2 π?4=34π. 2 底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯的体积为:3 π×6=54π.
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切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为:

=



故选:C. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 7. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=( )

A.4 考点: 专题: 分析: 解答:

B.5 程序框图. 算法和程序框图. 根据条件,依次运行程序,即可得到结论. 解:若 x=t=2,
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C .6

D.7

则第一次循环,1≤2 成立,则 M= 第二次循环,2≤2 成立,则 M=

,S=2+3=5,k=2, ,S=2+5=7,k=3,

此时 3≤2 不成立,输出 S=7, 故选:D. 点评: 本题主要考查程序框图的识别和判断,比较基础. 8. (5 分)设曲线 y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( A.0 B.1 C .2 ) D.3

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数的几何意义,即 f′(x0)表示曲线 f(x)在 x=x0 处的切线斜率,再代入计算.
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www.jyeoo.com 解答: 解:



∴y′(0)=a﹣1=2, ∴a=3. 故答案选 D. 点评: 本题是基础题,考查的是导数的几何意义,这个知识点在高考中是经常考查的内容,一般只要求导正确, 就能够求解该题.在高考中,导数作为一个非常好的研究工具,经常会被考查到,特别是用导数研究最值, 证明不等式,研究零点问题等等经常以大题的形式出现,学生在复习时要引起重视.

9. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为(



A.10 考点: 专题: 分析: 解答:

B.8

C .3

D.2

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=2x﹣y 得 y=2x﹣z, 平移直线 y=2x﹣z, 由图象可知当直线 y=2x﹣z 经过点 C 时,直线 y=2x﹣z 的截距最小, 此时 z 最大.
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,解得

,即 C(5,2)

代入目标函数 z=2x﹣y, 得 z=2×5﹣2=8. 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基 本方法. 10. (5 分) 设 F 为抛物线 C: y =3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A, B 两点, O 为坐标原点, 则△ OAB 的面积为( ) A. B. C. D.
2

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www.jyeoo.com 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线方程求出焦点坐标,由直线的倾斜角求出斜率,写出过 A,B 两点的直线方程,和抛物线方程联 立后化为关于 y 的一元二次方程,由根与系数关系得到 A,B 两点纵坐标的和与积,把△ OAB 的面积表示 为两个小三角形 AOF 与 BOF 的面积和得答案. 解答: 2 解:由 y =3x,得 2p=3,p= ,
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则 F(

) . ,

∴过 A,B 的直线方程为 y= 即 .

联立

,得



设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ∴ = = . , .

故选:D. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查数学转化思想方法,涉及直线和圆锥曲线关系问题,常采用联立直 线和圆锥曲线,然后利用一元二次方程的根与系数关系解题,是中档题. 11. (5 分)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

异面直线及其所成的角. 空间位置关系与距离. 画出图形,找出 BM 与 AN 所成角的平面角,利用解三角形求出 BM 与 AN 所成角的余弦值.
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解:直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,如图:BC 的中点为 O, 连结 ON, ,则 MN0B 是平行四边形,BM 与 AN 所成角就是∠ANO, ∵BC=CA=CC1, 设 BC=CA=CC1=2,∴CO=1,AO= ,AN= ,MB= = = ,

在△ ANO 中,由余弦定理可得:cos∠ANO= 故选:C.

=

=



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点评: 本题考查异面直线对称角的求法,作出异面直线所成角的平面角是解题的关键,同时考查余弦定理的应用. , 若存在 f (x) 的极值点 x0 满足 x0 +[f (x0) ] <m , 则 m 的取值范围是 (
2 2 2

12. (5 分) 设函数 f (x) =

sin



A.(﹣∞, ﹣6) ∪ (6, +∞) B.(﹣∞, ﹣4) ∪ (4, +∞) C.(﹣∞, ﹣2) ∪ (2, +∞) D.(﹣∞, ﹣1) ∪ (1, +∞) 考点: 正弦函数的定义域和值域. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得, f (x0) =± , 且
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=kπ+

, k∈z, 再由题意可得当 m 最小时, |x0|最小, 而|x0|最小为 |m|,

2

可得 m > m +3,由此求得 m 的取值范围. 解答: 解:由题意可得,f(x0)=±
2 2 2

2

2

,且
2

=kπ+

,k∈z,即 x0=

m.

再由 x0 +[f(x0)] <m ,可得当 m 最小时,|x0|最小,而|x0|最小为 |m|, ∴m > m +3,∴m >4. 求得 m>2,或 m<﹣2, 故选:C. 点评: 本题主要正弦函数的图象和性质,函数的零点的定义,体现了转化的数学思想,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.(第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答) 13. (5 分) (x+a) 的展开式中,x 的系数为 15,则 a=
10 7 2 2 2



考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求出 r 的值,即可求得 x7 的系数,再根据 x7 的系数为 15,求得 a 的值. 解答: 10 10﹣r r 解: (x+a) 的展开式的通项公式为 Tr+1= ?x ?a ,
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令 10﹣r=7,求得 r=3,可得 x 的系数为 a ? ∴a= , 故答案为: .

7

3

=120a =15,

3

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www.jyeoo.com 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质, 属于中档题. 14. (5 分)函数 f(x)=sin(x+2φ)﹣2sinφcos(x+φ)的最大值为 1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 三角函数的最值;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 三角函数的求值. 由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为 f(x)=sinx,从而求得函数的最大值. 解:函数 f(x)=sin(x+2φ)﹣2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]﹣2sinφcos(x+φ) =sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ﹣2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ﹣cos(x+φ)sinφ =sin[(x+φ)﹣φ]=sinx, 故函数 f(x)的最大值为 1, 故答案为:1. 点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用,正弦函数的最值,属于中档题.
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15. (5 分)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若 f(x﹣1)>0,则 x 的取值范围是 (﹣1,3) . 考点: 专题: 分析: 解答: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 函数的性质及应用. 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为 f(|x﹣1|)>f(2) ,即可得到结论. 解:∵偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0, ∴不等式 f(x﹣1)>0 等价为 f(x﹣1)>f(2) , 即 f(|x﹣1|)>f(2) , ∴|x﹣1|<2, 解得﹣1<x<3, 故答案为: (﹣1,3) 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,将不等式等价转化为 f(|x﹣1|)>f(2)是解决本题 的关键.
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16. (5 分)设点 M(x0,1) ,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是 [﹣1,1] . 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆的位置关系. 直线与圆. 画出图形即可得到结果. 解:由题意画出图形如图: 2 2 ∵点 M(x0,1) ,若在圆 O:x +y =1 上存在点 N,使得∠OMN=45°, ∴圆心到 MN 的距离为 1,要使 MN=1,才能使得∠OMN=45°, 图中 M′显然不满足题意,当 MN 垂直 x 轴时,满足题意, ∴x0 的取值范围是[﹣1,1]. 故答案为:[﹣1,1].
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2

2

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点评: 本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线设出角的求法,数形结合是快速解得本题的策略之一. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤. 17. (12 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. (Ⅰ)证明{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式; (Ⅱ)证明: + + …+ < .

考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 证明题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数,即
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=常数,又首项不为 0,所以为等比数列;

再根据等比数列的通项化式,求出{an}的通项公式; (Ⅱ)将 解答: 证明(Ⅰ) = =3, 进行放大,即将分母缩小,使得构成一个等比数列,从而求和,证明不等式.



≠0,

∴数列{an+ }是以首项为 ,公比为 3 的等比数列;

∴an+ =

=

,即



(Ⅱ)由(Ⅰ)知



当 n≥2 时,



=



∴当 n=1 时,

成立,

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当 n≥2 时,

+

+…+

1+

…+

=

=

< .

∴对 n∈N+时,

+

+…+

< .

点评: 本题考查的是等比数列,用放缩法证明不等式,证明数列为等比数列,只需要根据等比数列的定义就行; 数列与不等式常结合在一起考,放缩法是常用的方法之一, 通过放大或缩小,使原数列变成一个等比数列,或可以用裂项相消法求和的新数列.属于中档题. 18. (12 分)如图,四棱柱 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D﹣AE﹣C 为 60°,AP=1,AD= ,求三棱锥 E﹣ACD 的体积.

考点: 二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)连接 BD 交 AC 于 O 点,连接 EO,只要证明 EO∥PB,即可证明 PB∥平面 AEC; (Ⅱ)延长 AF 至 M 连结 DM,使得 AM⊥DM,说明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出 CD,即可三 棱锥 E﹣ACD 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:连接 BD 交 AC 于 O 点,连接 EO, ∵O 为 BD 中点,E 为 PD 中点, ∴EO∥PB, (2 分) EO?平面 AEC,PB?平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC; (6 分) (Ⅱ)解:延长 AF 至 M 连结 DM,使得 AM⊥DM, ∵四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD, ∴CD⊥平面 AMD,二面角 D﹣AE﹣C 为 60°, ∴∠CMD=60°,
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∵AP=1,AD= ,∠ADP=30°, ∴PD=2, E 为 PD 的中点.AF=1, ∴DM= CD= , = . = = .

三棱锥 E﹣ACD 的体积为:

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点评: 本题考查直线与平面平行的判定,几何体的体积的求法,二面角等指数的应用,考查逻辑思维能力,是中 档题. 19. (12 分)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 2 3 4 5 6 7 年份代号 t 1 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 人均纯收入 y2.9 (Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地 区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: =

, = ﹣



考 线性回归方程. 点: 专 计算题;概率与统计. 题: 分 (Ⅰ)根据所给的数据,利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数,横标和纵标的积的和,与横标的平方和, 析: 代入公式求出 b 的值,再求出 a 的值,写出线性回归方程. (Ⅱ)根据上一问做出的线性回归方程,代入所给的 t 的值,预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入,这 是一个估计值. 解 解: (Ⅰ)由题意, = (1+2+3+4+5+6+7)=4, = (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, 答:
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∴ = =

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www.jyeoo.com =0.5, = ﹣ =4.3﹣0.5×4=2.3. =0.5t+2.3;

∴y 关于 t 的线性回归方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入 =0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 点 本题考查线性回归分析的应用,本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数,这是整个题 评: 目做对的必备条件,本题是一个基础题. =0.5t+2.3,得:

20. (12 分)设 F1,F2 分别是 C: MF1 与 C 的另一个交点为 N.

+

=1(a>b>0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线

(1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 考点: 椭圆的应用. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)根据条件求出 M 的坐标,利用直线 MN 的斜率为 ,建立关于 a,c 的方程即可求 C 的离心率;
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(2)根据直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程组关系,求出 N 的坐标,代入椭圆方 程即可得到结论. 解答: 解: (1)∵M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, ∴M 的横坐标为 c,当 x=c 时,y= 若直线 MN 的斜率为 , ,即 M(c, ) ,

即 tan∠MF1F2= 即b = 即c ﹣ 则 解得 e= .
2 2


2

=a ﹣c , ﹣a =0, ,
2

2

(Ⅱ)由题意,原点 O 是 F1F2 的中点,则直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,

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www.jyeoo.com 故 =4,即 b =4a,
2

由|MN|=5|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|, 设 N(x1,y1) ,由题意知 y1<0, 则 ,即

代入椭圆方程得



将 b =4a 代入得 解得 a=7,b= .

2



点评: 本题主要考查椭圆的性质,利用条件建立方程组,利用待定系数发是解决本题的关键,综合性较强,运算 量较大,有一定的难度. 21. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣e ﹣2x. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 g(x)=f(2x)﹣4bf(x) ,当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142< <1.4143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) . 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: 对第(Ⅰ)问,直接求导后,利用基本不等式可达到目的; 对第(Ⅱ)问,先验证 g(0)=0,只需说明 g(x)在[0+∞)上为增函数即可,从而问题转化为“判断 g'(x) >0 是否成立”的问题;
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x

﹣x

对第(Ⅲ)问,根据第(Ⅱ)问的结论,设法寻求 ln2,于是在 b=2 及 b>2 的情况下分别计算 最后可估计 ln2 的近似值. 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)得 f'(x)=e +e ﹣2 即 f'(x)≥0,当且仅当 e =e 即 x=0 时,f'(x)=0, ∴函数 f(x)在 R 上为增函数. (Ⅱ)g(x)=f(2x)﹣4bf(x)=e ﹣e ﹣4b(e ﹣e )+(8b﹣4)x, 2x ﹣2x x ﹣x 则 g'(x)=2[e +e ﹣2b(e +e )+(4b﹣2)] x ﹣x 2 x ﹣x =2[(e +e ) ﹣2b(e +e )+(4b﹣4)] x ﹣x x ﹣x =2(e +e ﹣2) (e +e ﹣2b+2) . ﹣ x x x ﹣x ①∵e +e ≥2,e +e +2≥4,
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2x
﹣2x



x

﹣x



x

﹣x

x

﹣x

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www.jyeoo.com ∴当 2b≤4,即 b≤2 时,g'(x)≥0,当且仅当 x=0 时取等号, 从而 g(x)在 R 上为增函数,而 g(0)=0, ∴x>0 时,g(x)>0,符合题意. ②当 b>2 时,若 x 满足 2<e +e <2b﹣2 即 又由 g(0)=0 知,当 综合①、②知,b≤2,得 b 的最大值为 2. (Ⅲ)由(Ⅱ)知, 当 b=2 时,由 当 由 时,有 ,得 , ,得 . . ;
x
﹣x

时,g'(x)<0, 时,g(x)<0,不符合题意.

所以 ln2 的近似值为 0.693. 点评: 1.本题三个小题的难度逐步增大,考查了学生对函数单调性深层次的把握能力,对思维的要求较高,属压 轴题. 2.从求解过程来看,对导函数解析式的合理变形至关重要,因为这直接影响到对导数符号的判断,是解决 本题的一个重要突破口. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.【选修 4-1: 几何证明选讲】 22. (10 分)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,证明: (Ⅰ)BE=EC; 2 (Ⅱ)AD?DE=2PB .

考点: 与圆有关的比例线段;相似三角形的判定. 专题: 选作题;几何证明. 分析: (Ⅰ)连接 OE,OA,证明 OE⊥BC,可得 E 是
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的中点,从而 BE=EC;
2

(Ⅱ)利用切割线定理证明 PD=2PB,PB=BD,结合相交弦定理可得 AD?DE=2PB . 解答: 证明: (Ⅰ)连接 OE,OA,则∠OAE=∠OEA,∠OAP=90°, ∵PC=2PA,D 为 PC 的中点, ∴PA=PD, ∴∠PAD=∠PDA, ∵∠PDA=∠CDE, ∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°, ∴OE⊥BC,
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www.jyeoo.com ∴E 是 的中点,

∴BE=EC; (Ⅱ)∵PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C, ∴PA =PB?PC, ∵PC=2PA, ∴PA=2PB, ∴PD=2PB, ∴PB=BD, ∴BD?DC=PB?2PB, ∵AD?DE=BD?DC, ∴AD?DE=2PB .
2 2

点评: 本题考查与圆有关的比例线段,考查切割线定理、相交弦定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ, θ∈[0, ].

(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 标.

x+2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定 D 的坐

考点: 参数方程化成普通方程;利用导数研究曲线上某点切线方程;圆的参数方程. 专题: 坐标系和参数方程. 2 2 分析: (Ⅰ)半圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 (x﹣1) +y =1,令 x﹣1=cosα∈[﹣1,1],y=sinα,可得 半圆 C 的参数方程. (Ⅱ)由题意可得直线 CD 和直线 l 平行.设点 D 的坐标为(1+cosα,sinα) ,根据直线 CD 和直线 l 的斜率 相等求得 cotα 的值,可得 α 的值,从而得到点 D 的坐标. 解答: 2 解: (Ⅰ)半圆 C 的极坐标方程 ρ=2cosθ,θ∈[0, ],即 ρ =2ρcosθ,
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化为直角坐标方程为 (x﹣1) +y =1,x∈[0,2]、y∈[0,1]. 令 x﹣1=cosα∈[﹣1,1],y=sinα,α∈[0,π]. 故半圆 C 的参数方程为 ,α∈[0,π].

2

2

(Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= x+2 垂直, ∴直线 CD 和直线 l 平行,故直线 CD 和直线 l 斜率相等. 设点 D 的坐标为(1+cosα,sinα) , ∵C(1,0) , ∴ = ,

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www.jyeoo.com 解得 tanα= ,即 α= , ) .

故点 D 的坐标为( ,

点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程,把直角坐标方程化为参数方程,注意参数的范围,属于基 础题. 六、解答题(共 1 小题,满分 0 分) 24.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由 a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f(x)≥2 成立.
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(Ⅱ)由 f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5,分当 a>3 时和当 0<a≤3 时两种情况,分别去掉绝对值,求得不等式的 解集,再取并集,即得所求. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|≥|(x+ )﹣(x﹣a)|=|a+ |=a+ ≥2 故不等式 f(x)≥2 成立. (Ⅱ)∵f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5, ∴当 a>3 时,不等式即 a+ <5,即 a ﹣5a+1<0, 解得 3<a< .
2

=2,

当 0<a≤3 时,不等式即 6﹣a+ <5, 即 a ﹣a﹣1>0,求得 综上可得,a 的取值范围(
2

<≤3. , ) .

点评: 本题主要考查绝对值三角不等时,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;maths;静定禅心;qiss;sllwyn;刘长柏;任老师;sxs123;尹伟云(排 名不分先后)
菁优网 2014 年 6 月 23 日

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