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二分法与函数恒成立问题


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函数的零点自测题
1.下列函数中在[1,2]上有零点的是( A. f ( x) ? 3x 2 ? 4x ? 5 C. f ( x) ? ln x ? 3x ? 6
2

) B. f ( x) ? x 3 ? 5x ? 5 D. f ( x) ? e x ? 3x ? 6 ) D. ?0,1

? )

2.若方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内恰有一个实根,则 a 的取值范围是( A. (??,?1) B. (1,??) C. (?1,1)

3.函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,则 f ( x) 在 (1,2) 上零点的个数为( A.至多有一个
x

B.有一个或两个

C.有且只有一个 ) C.(2,3) ) (C) (0,1)

D.一个也没有

4.函数 f ( x) ? log3 ? x ? 3零点所在大致区间是( A.(0,1) 5.函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 (A)(-2,-1) B.(1,2) 的零点所在的区间是( (B) (-1,0)

D.(3,4)

(D) (1,2) )

6.若函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b? 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 7.函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 零点的个数为 (
3

) D. 4 ) D. (0, ??) )

A. 1
x

B. 2

C. 3

8.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是( A. (1, ??) B. (0,1) C. (0, 2) (

9.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 (A) (0,1). (B) (1,1.25).

(C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2)

1

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10.已知 x0 是函数 f(x)=2x+

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ) , x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) ,则( 1? x
(B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0
x

)

(A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0

11.若 x1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x2 是 10 ? x ? 3 的解,则 x1 ? x2 的值为( A.



1 3 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 12.在 y ? 2 x , y ? log2 x, y ? x 2 , 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,使 f ( 1 恒成 )? 2 2
B. C. 3 D. 立的函数的个数是( A. 0 个 ) B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
?

3 2

2 3

13.已知函数 f ( x) ? 3x ? x ? 5 的零点 x0 ??a, b? ,且 b ? a ? 1 , a , b ? N ,则 a ? b ? 14.函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为 。

15.函数 f ( x ) 对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,则这三个实根的和 为 。

1 2

1 2

2 16.若函数 f ( x ) ? 4 x ? x ? a 的零点个数为 3 ,则 a ? __ ____。

17.设 x1 与 x2 分别是实系数方程 ax ? bx ? c ? 0 和 ?ax ? bx ? c ? 0 的一个根,且 x1 ? x2 , x1 ? 0, x2 ? 0 ,
2 2

求证:方程

a 2 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间. 2
.

18.已知函数 y ? f ( x) 是R上的奇函数,其零点 x1 , x2 ?? x2007 ,则 x1 ? x2 ? ? ? x2007 =
2

19.关于 x 的二次方程 x ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 , 若方程式有两根, 其中一根在区间 (?1,0) 内, 另一根在(1,2) 内,求 m 的范围。

2

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函数恒成立问题
1. 若函数 y ? mx 2 ? 6mx ? m ? 8 在 R 上恒成立,求 m 的取值范围。

2. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,⑴在 R 上 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 ⑵若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 ⑶若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。

2 3 2 3.三个同学对问题“关于 x 的不等式 x ? 25 ? x ? 5 x ? ax 在 ?1,12? 上恒成立,求实数 a 的取值范

围”提出各自的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”. 丙说:“把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像”. 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,求 a 的取值范围.

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4.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a ln x ; (1) 、若函数 f ( x) 在区间 ?0,1? 上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围; (2) 、当 t ? 1 时,不等式 f (2t ? 1) ? 2 f (t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围

x 2 ? 2x ? a 5. 已知函数 f ( x) ? , x ? ?1, ? ? ?: x ?1
(1) 、当 a ?

1 ,求函数 f ( x) 最小值; 2

(2) 、若对任意 x ? ?1, ? ? ?, f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围;

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