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创新设计必修五WORD训练2-2-1(1)


第二章
2.1
一、基础达标





数列的概念与简单表示法(一)

1+?-1?n+1 1.已知数列{an}的通项公式为 an= ,则该数列的前 4 项依次为 2 ( A.1,0,1,0 1 1 C.2,0,2,0 答案 解析 A 当 n 分别等于 1,2,3,4 时,a1

=1,a2=0,a3=1,a4=0. B.0,1,0,1 D.2,0,2,0 )

2.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-50,则-8 是该数列的 ( A.第 5 项 答案 解析 C n2-n-50=-8,得 n=7 或 n=-6(舍去). B.第 6 项 C.第 7 项 D.非任何一项 )

3.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是 ( A.an=n2-n+1 n?n+1? C.an= 2 答案 解析 C. 2 4 6 8 4.数列3,5,7,9,…的第 10 项是 ( 16 A.17 答案 C 18 B.19 20 C.21 22 D.23 ) C 令 n=1,2,3,4,代入 A、B、C、D 检验即可.排除 A、B、D,从而选 B.an= n?n-1? 2 )

D.an=n2+1

解析

由数列的前 4 项可知,数列的一个通项公式为 an=

2n ,当 n=10 2n+1

2×10 20 时,a10= =21. 2×10+1 5.观察下列数列的特点,用适当的一个数填空:1, 3, 5, 7,________, 11,…. 答案 解析 3 由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数,所以需要填空

的数为 9=3. π 1 6. 已知数列{an}的通项公式为 an=sin nθ, 0<θ<6, 若 a3=2, 则 a15=________. 答案 解析 1 2 1 π π a3=sin 3θ=2,又 0<θ<6,∴0<3θ<2,

π 5 1 ∴3θ=6,∴a15=sin 15θ=sin 6π=2. 7.写出下列数列的一个通项公式:(可以不写过程) 2 4 6 8 1 1 1 (1)3,5,9,17,33,…;(2)3,15,35,63,…;(3)1,0,-3,0,5,0,-7,0,…. 解 (1)an=2n+1. 2n . ?2n-1??2n+1?

(2)an=

1 0 1 0 1 0 1 0 (3)把数列改写成1,2,-3,4,5,6,-7,8,…分母依次为 1,2,3,…,而 nπ sin 2 nπ 分子 1,0, -1,0, …周期性出现, 因此, 我们可以用 sin 2 表示, 故 an= n . 8.已知数列{n(n+2)}: (1)写出这个数列的第 8 项和第 20 项; (2)323 是不是这个数列中的项?如果是,是第几项? 解 (1)an=n(n+2)=n2+2n,∴a8=80,a20=440.

(2)由 an=n2+2n=323,解得 n=17. ∴323 是数列{n(n+2)}中的项,是第 17 项.

二、能力提升 9.数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式 an 等于 ( 1 A.9(10n-1) 1 1 C.3(1-10n) 答案 解析 C 代入 n=1 检验,排除 A、B、D,故选 C. 1 B.3(10n-1) 3 D.10(10n-1) )

10.如图 1 是第七届国际数学教育大会(简称 ICME-7)的会徽图案,会徽的主体 图案是由如图 2 的一连串直角三角形演化而成的, 其中 OA1=A1A2=A2A3=… =A7A8=1, 如果把图 2 中的直角三角形继续作下去, 记 OA1, OA2, …, OAn, … 的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为 an=________.

答案 解析

n ∵OA1=1,OA2= 2,OA3= 3,…,OAn= n,…,

∴a1=1,a2= 2,a3= 3,…,an= n. 11.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: 3 4 5 6 (1)5,8,11,14,…; 8 15 24 (2)-1, ,- , ,…; 5 7 9 (3)1,0,1,0,…. 答案 解析 见解析 (1)分子依次为 3,4,5,6…其规律是后续项等于前项加 1,又首项为 3=1

+2,故分子的通项为 n+2;分母依次为 5,8,11,14,…其规律是后继项等于 前项加 3,又首项为 5=3×1+2,故分母的通项为 3n+2.因此,数列的通项

n+2 公式为 an= . 3n+2 3 (2)数列的符号规律是(-1)n,若将第 1 项看作-3,先不考虑每一项的符号, 则分母为 3,5,7,9,…其通项公式为 2n+1;分子为 3,8,15,24,…其通项公式 为(n+1) -1.将以上规律统一起来,数列的通项公式为 an=(-1)
2 nn

+2n . 2n+1

2

1+1 1-1 (3)数列的奇数项为 1,可写成 2 ,偶数项为 0,可写成 2 .因此数列的通 1+?-1?n+1 项公式为 an= . 2 12.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式 an 是 n 的一次函数. (1)求{an}的通项公式; (2)88 是否是数列{an}中的项? 解 (1)设 an=kn+b,则

?a1=k+b=2 ?k=4 ? 解得? .∴an=4n-2. ?a17=17k+b=66 ?b=-2 (2)令 an=88,即 4n-2=88,解得 n=22.5?N*. ∴88 不是数列{an}中的项. 三、探究与创新
2 ? ?9n -9n+2? ? ?: 13.已知数列? 2 ? 9n -1 ? ? ?

(1)求这个数列的第 10 项; 98 (2)101是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; ?1 2? (4)在区间?3,3?内有无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由. ? ? (1)解 9n2-9n+2 ?3n-1??3n-2? 3n-2 设 f(n)= = = .令 n=10, 得第 10 项 a10 9n2-1 ?3n-1??3n+1? 3n+1

28 =f(10)=31. (2)解 令 3n-2 98 98 =101,得 9n=300.此方程无正整数解,所以101不是该数列 3n+1

中的项. (3)证明 0<an<1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内. (4)解 ?3n+1<9n-6 3n-2 2 1 令3<an= <3,∴? , 3n+1 ?9n-6<6n+2 ∵an= 3n-2 3n+1-3 3 3 = =1- ,又 n∈N*,∴0< <1,∴ 3n+1 3n+1 3n+1 3n+1

7 n > ? ? 6 ∴? 8 ? ?n<3

7 8 .∴ <n< . 6 3

?1 2? ∴当且仅当 n=2 时,上式成立,故区间?3,3?上有数列中的项,且只有一项 ? ? 4 为 a2=7.


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