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1-3-2-1函数的奇偶性1


1.3.2.1
一、选择题 1.下列命题中错误的是( )

①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与 y 轴一定相交 ④图象关于 y 轴对称的函数一定为偶函数 A.①② C.①④ [答案] D
?x-1 x≥1 ? 1 [解析] f(x)= 为奇函数,其图象不过原点,故②错;y=? 为偶函数,

x ? ?-x-1 x≤-1

B.③④ D.②③

其图象与 y 轴不相交,故③错. 2.如果奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则 f(x)在(-∞,0)上( A.减函数 B.增函数 C.既可能是减函数也可能是增函数 D.不一定具有单调性 [答案] B 3.已知 f(x)=x7+ax5+bx-5,且 f(-3)=5,则 f(3)=( A.-15 C.10 [答案] A [解析] 解法 1:f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5=-(37+a·5+3b-5)-10=-f(3) 3 -10=5, ∴f(3)=-15. 解法 2:设 g(x)=x7+ax5+bx,则 g(x)为奇函数, ∵f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5, ∴g(3)=-10,∴f(3)=g(3)-5=-15. 4.若 f(x)在[-5,5]上是奇函数,且 f(3)<f(1),则下列各式中一定成立的是( A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1) C.f(2)>f(3) D.f(-3)<f(5) [答案] A ) B.15 D.-10 ) )

[解析] ∵f(3)<f(1),∴-f(1)<-f(3), ∵f(x)是奇函数,∴f(-1)<f(-3). 5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(-2)的值等于( A.-1 11 C. 4 [答案] A [解析] ∵x>0 时,f(x)=2x-3, ∴f(2)=22-3=1, 又 f(x)为奇函数,∴f(-2)=-f(2)=-1. 6.设 f(x)在[-2,-1]上为减函数,最小值为 3,且 f(x)为偶函数,则 f(x)在[1,2]上( A.为减函数,最大值为 3 B.为减函数,最小值为-3 C.为增函数,最大值为-3 D.为增函数,最小值为 3 [答案] D [解析] ∵f(x)在[-2,-1]上为减函数,最大值为 3,∴f(-1)=3, 又∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[1,2]上为增函数,且最小值为 f(1)=f(-1)=3. 7.(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上为增函数的 是( ) A.y=x3 C.y=|x|+1 [答案] C [解析] 由偶函数,排除 A;由在(0,+∞)上为增函数,排除 B,D,故选 C. 1 8.(09· 辽宁文)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调递增,则满足 f(2x-1)<f?3?的 x 取值 ? ? 范围是( ) 1 2 B.?3,3? ? ? ` 1 2 D.?2,3? ? ? B.y=-x2+1 D.y=2
-|x|

)

B.1 11 D.- 4

)

1 2 A.?3,3? ? ? 1 2 C.?2,3? ? ? [答案] A

1 1 1 [解析] 由题意得|2x-1|< ?- <2x-1< 3 3 3 2 4 1 2 ? <2x< ? <x< ,∴选 A. 3 3 3 3 9.若函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a=( )

A.1 C.0 [答案] B

B.-1 D.不存在

[解析] 解法 1:f(x)=x2+(a+1)x+a 为偶函数, ∴a+1=0,∴a=-1. 解法 2:∵f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数, ∴对任意 x∈R,有 f(-x)=f(x)恒成立, ∴f(-1)=f(1), 即 0=2(1+a),∴a=-1. 10.奇函数 f(x)当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-2x+3,则 f(1)与 f(2)的大小关系为( A.f(1)<f(2) C.f(1)>f(2) [答案] C [解析] 由条件知,f(x)在(-∞,0)上为减函数, ∴f(-1)<f(-2), 又 f(x)为奇函数,∴f(1)>f(2). [点评] 也可以先求出 f(x)在(0,+∞)上解析式后求值比较,或利用奇函数图象对称特 征画图比较. 二、填空题 11.若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 的奇偶性为________. [答案] 奇函数 [解析] 由 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数得 b=0,因此 g(x)=ax3+cx,∴g(-x)=- g(x), ∴g(x)是奇函数. 12.偶函数 y=f(x)的图象与 x 轴有三个交点,则方程 f(x)=0 的所有根之和为________. [答案] 0 [解析] 由于偶函数图象关于 y 轴对称,且与 x 轴有三个交点,因此一定过原点且另两 个互为相反数,故其和为 0. 三、解答题 13.判断下列函数的奇偶性:
2 ? ?-x +x(x>0) (1)f(x)=? 2 ; ? ?x +x (x≤0)

)

B.f(1)=f(2) D.不能确定

(2)f(x)=

1 . x +x
2

[解析]

?x2-x (x≥0) ? (1)f(-x)=? 2 , ? ?-x -x(x<0)

∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 1 (2)f(-x)= 2 ≠f(x),f(-x)≠-f(x),∴f(x)既不是奇函数,又不是偶函数. x -x 14.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x2+x-2,求 f(x),g(x)的表达式. [解析] f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数得,f(x)-g(x)=x2-x -2 又 f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得: f(x)=x2-2,g(x)=x. ax+b 1 2 15.函数 f(x)= 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f?2?= ,求函数 f(x)的解析式. ? ? 5 1+x2 [解析] 因为 f(x)是奇函数且定义域为(-1,1), 所以 f(0)=0,即 b=0. 1 a 2 1? 2 2 又 f?2?= ,所以 = , ? 5 1 5 1+?2?2 ? ? x 所以 a=1,所以 f(x)= . 1+x2 16.定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)是减函数,且 f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数 a 的取值 范围. [解析] 由 f(1-a)+f(1-a2)<0 及 f(x)为奇函数得,f(1-a)<f(a2-1), ∵f(x)在(-1,1)上单调减,

?-1<1-a<1 ? 2 ∴?-1<1-a <1 ?1-a>a2-1 ?

解得 0<a<1.

故 a 的取值范围是{a|0<a<1}. 17.f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)的图象是经过点(3,-6),顶点为(1,2)的抛物线的一 部分,求 f(x)的解析式,并画出其图象. [解析] 设 x≥0 时,f(x)=a(x-1)2+2, ∵过(3,-6)点,∴a(3-1)2+2=-6,∴a=-2. 即 f(x)=-2(x-1)2+2. 当 x<0 时,-x>0, f(-x)=-2(-x-1)2+2=-2(x+1)2+2,

∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=2(x+1)2-2,
2 ? ?-2(x-1) +2 (x≥0) 即 f(x)=? , 2 ? ?2(x+1) -2 (x<0)

其图象如图所示.


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1.3.2函数的奇偶性(2)

即时训练: 1.判断下列函数是否具有奇偶性: (1) f ( x) ? x2 , x ? (?1,3) ; (2) f ( x) ? ? x 2 ; 2.若函数 y ? f ( x) ( x ?...