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高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习) g3.1017指数函数与对数函数

时间:2010-11-28


g3.1017 指数函数与对数函数
一、知识回顾: 1、指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与对数函数 y ? loga x

(a ? 0, a ? 1) 的图象与性质

函数 a 图

y=ax 0<a<1
y

y=logax a>1
y

0<a<1
y
x=1 y=1 a O x a 1

a>1
y
x=1 a x O 1 x

1

y=1 a

1

象 定义域 值 域 过定点 y值区域

O

1

x

O

1

(- ? ,+? ) (0,+ ? ) (0,1),即x =0时,y=1. x<0时,y>1; x<0时,0<y<1; x>0时,0<y<1. x>0时,y>1. 在(- ? ,+? )内是 在(- ? ,+? )内是 减函数 增函数

(0,+ ? ) (- ? ,+? ) (1,0),即x=1时,y=0. 0<x<1时,y>0; x>1时,y<0. 在(0,+ ? )内是 减函数 0<x<1时,y<0; x>1时,y>0. 在(0,+ ? )内是 增函数

单调性

2、指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与对数函数 y ? loga x 直线 y ? x 对称 二、 基本训练

(a ? 0, a ? 1) 互为反函数,其图象关于

1

1、 (1) y ? lg x ? lg(5 ? 3x) 的定义域为_______; (2) y ? 2 x ?3 的值域为_________; (3)

y ? lg(? x 2 ? x) 的递增区间为 __________ _ ,值域为 __________ _ 1 2、 (1) log2 1 x ? ? 0 ,则 x ? ________ 4 2
(2)函数 f ( x) ? loga x(2 ? x ? ? ) 的最大值比最小值大 1 ,则 a ? __________ 3、 (1)若函数 y ? 2 ? x?1 ? m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是 ( (A) m ? ?2 (B) m ? ?2 (C) m ? ?1 (D) m ? ?1 x x x (2)如图为指数函数 (1) y ? a , (2) y ? b , (3) y ? c , (4) y ? d x ,则 y a, b, c, d 与 1 的大小关系为 a b c d (A) a ? b ? 1 ? c ? d (B) b ? a ? 1 ? d ? c (C) 1 ? a ? b ? c ? d (D) a ? b ? 1 ? d ? c (3)若 loga (a 2 ? 1) ? loga 2a ? 0 ,则 a 的取值范围是 ( )
O



x

(A) (0,1)

1 (B) (0, ) 2

1 (C) ( ,1) 2

(D) (1,??) )

(4)已知 a ? log0.7 0.8 , b ? log1.1 0.8 , c ? 1.10.7 ,则 a, b, c 的大小关系是( (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? a ? b (D) b ? c ? a 三、例题分析 例 1(1)若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则 ( (A) 0 ? a ? b ? 1 (B) 0 ? b ? a ? 1 (C) a ? b ? 1 (D) b ? a ? 1 (2)函数 y ? log2 ax ? 1(a ? 0) 图象的对称轴为 x ? 2 ,则 a 为 (

) )

1 1 (B) ? (C) 2 (D) ? 2 2 2 (3) x ? ?1,2?时,不等式 ( x ? 1) 2 ? loga x 恒成立,则 a 的取值范围是
(A) (A) (0,1) (B) (1,2) (C) ?1,2?





?1 ? (D) ? ,2? ?2 ? x x (4)已知函数 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 的值域为 ?1,7? ,则 x 的范围是 ( (A) ?2,4? (B) (??,0) (C) (0,1) ? ?2,4? (D) ?? ?,0? ? ?1,2? 例 2、比较大小 (1) 0.40.2 (2) log0.1 0.4 log1 0.4 log3 0.4 lg 0.4 20.2 21.6
2



(3) a , a , a
b

?b

a

其中 0 ? a ? b ? 1

例 3、要使函数 y ? 1 ? 2 x ? 4 x a 在 x ? ?? ?,1? 上 y ? 0 恒成立。求 a 的取值范围。 变题:设 f ( x) ? lg
1? 2x ? 4x ? a (a ? R) ,如果当 x ? (??,1) 时 f (x) 有意义,求 a 的取值范围。 3

例 4、若关于 x 的方程 25 ? 4?5 ? m ? 0 有实根,求 m 的取值范围。 变题 1:设有两个命题:①关于 x 的方程 9x ? (4 ? a) ? 3x ? 4 ? 0 有解;②函数 f ( x) ? log2a2 ?a x 是 减函数。当①与②至少有一个真命题时,实数 a 的取值范围是__ 变题 2:方程 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是_____。

? x ?1

? x ?1

例 5、已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 的反函数为 f ?1 ( x) , g ( x) ? log4 (3x ? 1) (1) 若 f ?1 ( x) ? g ( x) ,求 x 的取值范围 D。 1 (2) 设 H ( x) ? g ( x) ? f ?1 ( x) ,当 x ? D 时,求函数 H (x ) 的值域 2 x?3 变题:已知函数 f ( x) ? log a 的定义域为 ?? , ? ? ,值域为 ? loga a(? ?1),loga a(? ?1)? ,且函 x?3 数 f ( x) 为 ?? , ? ? 上的减函数,求实数 a 的取值范围。

四、作业 同步练习 g3.1017 指数函数与对数函数 1、函数 y ? a x ? (b ? 1) (a ? 0, a ? 1) 的图象不经过第二象限,则有 ( ) (A) a ? 1, b ? 1 (B) 0 ? a ? 1, b ? 0 (C) 0 ? a ? 1, b ? 0 (D) a ? 1, b ? 0 2、函数 f ( x) ? lg(2 x ? b) ( b 为常数) ,若 x ? ?1,??? 时, f ( x) ? 0 恒成立,则( ) (A) b ? 1 (B) b ? 1 (C) b ? 1 (D) b ? 1

2 3、若 a ? ( ) x , b ? x 2 , c ? log 2 x ,当 x ? 1 时, a, b, c 的大小关系为 ( ) 3 3 (A) a ? b ? c (B) c ? a ? b (C) c ? b ? a (D) a ? c ? b 1? x 1 , 若f (a) ? , 则f (?a) ? ( ) 4、 (04 年全国卷一.文 2)已知函数 f ( x) ? lg 1? x 2 1 1 A. B.- C.2 D.-2 2 2 5、 (04 年全国卷二.文 7 理 6)函数 y ? ?e x 的图象( ) x x A.与 y ? e 的图象关于 y 轴对称 B.与 y ? e 的图象关于坐标原点对称 C.与 y ? e? x 的图象关于 y 轴对称 D.与 y ? e? x 的图象关于坐标原点对称
6、 (05 湖北卷)在 y ? 2 x , y ? log2 x, y ? x 2 , y ? cos2x 这四个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时,使
x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是( ) )? 2 2 A.0 B.1 C.2 D.3 1 7、 (05 上海)若函数 f(x)= X , 则该函数在(-∞,+∞)上是 2 ?1 (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 f(

3

(

)

8、函数 y ? 2 x?1 的定义域为 __________ ,值域为 __________ __ 。 9、 f (x) 为奇函数且 x ? 0 时, f ( x) ? 10x ,当 x ? 0 时,解析式为 __________ __ a 10、函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 在 ?1,2? 上最大值比最小值大 ,则 a ? _________ 2 11、 (04 年全国卷三.理 15) 已知函数 y ? f (x) 是奇函数, 则当 x ? 0 时, f ( x) ? 3x ? 1 , f (x) 设 的反函数是 y ? g (x) ,则 g (?8) ? 12、求 y ? loga (a ? a x )

(a ? 0, a ? 1) 的定义域。

13、已知 f ( x) ? 1 ? logx 3 , g ( x) ? 2 logx 2 ,试比较 f (x) 与 g (x) 的大小关系。

14、设 a ? 0, a ? 1 ,如果函数 y ? a 2 x ? 2 ? a x ? 1在 ?? 1,1?上的最大值为 14 ,求 a 的值。

x x ? ? ? ? 15、设集合 A ? ? x 2(log1 x) 2 ? 14 log4 x ? 3 ? 0? ,若函数 f ( x) ? loga a ? loga a 2 ,其中 a ? 0, a ? 1 , ? ? 2 ? ? ? ? 1 当 x ? A 时,其值域为 B ? ? y ? ? y ? 2? ,求实数 a 的值。 4 ? ?

答案:
? 5? 基本训练:(1)?1, ? 1 ? 3?

(2) y | y ? 0, y ? 1} {

? 1? (3)? 0, ? ;? ??, ?2lg 2? ? 2?

2

(1) [0, 2]

(2) [

2 , 2] 2

? 2 (3) { , } 2 ?
(3) B
2

3(1)A (4) D

(2)B

(3)C

(4)B

例题: (1) 1 B

(2) A

log3 0.4 ? lg 0.4 ? log 0.10.4 ? log 1 0.4
4、? ?3,0?
1 [0, ] 2

(3) ab ? a a ? a ?b

2、 (1)0.40.2 ? 20.2 ? 21.6 (2) 3 3 3、 a ? ? 变题: a ? ? 4 4 5(1)[0, 1] (2)

? 1 ? ?1 ? 变题 1、 ? ??, ?8? ? ? ? , 0 ? ? ? ,1? ? 2 ? ?2 ? ? 2? 3 ? 变题: ? 0, ? ? 4 ? ? ?

? 5? 变题 2、 ? 2, ? ? 2?

作业:1—7、DABBD
3 1 或 2 2

BA

8、 ?1, ?? ? ; ?1, ?? ?

??10? x , x ? 0 9、 f ( x) ? ? ?0 , x ? 0

10、 13 、 当 14、3

11 、 -2

12 、 当 a ? 1 ,x ? ? ?? ,? 1 当 0 ? a ? 1x ? ? ??? ; , 1,

4 4 4 0 ? x ? 1 x ? 时 , f ( x )? g ;当 x= 时, f ( x)= g ( x);当 1 ? x ? 时, f ( x ) ? g ( x ) 或 (x ) 3 3 3 1 或 15、2 3


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