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高一数学期末试卷(2) 教师版

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高一数学试卷
一、选择题:本大题共 14 个小题,每小题 3 分,共 42 分. 1.将集合“奇数的全体”用描述法表示正确的是 A.{ x | x ? 2n ? 1 , n ? N ? } C.{ x | x ? 2n ? 1 , n ? R } B.{ x | x ? 2n ? 1 , n ? N + } D.{ x | x ? 2n ? 1 , n ? Z } )

( )

2.已知集合 A={ x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 },B={ x | ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 },则集合 A ? B 是( A. {-1,2,3} C. {1,-2,3} B. {-1,-2,3} D. {1,-2,-3} ( )

3.已知函数 f ( x ? 1) ? ? x ,则函数 f ( x) 的表达式为 A. f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ( x ≥ 0) C. f ( x) ? ? x ? 2x ?1 ( x ≥ 0)
2

B. f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 ( x ≥ ?1) D. f ( x) ? ? x ? 2x ?1 ( x ≥ -1)
2

4.图 1 是偶函数 y ? f ( x) 的局部图象,根据图象所给信息,下列结论正确的是( A. f ( ? 1) ? f (2) ? 0 B. f ( ? 1) ? f (2) ? 0 C. f ( ? 1) ? f (2) ? 0 D. f ( ? 1) ? f (2) ? 0 5.已知二次函数 f ( x) ? m x ? 2mx ? 3 ,则下列结论正确的是
2 2

) y 2 o 1 图1 3 x





A.函数 f ( x ) 有最大值-4 C.函数 f ( x ) 有最大值-3
3

B.函数 f ( x ) 有最小值-4 D.函数 f ( x ) 有最小值-3 ) B. f (a) ? f (b) ? 0 D. f (a) ? f (b) ? 0 ( )

6.已知函数 f ( x) ? ? x ? x ,若实数 a , b 满足条件 a ? b ? 0 ,则下列结论一定正确的是( A. f (a) ? f (b) ? 0 C. f (a) ? f (b) ? 0

7.函数 y ? 1 ? 2x 的定义域和值域依次分别是 A.{ x | x ≤ 0 }和{ y | 0 ≤ y ? 1 } C.{ x | x ≥ 0 }和{ y | y ≤1 } 8.式子 log9 16? log8 81的值为 A. 18 9.下列判断正确的是 B. B.{ x | x ? 0 }和{ y | 0 ? y ? 1 } D.{ x | x ? 0 }和{ y | y ? 1 }

( C.



1 18

8 3

D.

3 8
( )

A.棱柱中只能有两个面可以互相平行 B.底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱 C.底面是正六边形的棱台是正六棱台 D.底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
-1-/5

10.下列各图中,可以作为一个四棱台的俯视图为





A.

B.

C. 11.下列说法正确的是

D. ( )

A.过平面外一点作平行于此平面的直线有且只有一条 B.过平面外一点作此平面的垂线有且只有一条 C.过直线外一点可以作无数条直线与这条直线平行 D.过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直 12.已知点 A(1,2) ,点 B(5,-2) ,则在坐标轴上到点 A 与点 B 的距离相等的点的坐标是( A. (3,0)和(-3,0) C. (3,0)和(0,3) 13.下列各组直线中,互相垂直的一组是 A. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 与 4 x ? 6 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 与 4 x ? 6 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 与 3x ? 2 y ? 6 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 与 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 14.已知一条直线 2 x ? 3 y ? k ? 0 与圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于不同的 A、B 两点,则 A、B 两点间距离
2 2



B. (0,3)和(0,-3) D. (3,0)和(0,-3) ( )

的最大值是( A.5

) B. 2 5 C. 5 D. 3

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分.

?2 x ? 1 ( x ≥ 3) 16.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?1)) 的值是 ?1 ? 3x ( x ? 3)
2



17.如果二次函数 y ? mx ? 5x ? 4 在区间( ?? , 2 ] 上是增函数,在区间 [ 2 , ?? )是减函数,则 m 的值 是 .

18.已知一个正三棱锥的三个侧面都是直角三角形,若这个正三棱锥中的最短的棱长为 2,则这个正三棱锥中 最长的棱的长为 .
2 2

19.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 平行且与圆 x ? y ? 4 相切的直线的方程是
-2-/5



三、解答题:本大题共 5 个小题,满分 43 分,解答要求写出步骤过程. 20.本题满分 10 分(每小题各 5 分) (1)已知二次函数 f ( x ) 的两个零点分别是 -2 和 4,且其图象经过点(-1,-10) ,试求函数 f ( x ) 的最小值.
1 ? 5 5 ?2 1 (2)计算: log 4 8 ? log 5 ? ( ) ? (0.01) 2 ? log 5 . 3 2 15

21.本题满分 8 分 如图 2:在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5,点 D 是 AB 的中点,CB1 与 BC1 相交于点 E. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求线段 DE 的长. A1 C1 E B1

C D A 22.本题满分 8 分:已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 图2

B

(1)若不经过坐标原点的直线 l 与圆 C 相切,且直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)设点 P 在圆 C 上,求点 P 到直线 x ? y ? 5 ? 0 距离的最大值与最小值.

23.本题满分 8 分 社区文具商场的某种毛笔每支售价 25 元,书法练习本每本售价 5 元.该商场为促销制定了甲、乙两种优惠 方案:方案甲:买 1 支毛笔就赠送 1 本书法练习本;方案乙:按购买金额打 9 折付款.某校书法兴趣小组打算 购买这种毛笔 10 支,这种书法练习本 x ( x ≥ 10 )本. (1)分别写出按甲、乙两种优惠方案实际付款金额 y 甲(元) 、 y 乙(元)与 x 之间的函数关系式; (2)如果该商场即允许只选择一种优惠方案购买,也允许同时用两种优惠方案购买,请你就购买这种毛笔 10 支和这种书法练习本 60 本设计一种最省钱的购买方案.

24.本题满分 9 分 已知 a ? 0 且 a ? 1 , f ( x) ? loga (ax ? x) . (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)当 a ? 1 时,判断函数 f ( x ) 的单调性,并用函数单调性的定义证明你的结论.

-3-/5

一、1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D 11.B 12.D 13.C 14.B 二、 :15、二重零点-1 和零点 1; 16、7; 17、 ?

5 ; 4

18、 2 2 ;

19、 3x ? 4 y ? 10 ? 0 .

三、20、 (1)解:因为二次函数 f ( x ) 的两个零点分别是 -2 和 4,所以设 f ( x) ? a( x ? 2)( x ? 4) ,又 f ( x ) 的 图象经过点(-1,-10) ,所以有 ?10 ? a(?1 ? 2)(?1 ? 4) ,得 a ? 2 ,于是 f ( x) ? 2( x ? 2)( x ? 4) ,
?4 又 f ( x ) 图象的对称轴是 x ? ?2 2 ? 1 ,所以 f ( x ) 的最小值为 f (1) ? 2(1 ? 2)(1 ? 4) ? ?18

(2)解:原式=

1 lg 23 5 2 2 2 ? log ( ? 15) ? ( ) ? (100) 5 2 lg 2 3 5

??3 分

=

3 4 19 ? 2 ? ? 10 ? 2 25 10

21、 (1)证明:因为底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,所以 AC⊥BC 又三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AC⊥CC1,于是 AC⊥平面 BC1, 因此 AC⊥BC1 (2)因为 E 是矩形 CBB1C1 对角线的交点,所以 E 是 BC1 的中点,又 D 是 AB 的中点,所以 DE// AC1,且 DE= 1 2 AC1 因为 AC=3,AA1=4,所以 AC1=5,因此 DE= 5 2 22、解: (1)圆 C 的方程可化为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 ,即圆心的坐标为(-1,2) ,半径为 2
2 2



因为直

线 l 在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点,所以可设直线 l 的方程为 x ? y ? m ? 0 , ; 于是有
|?1? 2? m| 1?1

? 2 ,得 m ? 1 或 m ? ?3 ,因此直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 3 ? 0
|?1?2?5| 1?1

(2)因为圆心(-1,2)到直线 x ? y ? 5 ? 0 的距离为

?4 2,

所以点 P 到直线 x ? y ? 5 ? 0 距离的最大值与最小值依次分别为 5 2 和 3 2 23、解: ( 1) y 甲 = 10 ? 25 ? 5( x ? 10) ? 5x ? 200 ( x ≥10)

y 乙 = (10 ? 25 ? 5x) ? 0.9 ? 4.5x ? 225 ( x ≥10)

(2)设按甲种优惠方案购买 m (0 ≤ m ≤10) 支毛笔,则获赠 m 本书法练习本;因此需要按乙优惠方案购买

(10 ? m) 支毛笔和 (60 ? m) 本书法练习本.总费用为 y ? 25m ? [25(10 ? m) ? 5(60 ? m)] ? 0.9 ? ?2m ? 495 , 显然 y 是关于 m 的一次函数且是减函数的类型,故当 m 最大即 m ? 10 时, y 最小,最小值为 475.
因此最省钱的购买方案是先按甲种优惠办法购买 10 支毛笔得到 10 本书法练习本, 再按乙种优惠方案购买 50 本 书法练习本. 24、 .解: (1)由 ?

? 1 1 ?x ≥ 0 及 a ? 0 得 x ? 2 ,所以 f ( x ) 的定义域为 ( 2 , ?? )(2)当 a ? 1 a a ? ?ax ? x ? 0
增 函 数 , 设









f ( x)



x2 ? x1 ?

1 a2





a x2 ? a x1 ? 1
1





(a 2 x ?


2

) x?

( 1a? x

1

) ?x

(

2

? a

x x x2 ? ? x x1 ) [ax ( 2 x ? 1) ? ? (
ax2 ? x2 ax1 ? x1

x?)

? 1 ]

0

(ax2 ? x2 ) ? (ax1 ? x1 ) , 于 是 有

?1 , 又 a ?1 所 以 有

f ( x2 ) ? f ( x1 )

? log a (ax2 ? x2 ) ? log a (ax1 ? x1 ) ? log a

ax2 ? x2 ax1 ? x1

? log a 1 ? 0 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 所以 a ? 1 时, 函数 f ( x )

-4-/5

是增函数

-5-/5


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