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高二 竞赛辅导3(圆锥曲线师用)


第 3 讲 抛物线
一、抛物线焦点弦的一般性质: 抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,则焦点 F ( 线 l 的方程: x ? ?

p ,0) ,准 2

y A1
O

A

p . 2

过焦点 F 的直线交抛物线于 A(x1, y1)、

B(x2, y2)两点, 又作 AA1⊥l, BB1⊥l,垂足分别为 A1、B1. 基本概念: 1.若 AB 垂直于抛物线的对称轴,则称线段 AB 为抛物

B1

F B

x

线的通径。|AB|= . 2 2.设 P(x0,y0)是抛物线 y =2px(p>0)上的一点,则 P 到抛物线焦点 F 的距离|PF|称为 P 点的 焦半径。|PF|= ; 2 直线 AB 经过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)(AB 则为抛 物线的焦点弦).

p2 结论(1) x1 ? x 2 ? (定值),.(2) y1? y 2 ? ? p 2 (定值),. 4
(3)弦长 | AB |?| AF | ? | BF |?| AA1 | ? | BB 1 |? x1 ?

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2p 若 AB 所在的直线的倾斜角为 ? ,则 | AB |? .(焦点弦中通径最小) sin 2 ?

(4)若此焦点弦 AB 被焦点 F 分成 m, n 两部分,则

1 1 2 ? ? . m n p

(5)以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l 相切. (6)以抛物线焦半径 | AF | 为直径的圆与 y 轴相切. (7) A1 F ?B1F .(8)若 M 为 A1 B1 的中点,则 MF ? AB . (9)在梯形 AA1B1B 中,两对角线 AB1 与 BA1 相交于点抛物线顶点 O . 二、巩固练习 1、 (2009 天津卷理)设抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交 于 A, B 两点, 与抛物线的准线相交于 C,BF =2, 则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF =( ) S?ACF

A.

4 5

B.

2 3

C.

4 7

D.

1 2

6

C

4

2

F: (0.51 , 0.00 )

A F

S BC 【解析】由题知 ?BCF ? ? S ?ACF AC
又 | BF |? x B ?
10

1 2 ? 2xB ? 1 , 1 2xA ? 1 xA ? 2 xB ?

-5

5

x=-0.5
-2

1 3 ? 2 ? xB ? ? yB ? ? 3 2 2

B

由 A、B、M 三点共线有
-4

yM ? y A y ? yB 即 ? M xM ? x A xM ? xB

0 ? 2xA
-6

3 ? xA

?

0? 3 ,故 x A ? 2 , 3 3? 2



S ?BCF 2 x B ? 1 3 ? 1 4 ? ? ? ,故选择 A。 S ?ACF 2 x A ? 1 4 ? 1 5

【答案】A 2、 (05, 11) 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上, 另外两个顶点在抛物线 y ? x 2 上.则该正方形面积的最小值为 .

12. 解:设正方形的边 AB 在直线 y ? 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为

C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 CD 所在直线 l 的方程 y ? 2 x ? b, 将直线 l 的方程与抛物线方程
联立,得 x 2 ? 2 x ? b ? x1, 2 ? 1 ? b ? 1. 令正方形边长为 a, 则 a ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 5( x1 ? x2 ) ? 20(b ? 1). ①
2 2 2 2

在 y ? 2 x ? 17 上任取一点 (6, ,5) , 它到直线 y ? 2 x ? b 的距离为 a,? a ? ①、②联立解得 b1 ? 3, b2 ? 63. ?a ? 80, 或 a ? 1280 .? amin ? 80.
2 2 2

| 17 ? b | 5

②.

3、(02)已知点 A(0,2)和抛物线 y2=x+4 上两点 B,C,使得 AB⊥BC,求点 C 的纵坐标的取 值范围. 解:设 B(y02-4,y0),C(y12-4,y1).则 y0-2 1 y1-y0 1 kAB= 2 = .kBC= 2 2= . y0-4 y0+2 y1-y0 y1+y0 由 kAB·kBC=-1,得(y1+y0)(y0+2)=-1. ∴ y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0. ∴ △=(y1+2)2-4(2y1+1)=y12-4y1≥0, ∴ y1≤0,y1≥4.
y

A
(-4,0)

(0,2 )

O

x

B C

当 y1=0 时,得 B(-3,-1),当 y1=4 时,得 B(5,-3)均满足要求,故点 C 的纵坐标 的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞). 4、 ( 2009 广 东 卷 理 ) 已知曲线 C : y ? x2 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA ) 和

B( xB , yB ) ,且 xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区
域(含边界)为 D .设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程;

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25 1 5 2 解(1)联立 y ? x 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) , 2 2 1 5 ?s ?t 1 5 2 2 M 设线段 PQ 的中点 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? ,即 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? , ,y ? 2 2 2 2
(2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

又点 P 在曲线 C 上,

y 5 1 11 ? (2 x ? ) 2 化简可得 y ? x 2 ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点, 2 2 8 xB 1 1 5 且不与点 A 和点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? , 2 4 4 11 1 5 xA 2 D ∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x ? x ? ( ? ? x ? ). 8 4 4 o 51 2 2 2 ?0, (2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 49 7 2 2 即圆 E : ( x ? a ) ? ( y ? 2) ? ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径 r ? 25 5 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公共点; 由图可知,当 0 ? a ? 2 时,曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公共点, 当 a ? 0 时, 要使曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 只需圆心 E 到 25
∴ 2y ? 直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

x

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 7 2 ,得 ? ? a ? 0 ,则 a 的最小值 5 5

为?

7 2 . 5
2

5、(2009 湖北卷理) 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的对称轴上一点 A? a,0?? a ? 0? 的直线与 抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向直线 l : x ? ? a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)当 a ?

p 时,求证: AM1 ⊥ AN1 ; 2

(Ⅱ)记

?AMM1 、 ?AM1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,是否存在 ? ,使

2 得对任意的 a ? 0 ,都有 S2 ? ? S1S2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。

解 依题意,可设直线 MN 的方程为 x ? my ? a, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , 则有 M (?a, y1 ), N (?a, y2 ) 由?

? x ? my ? a
2 ? y ? 2 px

消去 x 可得 y 2 ? 2mpy ? 2ap ? 0 , ①

从而有 ?

? y1 ? y2 ? 2mp ? y1 y2 ? ?2ap

于是 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2a ? 2(m2 p ? a)



( y1 y2 )2 (?2ap)2 又由 y ? 2 px1 , y ? 2 px2 可得 x1 x2 ? ? ? a2 2 2 4p 4p
2 1 2 1



p p p 时,点 A( , 0) 即为抛物线的焦点, l 为其准线 x ? ? 2 2 2 P P 此时 M 1 ( ? , y1 ), N1 ( ? , y2 ), 并由 ①可得 y1 y2 ? ? p2 2 2 uuuu v uuuv 证法 1: Q AM1 ? (? p, y1 ), AN1 ? (? p, y2 )
(Ⅰ)如图 1,当 a ?

uuuu v uuuv ? AM1 ? AN1 ? p2 ? y1 y2 ? p2 ? p2 ? 0,即AM1 ? AN1
Q K AM1 ? ? y1 y , K AN1 ? ? 2 , p p

证法 2:

? K AM1 ? K AN1 ?

y1 y2 p2 ? ? ? ?1,即AM1 ? AN1. p2 p2

2 (Ⅱ)存在 ? ? 4 ,使得对任意的 a ? 0 ,都有 S2 ? 4S1S3 成立,证明如下:

证法 1:记直线 l 与 x 轴的交点为 A 1 ,则 OA ? OA 1 ? a 。于是有

1 1 S1 ? ? MM 1 ? A1M 1 ? (x1 ? a) y1 2 2 1 S2 ? ? M 1 N1 ? AA1 ? a y1 ? y2 2 1 1 S3 ? ? NN1 ? A1 N1 ? (x2 ? a ) y2 2 2
2 ? S2 ? 4S1S3 ? (a y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? a ) y1 ? ( x2 ? a ) y2

? a 2 [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [ x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ] y1 y2
将①、②、③代入上式化简可得

a2 (4m2 p2 ? 8ap) ? 2ap(2am2 p ? 4a2 ) ? 4a2 p(m2 p ? 2a)
2 上式恒成立,即对任意 a ? 0, S2 ? 4S1S3 成立 2 证法 2:如图 2,连接 MN1 , NM1 ,则由 y1 y2 ? ?2ap, y1 ? 2 px1 可得

KOM ?

y1 2 p 2 py2 2 py2 y2 ? ? ? ? ? KON1 ,所以直线 MN1 经过原点 O, x1 y1 y1 y2 ?2ap ?a

同理可证直线 NM1 也经过原点 O 又 OA ? OA 1 ? a 设 M1 A 1 ?h 1 , N1 A 1 ? h2 , MM1 ? d1 , NN1 ? d2 , 则

S1 ?

1 1 1 d1h1 , S2 ? ? 2a (h1 ? h2 ) ? a (h1 ? h2 ), S3 ? d 2 h2 . 2 2 2

6、 (08 一试)如题 15 图,P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点, 点 B,C 在 y 轴上, 圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 内切于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值. [解] 设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C(0, c) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b x, x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

?1 ,

…5 分 题 15 图

2 2 2 故 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2x0b( y0 ? b) ? x0 b ,

易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . 所以 b ? c ? …10 分

? x0 ?2 y0 , ,则 bc ? x0 ? 2 x0 ? 2
2 2 4 x0 ? 4 y0 ? 8x0 . ( x0 ? 2)2

(b ? c)2 ?

2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2 x0 ,则
2 2 x0 . 4 x0 ,b ?c ? 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2)

(b ? c)2 ?

…15 分

x 所以 S?PBC ? 1 (b ? c) ? x0 ? 0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? 4 ? 4 2 x0 ? 2 x0 ? 2

?2

4 ? 4 ?. 8

当 ( x0 ? 2)2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 . 因此 S?PBC 的最小值为 8. …20 分

p p 7、 (05 山东理 (22) ) 已知动圆过定点 ( ,0) , 且与直线 x ? ? 相切, 其中 p ? 0 . 2 2 (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾

斜角分别为 ? 和 ? ,当 ? 、 ? 变化且 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.
p 解析: (Ⅰ)设动圆圆心 M ( x, y) ,定点 F ( ,0) ,则动点 M 到定点 F 和定直 2 p 线 l: x ? ? 距离相等,且定点不在定直线上. 2 法一:由抛物线定义知,动圆圆心的轨迹 C 是以定点为焦点,定直线为准

线的抛物线.其方程为: y 2 ? 2 px( p ? 0) .

p p 法二:由 ( x ? ) 2 ? y 2 ? x ? ,解得 2 2
动圆圆心的轨迹 C 的方程为: y 2 ? 2 px( p ? 0) . (Ⅱ)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由题意得 x1 ? x 2 (否则 ? ? ? ? ? ) 且
2 x1 ? x2 ? 0 , y12 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 .

所以直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? b .

? y 2 ? 2 px , 由? 得 ky 2 ? 2 py ? 2 pb ? 0 , y ? kx ? b . ?

2p ? y ? y ? , 1 2 ? k ∴? 2 pb ? y1 y 2 ? . k ?
(1) ? ?

…………………①

?
2

时, tan? ? tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

y1 y 2 2p 2p ? ? x1 x 2 y1 y2 2 p( y1 ? y 2 ) = ? ? . y1 y 2 2p 2p y1 y 2 ? 4 p 2 1? 1? y1 y 2 x1 x 2
由①②得, tan? ?
2p 2p ? 2 pk . ,∴b ? tan ? b ? 2 pk

…………………②

所以直线 AB 的方程为 y ? kx ? 故直线 AB 恒过定点 ( ?2 p, (2) ? ? ∴

2p 2p ? 2 pk ? k ( x ? 2 p) ? , tan ? tan ?

?
2

时, ? ? ? ?

?

2p ). tan ? 2

,∴ tan? ? tan ? ? 1 , …………………③

y1 y 2 ? 1 ,得 y1 y2 ? 4 p 2 , x1 x2

由①③得, b ? 2 pk , 所以直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 pk ? k ( x ? 2 p) , 故直线 AB 恒过定点 (?2 p,0) . 由(1) (2)知,当 ? ? 线 AB 恒过定点 ( ?2 p,

?
2

时,直线 AB 恒过定点 (?2 p,0) ;当 ? ?

?
2

时,直

2p ). tan ?

? y 2 ? 2 px , 法二:由 ? 得 k 2 x 2 ? (2kb ? 2 p) x ? b 2 ? 0 . ? y ? kx ? b.

2 p ? 2kb ? x ? x ? , 1 2 ? ? y1 ? kx 1 ? b, ? k2 及? ? 2 b ? y 2 ? kx 2 ? b. ? x1 x 2 ? 2 . ? k ?

y1 y 2 kx1 ? b kx2 ? b ? ? x1 x 2 x1 x2 ? 2p tan? ? tan( ? ? ?) ? ? ? . (? ? ) y y kx ? b kx2 ? b b ? 2 pk 2 1? 1 2 1? 1 ? x1 x 2 x1 x2
以下同法一. 法三:设 OA 的方程为: y ? k1 x, OB 的方程为: y ? k 2 x . 则 k1 ? tan? , k 2 ? tan? ,

? y ? k1 x, 2p 2p 2p 2p 由? 2 得 A( 2 , ) ;同理可得 B( 2 , ) , k1 k1 k2 k2 ? y ? 2 px.
2p 2p ? k2 k1 kk ? ? 1 2 , (若 k1 ? k 2 ? 0, 则 ? ? ? ? ? ) 2 p 2 p k1 ? k 2 ? 2 k2 k12

∴直线 AB 的斜率是 k AB

∴直线 AB 的方程为 y ?

kk kk 2p 2p 2p , ? 1 2 ( x ? 2 ) ,∴ y ? 1 2 x ? k1 ? k 2 k1 ? k 2 k1 k1 ? k 2 k1

? ? ?) ? 又 tan? ? tan(

k1 ? k 2 ? , (? ? ) . 2 1 ? k1 k 2 k1k 2 2 p(1 ? k1k 2 ) ( x ? 2 p) ? , k1 ? k 2 k1 ? k 2

∴直线 AB 的方程为 y ?

即 y?

k1k 2 2p ( x ? 2 p) ? , 以下略. k1 ? k 2 tan?

法四:设直线 AB 的方程为 x ? m y ? b ,与抛物线方程联立消去 x,可避免分 式出现,同时可不必讨论斜率不存在的情况.以下略. 本小题主要考查直线和抛物线的概念和性质、 三角函数公式, 考查分类讨论思想、 解析几何的基本方法及综合解题能力.在整个解题过程中,突出方程的思想,这 就是解析几何的基本方法,用代数(方程)的方法解决几何问题.本小题为试卷 的压轴题,由于第(Ⅰ)问两种解法思路清楚,学生熟悉,且计算量不大,一般 学生都能得到分数;第(Ⅱ)问涉及到的字符较多且运算量较大,时间又紧,只 有数学能力较高的学生才能取得高分.
8、(2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的 距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于 点 P 的横坐标与 18 之和

(Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。
2 2 解(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,则 d ? 4 ( x ? 3) ? y ? 3︳x-2︳

由题设

1 当 x>2 时,由①得 ( x ? 3) ? y ? 6 ? x, 化简得 2
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 36 27

2 2 当 x ? 2 时 由①得 (3 ? x) ? y ? 3 ? x, 化简得 y 2 ? 12 x

故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 在直线 x=2 的右侧部分与 36 27

抛物线 C2 : y2 ? 12x 在直线 x=2 的左侧部分(包括它与直线 x=2 的交点) 所组成的曲线,参见图 1 (Ⅱ)如图 2 所示,易知直线 x=2 与 C1 , C2 的交点都是 A(2, 2 6 ) ,B(2, ?2 6 ) , 直线 AF,BF 的斜率分别为 k AF = ?2 6 , k BF = 2 6 . 当点 P 在 C1 上时,由②知

PF ? 6 ?

1 x. 2



当点 P 在 C2 上时,由③知

PF ? 3 ? x



若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) (i)当 k≤ k AF ,或 k≥ k BF ,即 k≤-2 N( x2 , y2 )都在 C ∣MF∣= 6 1 上,此时由④知

, 6 时,直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M( x1 , y1 )

1 x 2 2 1 1 1 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 x1 )+ (6 x2 )=12 - ( x1 + x2 ) 2 2 2
∣NF∣= 6 -

1 x 2 1

? y ? k ( x ? 3) ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ?108 ? 0 则 x1 , y1 是这个方程的两根, ?1 ? ? ? 36 27
所以 x1 + x2 =

1 24k 2 12k 2 * ∣ MN ∣ =12 ( + ) =12 x x 1 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为当 k ? 2 6, 或k ? 2 6时, k 2 ? 24,

12 k2 12 100 MN ? 1 2? ? 1? 2 ? . 2 1 3? 4 k 11 ? 4 k2
当且仅当 k ? ?2 6 时,等号成立。 ( 2 ) 当 kA E? k ? kA, N ? 2

6 ? k ?2 时 6 ,直线 L 与轨迹 C 的两个交点

M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) 分别在 C1 , C2 上,不妨设点 M 在 C1 上,点 C2 上,则④⑤知,
MF ? 6 ? 1 x1 , NF ? 3 ? x2 2

设直线 AF 与椭圆 C1 的另一交点为 E ( x0 , y0 ), 则x0 ? x1 , x2 ? 2.

MF ? 6 ?

1 1 x1 ? 6 ? x 0 ? EF , NF ? 3 ? x 2? 3 ? 2 ? AF 2 2

所以 MN ? MF ? NF ? EF ? AF ? AE 。而点 A,E 都在 C1 上,且

k AE ? ?2 6, 有(1)知 AE ?

100 100 , 所以 MN ? 11 11

若直线 ? 的斜率不存在,则 x1 = x2 =3,此时

1 100 MN ? 12 ? ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 2 11
综上所述,线段 MN 长度的最大值为

100 11 .

(98)已知抛物线 y 2 = 2px 及定点 A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ? 0, b 2 ? 2pa).M 是抛物线上的点, 设直 线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2. 求证:当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 ? M2.)直线 M1M2 恒过一个定 点.并求出这个定点的坐标. m1 m2 m2 解:设 M( ,m).M1( ,m1),M2( ,m2), 2p 2p 2p
2 2

b-m 则 A、M、M1 共线,得 = m1-m 2 m1

m2 a- 2p

m2 - 2p 2p

2pa-m2 ,即 b-m= . m1+m

y
M2

M B

2pa-bm 2pa ∴ m1= ,同法得 m2= ; m b-m ∴ M1M2 所在直线方程为 y-m2 2pa-m2 = ,即(m1+m2)y=2px+m1m2.消去 m1,m2, m1-m2 2 2 m1-m2 得 2paby-bm2y=2pbmx-2pm2x+4p2a2-2pabm.⑴
2

O
A
M1

x

2pa 2pa 分别令 m=0,1 代入,得 x=a,y= ,以 x=a,y= 代入方程⑴知此式恒成立. b b 2pa 即 M1M2 过定点(a, ) b


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