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高二数学理科下学期第一次月考试卷

时间:2012-04-21


20112011-2012 学年第二学期第一次月考高二数学试卷
分钟, (考试时间 120 分钟,满分 150 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、已知函数 f(x)=-cosx+lnx,则 f'(1)的值为( C A、sin1-1 B、1-sin1 ) ) D、-1-sin1

C、1+sin1

2.下面说法正确的有( B

(1)演绎推理是由特殊到特殊的推理 (2)演绎推理得到的结论一定是正确的; (3)演绎推理的一般模式是“三段论” ; (4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关 A、1 个 3.函数 y = x + B、2 个 C、3 个 D、4 个

1 的极值情况是( B ) x
B.有极大值-2,极小值 2 D.有极大值 2,无极小值.

A.有极大值 2,极小值-2 C.无极大值,但有极小值-2

4、已知函数 f(x)的导函数 f ′( x ) = ax 2 + bx + c 的图像如图所示,则 f ( x ) 的图像可能是( D )

Y

Y

x1 O A Y Y O X O C X1 D X O B

X1 X

Y

x O X

X1

X

5、在平面上,若两个正三角形的边长之比 1:2,则它们的面积之比为 1:4,类似地,在空间中,若两个 正四面体的棱长之比为 1:2,则它的体积比为(C )

A、1:4
x

B、1:6

C、1:8

D、1:9

6、函数 f(x)=(x-3)e 的单调递增区间是( D ) A、 (-∞,2) B、 (0,3) C、 (1,4) D、 (2,+∞) A )

7、已知函数 y = f ( x ) 的图象在点 P (5, f (5)) 处的切线方程是 y = ? x + 8 ,则 f (5) + f ′(5) =( A.2 B.C.

1 2

D.

8.如果 1N 能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm,需做功( D ) A.0.26J B.0.12J C.0.28J D. 0.18J

9、设 f ( x ) = ? x 3 + ax 2 ? x ? 1 在 R 是单调函数,则实数 a 的取值范围是( C ) A、 ( ?∞,? C、 [?

3 ] ∪ [ 3 ,+∞ )

B、

(?

3, 3

)

3, 3]

D、 ( ?∞,?

3 ) ∪ ( 3 ,+∞)
C )

10. 若曲线 C: y = x 3 ? 2ax 2 + 2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数 a =( A.-2 B.0 C.1 D.-1

二、填空题: (本大题共 5 小题,每题 4 分,共计 20 分) 11.求曲线 f ( x ) = ln x 在点 M (e, f (e )) 处的切线方程 12. 计算



2

0

4 ? x2 =



13.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移是 S = _____ t = 0 __________。 14.观察等式:① sin 30 + cos 60 + sin 30 cos 60 =
2 0 2 0 0 0

1 4 3 3 t ? t + 2t 2 ,那么速度为零的时刻是 4 5

3 4

② sin 20 + cos 50 + sin 20 cos 50 =
2 0 2 0 0 0

3 4 3 4

③ sin 15 + cos 45 + sin15 cos 45 =
2 0 2 0 0 0

归纳各等式的共同特征,写出一个能反映一般规律的等式 sin 2 α + cos2 α + 30o + sin α cos α + 30o = .......

(

)

(

)

3 4

15.给出以下命题: ⑴若 ⑵



b a

f ( x)dx > 0 ,则 f(x)>0;



2π 0

sin x dx = 4 ;

⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则 其中正确的命题为_____________________. 三、解答题。 (本大题共 6 小题,共计 80 分) 16.(本小题满分 12 分) ( (1)求证 3 + 7 < 2 5 (2)设 a,b,c 均大于 0,求证三个数 a +



a 0

f ( x)dx = ∫

a +T T

f ( x)dx ;

1 1 1 , b + , c + 的值至少有一个不小于 2 b c a

17、已知某商品生产成本 C 与产量 x 的函数关系式为 C = 100 + 4 x ,单价 p 与产量 x 的函数关系式为

1 p = 25 ? x 。问产量 x 为何值时,利润最大。 8
解:设利润为 y

1 y = p ? x ? C = ? x 2 + 21x ? 100,0 < x < 200. 8 1 求导得 y ′ = ? x + 21 。 4 1 令 y ′ = 0, 得 ? x + 21 = 0 ,解得 x = 84 。 4
当 x ∈ (0,84 ) 时, y ′ > 0 ;当 x ∈ (84,200 ) 时, y ′ < 0 。 因此, x = 84 是函数 y 的极大值点,也是最大值点。所以产量为 84 时,利润最大。 18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x3 ? 3 x (1)求函数 f ( x ) 在 [ ?3, ] 上的最大值和最小值. (2)过点 P (2, ?6) 作曲线 y = f ( x ) 的切线,求此切线的方程. 解: (1)Q f ( x ) = x 3 ? 3 x,∴ f ′( x ) = 3 x 2 ? 3 = 3( x ? 1)( x + 1) 令 f ′( x ) = 0, 解得 x=1,或 x=-1. ①当 f ′( x ) > 0, 即 x>1,或 x<-1 时; ②当 f ′( x ) < 0, 即-1<x<1 时. x

3 2

(? ∞,?1)

-1

(? 1,1)

1

(1, ∞ )

f ′( x ) f (x )

+ 单调递增

0 2

单调递减

0 -2

+ 单调递增

在 [ ?3, ] 上,当 x=-1 时,有极大值, f (? 1) = 2 ;当 x=1 时,有极小值, f (1) = ?2

3 2

又由于 f (? 3) = ?18, f ? ? = ?

?3? ?2?

9 8

3 ∴ f ( x ) 在 [ ?3, ] 上的最大值 2 和最小值-18. 2
(2)设切点 xo , xo3 ? 3 xo ,

(

)

∴ k = x 3 ? 3x

(

)′

x = xo

= 3 xo2 ? 3

∴ 切线方程 y ? xo3 ? 3 xo = 3 xo2 ? 3 ( x ? xo ) Q 切线过点 P (2, ?6)

(

) (
)

)

∴ ?6 ? xo3 ? 3 xo = 3 xo2 ? 3 (2 ? xo ) ∴ xo = 0或x = 3
切线方程为 y = ?3 x 或 y = 24 x ? 54 19. (本小题满分 14 分)设二次函数 y = f ( x ) 是二次函数,方程 f ( x ) ?

(

) (

1 = 0 有两个相等的实根,且 4

f ′( x ) = ?2 x + 1 。
(1)求 y = f ( x ) 是的表达式。 (2)若直线 y = kx 把 y = f ( x ) 的图像与 x 轴所围成图形分成面积相等的两部分,求 k 的值。 . 解(1)设 f ( x ) = ax 2 + bx + c ,则 f ′( x ) = 2ax + bx 。又已知 f ′( x ) = ?2 x + 1 ,

∴ a = ?1, b = 1,∴ f ( x ) = ? x 2 + x + c
又方程 f ( x ) ?

1 = 0 有两个相等的实根, 4
(4 分) 得:直线 y = kx 分抛物线 y = x ? x 2 的交点的横坐标为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (7 分)

∴ c = 0,∴ f ( x ) = ? x 2 + x
(1)解方程组 ?

? y = kx ?y = x ? x
2

x = 0和 x = 1? k

抛物线 y = x ? x 与 x 轴所围成图形为面积为
2
1 1 1 1 S = ∫ ( x ? x 2 )dx = ( x 2 ? x 3 ) |1 = 0 0 2 3 6

┅┅┅┅┅

(10 分)

由题设得

S = 2



1? k

0

( x ? x 2 ) dx ? ∫

1? k

0

kx dx

=



1? k

0

( x ? x 2 ? kx ) dx =

(1 ? k ) 3 6

┅┅┅┅┅┅┅

(13 分)

3 1 1 4 3 又 S = ,所以 (1 ? k ) = ,从而得: k = 1 ? 6 2 2

┅┅┅┅┅ (14 分)

20. (本小题满分 15 分)定义一个运算: 1@ 1 = 2 , m @ n = q , m @( n + 1) = q + 2 . (2)由(1)猜想 a n 的通项公式; (3)用数学归纳法证明你的猜想。 (1)设 a n = 1@ n ,求 a 2 , a3 , a 4 ; 解: (1)Q a1 = 1@ 1 = 2 ,令 m = 1, n = 1 ,则 q = 2 ----------------------(1 分) 由 m @ n = q , m @( n + 1) = q + 2 ,得 a 2 = 1@ 2 = 2 + 2 = 4 --------------------(2 分) 再令 m = 1, n = 2 ,则 q = 4 ,得 a 3 = 1@ 3 = 4 + 2 = 6 --------------------------------(4 分) 再令 m = 1, n = 3 ,则 q = 6 ,得 a 4 = 1@ 4 = 6 + 2 = 8

∴ a 2 = 4, a3 = 6, a 4 = 8 -------------------------------------------------(5 分)
(2)由(1)猜想: a n = 2n, ( n ∈ N ) ------------------------------------(8 分)
*

(3)证明:①当 n = 1 时, a1 = 1@ 1 = 2 ,另一方面, a1 = 2 × 1 = 2 ,所以当 n = 1 时等式成立。 -------------------------------------------------------(10 分) ②假设当 n = k 时,等式成立,即 a k = 1@ k = 2k ,此时 q = 2k ,---------(12 分) 那么,当 n = k + 1 时

a k +1 = 1@(k + 1) = 2k + 2 = 2(k + 1)
所以当 n = k + 1 时等式也成立。-----------------------------------------(14 分) 由①②知,等式对 n ∈ N 都成立。--------------------------------------(15 分)
*

21、 (本小题满分 15 分)

已知函数 f ( x ) =

1 3 1 x ? (a + 2 )x 2 + 2ax ? a 2 (a ∈ R ) 。 3 2

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=4,y=f(x)的图像与直线 y=m 有三个交点,求 m 的取值范围。 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) =

1 3 1 x ? (a + 2 )x 2 + 2ax ? a 2 的定义域为 x ∈ R , 3 2

f ′( x ) = x 2 ? (a + 2 )x + 2a = ( x ? a )( x ? 2 )
①当 a=2 时, f ′( x ) ≥ 0 恒成立, f ( x ) 在 R 上是增函数。 ②当 a<2 时,f'(x)≥0 在(-∞,a]和[2,+∞)上恒成立,f'(x)≤0 在 [a,2]上恒成立. ∴a<2 时 f(x)的增区间为(-∞,a]和[2,+∞),f(x)的减区间为[a,2]. ③当 a>2 时,f'(x)≥0 在(-∞,2]和[a,+∞)上恒成立,f'(x)≤0 在 [2,a]上恒成立, ∴a>2 时,f(x)的增区间为(-∞,2]和[a,+∞),f(x)的减区间为[2,a]. (Ⅱ)若 a=4,由(Ⅰ)可得 f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[4,+∞)上单调递增,在[2,4]上单调递减。 f(x)极小值=f(4)= ?

32 28 ,f(2)极大值=f(2)= ? , 3 3 32 28 ,? )。 3 3

∴y=f(x)的图像与直线 y=m 有三个交点时 m 的取值范围是( ?


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