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上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:平面向量 Word版含答案


上海交通大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:平面向量 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.下列各题中,向量 a 与 b 共线的是( ) 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

/>? ? ? ? ? ? A. a ? e1 ? e2 , b ? e1 - e2
C. a ? e1 , b ? - e 2 【答案】D

?

?

?

?

? ? 1? 1? ? e1 ? e2 , b ? e1 ? e2 2 2 ? 1 ? 2? 1? ? 1? D. a ? e1 ? e2 , b ? ? e1 ? e2 3 10 3 5
B. a ?

?

2.若 | OA ? OB |?| OA ? OB | 则向量 OA, OB 的关系是( A.平行 【答案】C
? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

) D.不确定
? ?

B.重合
? ?

C.垂直

3.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 且 A. 2 3 【答案】A 4.已知点 A ? {( x, y ) ? 1 ? A. -4 【答案】B B.12

0

a =2, b =1,则向量 a +2 b 的模为(
C. 3

)

2

D. 10

x ? 1,?1 ? y ? 1} ,点 B(2,1) ,则 OA ? OB 最小值为(
C. -2 D.-1

)

B. -3

5.设 a 、 b 都是非零向量,则“ a ? b ? ? | a | ? | b | ”是“ a 、 b 共线”的( A.充分不必要条件 C.充要条 【答案】C B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

6.△ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? ,设 M 是△ ABC 内的一点(不在边界上),定 义 f (M ) ? ( x, y, z ) ,其中 x, y, z 分别表示△ MBC ,△ MCA ,△ MAB 的面积,若

??? ? ????

1 f ( M ) ? ( x, y, ) ,则 xy 的最大值为( 2
A.

) C.

1 8

B.

1 9

1 16

D.

1 18
?

【答案】C 7.设 a, b, c o 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a与b 不共线,

? ? ?

?

? ? ? ? ? ? a ? c,| a |?| c | . 则 | b ? c | 的值一定等于(
A.以 a, b 为两边的三角形的面积;

)

? ?

B.以 b, c 为两边的三角形的面积; C.以 a, b 为邻边的平行四边形的面积; D.以 b, c 为邻边的平行四边形的面积。 【答案】C 8.若向量 a , b , c 满足 a A.4 【答案】D 9.已知向量 OA ? (4,6), OB A. ( ? 【答案】D 10.定义域为[ a, b ]的函数 y

? ?

? ?

? ?

? ? ?

?

? ? ? ? ? ? / / b ,且 a ? c ,则 c ? (a ? 2b ) ? (
B.3 C .2

) D.0

? (3,5), 且OC ? OA, AC // OB, 则向量OC ? (
2 4 , ) 7 21
C.

)

3 2 , ) 7 7

B.

(?

3 2 ( ,? ) 7 7

D.

(

2 4 ,? ) 7 21

? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x) 图象上任意一

点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ? ?0,1? .已知向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB ,若不等式 .若函数 y ? x ? MN ? k 恒成立, 则称函数 f ( x) 在[ a, b ]上“k 阶线性近似” 2]上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为( A.[0,+∞) 【答案】D B. ? )

1 在[1, x

?1 ? ,?? ? ?12 ?
??? ?

C. ?

?3 ? ? 2 ,?? ? ?2 ?
??? ?

D. ?

?3 ? ? 2 ,?? ? ?2 ?

11.在四边形 ABCD 中, AB =(1,2), BC =(-4,-1), CD =(-5,-3),则四边形 ABCD 是( ) A. 长方形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 以上都不对 【答案】B 12. 、 , 、 、 是共起点的向量, 、 不共线, ) ,则 、 、 的

??? ?

终点共线的充分必要条件是( A. C. 【答案】D B. D.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.设向量 a 与向量 b 的夹角为 ? ,且 a ? (3,3), 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos? 【答案】

?

?

?

? ?

?

3 10 10 ? ? ? ? ? ? 14.已知 | a |?| b |? 2 , a 与 b 的夹角为 ,则 a ? b 在 a 方向上的投影为 3



【答案】1 15.定理:三角形的外心 O、重心 G、垂心 H 依次在同一条直线(欧拉线)上,且 OG ?

????

1 ???? OH , 3

其中外心 O 是三条边的中垂线的交点,重心 G 是三条边的中线的交点,垂心 H 是三条高的交 点.如图,在△ABC 中, AB ? AC , AB ? BC ,M 是边 BC 的中点,AH⊥BC(N 是垂足) ,O 是外心, G 是重心, H 是垂心, OM ? 1 , 则根据定理可求得 OG ? HN 的最大值是

???? ????



A

O

G H C

B

M

N

【答案】

16.在平面直角坐标系 xOy 中,设 A、B、C 是圆 x +y =1 上相异三点,若存在正实数 ?,? ,使
2 2

1 12

??? ? ??? ? ???? 2 得 OC = ? OA ? ? OB ,则 ? 2 ? ? ? ? 3? 的取值范围是
【答案】 ? 2,? ? ?



三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.设

为锐角,且



【答案】由

① +②

2

2



为锐角

18.已知向量 a , b 满足 a ? 2 , b ? 1 , a ? b ? 2 . (1)求 a ? b 的值; (2)求 a ? b 的值. 【答案】 (1)因为 所以 a ? b ? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ? 2 ?2 ? ? ?2 a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 4

1 2 ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (2)因为 a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 6
所以 a ? b ?

? ?

?

?

6

19.已知 a ? (1, ?2) ,

?

b ? ( ?3,2) ,
?

(1) 求 a ? b ? a ? 2b 的值。 (2) 当 k 为何值时, ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向? 【答案】 (1)

?? ? ??
?

?

? ?

?

?

?

?2 ?2 ? ? a ? 5 , b ? 13 , a ? b ? ?7 ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? 2b ? a 2 ? a ? b ? 2b 2 ? ?14

? ?
?

?

(2) k a ? b ? ( k ? 3, ?2k ? 2) a ? 3b ? (10, ?8) 由 ka ? b 与 a ? 3b 平行,则有: ?8 ? (k ? 3) ? 10 ? (?2k ? 2) ? 0 得: k ? ?

?

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? 1 10 8 ,从而有 ka ? b ? (? , ) 与 a ? 3b ? (10, ?8) 是反向的 3 3 3 ???? ??? ? ??? ? ? 20.已知 O 为坐标原点,点 A(2,1) , B(1, 2) ,对于 k ? N 有向量 OPk ? kOB ? OA ,

(1)试问点 Pk 是否在同一条直线上,若是,求出该直线的方程;若不是,请说明理由; (2) 是否在存在 k ? N 使 Pk 在圆 x ? ( y ? 2) ? 5 上或其内部,若存在求出 k ,若不存在说明理
2 2

?

由. 【答案】 (1)点 Pk 在同一条直线上,直线方程为 y ? 2 x ? 3 . 证明如下:设点 Pk ( xk , yk ) ,则 ( xk , yk ) ? k (1, 2) ? (2 ,1) 即?

? xk ? k ? 2, 所以 yk ? 2 xk ? 3 . ? yk ? 2k ? 1,

所以,点 Pk 在直线 y ? 2 x ? 3 上.

(2)由圆 x ? ( y ? 2) ? 5 的圆心 (0 , 2) 到直线 y ? 2 x ? 3 的距离为
2 2

| ?2 ? 3 | ? 5 ,可知直线 5

与圆相切, 所以直线与圆及内部最多只有一个公共点 而切点的坐标为: (2 ,1) ,此时 k

? 0 不满足题意,所以不存在 k ? N ? 满足题意.

1 2 OC ? OA ? OB 、B、C 三点满足 3 3 21.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, A

、B、C 三点共线; (Ⅰ)求证: A
| AC |
(Ⅱ)求 | CB | 的值;

? ?? x ? ?0, ? A?1, cos x ? 、 B?1 ? cos x, cos x ? , ? 2? (Ⅲ)已知

2 3 f ?x ? ? OA ? OC ? (2m ? ) | AB | ? 3 的最小值为 2 ,求实数 m 的值. OC ? OA ?
【答案】 (Ⅰ)由已知

2 2 (OB ? OA) AC ? AB 3 3 ,即 ,

∴ AC ∥ AB . 又∵ AC 、 AB 有公共点 A ,∴ A, B, C 三点共线.

AC ?
(Ⅱ)∵

2 2 1 1 AB ? ( AC ? CB) 3 3 ,∴ 3 AC = 3 CB

| AC | | CB | ∴ AC ? 2CB ,∴

? 2.

2 C (1 ? cos x, cos x) AB ? ?cos x,0? 3 (Ⅲ)∵C 为 AB 的定比分点, ? ? 2 ,∴ ,

2 2 2 2 ? f ?x ? ? OA ? OC ? (2m ? )? | AB |? 1 ? cos x ? cos2 x ? (2m ? ) cos x ? ?cos x ? m? ? 1 ? m 2 3 3 3
? ?? x ? ?0, ? ? 2 ? ,∴ cos x ? ? 0,1? ∵
当 m ? 1 时,当 cos x ? 0 时,

f ? x ? 取最小值 1 与已知相矛盾;
f ? x ? 取最小值 1 ? m ,得
2

当 0 ? m ? 1 时, 当 cos x ? m 时,

m??

10 2 (舍)

当 m ? 1 时,当 cos x

? 1 时, f ? x ? 取得最小值 2 ? 2m ,得

m?

7 ?1 4

m?
综上所述,

7 4 为所求.
2

22. (1)一元二次不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?

1 1 , ) ,求 bx2 ? 2 x ? a ? 0 的解集 2 3

(2)已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1,求 【答案】 (1) a=-12, b=-2,
2

a?

1 ? 2

b?

1 的取值范围. 2

-2x +2x+12<0

解集为{x|x<-2,x>3} (2) 令 y ?

a?

1 1 3 1 ? b ? ,则 y 2 ? 2 ? 2 ab ? ,而 0 ? ab ? 2 2 4 4
2? 6 ? y?2 2

2 ? 3 ? y 2 ? 4,


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