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贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷(六)理科数学-答案

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贵阳第一中学 2015 届高考适应性月考卷(六) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1.∵
1 1? i 1? i 1 1 1 1 ? ? ? ? i ,∴ 的虚部是 ? ,故选 B. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2 1? i

2

1 B

2 C

3 D

4 D

5 A

6 D

7 A

8 A

9 B

10 A

11 C

12 B

2.∵ A ? {x | y ? x2 ? 1} 表示函数 y ? x2 ? 1 的定义域,∴ A ? R , B ? {y | y ? x ? 1} 表示函数

y ? x ? 1 的值域,∴ B ? [0,? ?) ,所以 A

B ? {x | x ≥ 0} ,故选 C.

3.“任意”的否定是“存在”,大于的否定是“小于等于”,故选 D. 4.当几何体是一个长方体,其中一个侧面为正方形时,A 可能;当几何体是横放的一个圆柱 时,B 可能;当几何体是横放的三棱柱时,C 可能;只有 D 不可能,故选 D. 5.根据茎叶图,可得甲组数据的中位数为 ∴ n ? 1 ,∴乙组数据的平均数为

20 ? 22 ? 21 ,由题意,乙组数据的中位数为 21, 2

19 ? 21 ? 26 10 ? m ? 20 ? 22 ? 28 80 ? m ? 22 ,∵ ? ? 22 , 3 4 4

∴ m ? 8 ,所以 m ? n ? 9 ,故选 A. 6.∵ a1 ? a3 ? a17 ? a1 ? a1 ? 2d ? a1 ? 16d ? 3(a1 ? 6d ) ? 3a7 ,∴ a7 ?

4π ,则 cos(a4 ? a10 ) ? 3

cos 2a7 ? cos

8π 2π 1 ? cos ? ? ,故选 D. 3 3 2

? x ≤ 2, ? 7 .作出 ? y ≤ 2, 所表示的可行域如图 1 阴影部分所示, ?x ? y ≥ 3 ?

z?

x? y y y ? 1 ? ,∵ 表示原点与点 ( x,y) 的连线的斜 x x x

率,由图可知,直线 OA 的斜率最大,且为 2,直线 OB 的 斜率最小,且为

1 3 ,所以 ≤ z ≤ 3 ,故选 A. 2 2
理科数学参考答案·第 1 页(共 8 页)

图1

8.在 Rt△MF2 F1 中, | F1 F2 |? 2c , ?MF1F2 ? 30? ,∴ | MF2 |? 的定义可知 | MF1 | ? | MF2 |? 2a ,∴

4 3 2 3 c ,由双曲线 c , | MF1 |? 3 3

2 3 c c ? 2a ,所以 ? 3 ,故选 A. 3 a

9.由 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数共有 A3 5 ? 60 个,要使各位数 字之和为奇数,则要三个数字全是奇数或一个奇数、两个偶数.若三个数字全是奇数,有
1 2 3 A3 3 ? 6 个;若一个奇数、两个偶数,有 C3C2 A3 ? 18 个,所以各位数字之和为奇数的三位数

共有 24 个,故 P ?

24 2 ? ,故选 B. 60 5

10.∵ y ? x2 ? 1 ,∴ y ? ? 2 x ,∴ kl ? 2 ,故切线 l 的方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 0 ,又

x2 ? y2 ? 2 5x ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 表示以 ( 5,0) 为圆心,1 为半径的圆,圆心 ( 5, 0) 到 l 的距离为 d ?
2 5 5 ? 2 ,所以直线 l 上的任意点 P 与圆 x2 ? y2 ? 2 5x ? 4 ? 0 上

的任意点 Q 之间的最短距离是 2?1=1,故选 A. 11.当 x ? 1 时, ln x ? 0 , sgn(ln x) ? 1 ,∴ f ( x) ? 1 ? ln 2 x ,令 f ( x) ?0 ,得 x ? e 满足;当 x ? 1 时, ln x ? 0 , sgn(ln x) ? 0 ,∴ f ( x) ? ? ln 2 x ,令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1 满足;当 0 ? x ? 1 时,
ln x ? 0 , sgn(ln x) ? ?1 ,∴ f ( x) ? ?1 ? ln 2 x ? 0 , f ( x) ? 0 无解,所以函数 f ( x) 的零点有

2 个,故选 C. 12. 不妨设 a ? b ? c , 由图可知:0 ? a ? 1 ? b ? e ? c , ∵ f (a ) ? f (b) , ∴ ? ln a ? ln b , 即 ab ? 1 , ∴ a?

1 e2 ) ∴ 2 ? ln c ? ln b , 即 bc ? e2 , ∴ c ? , 又 f ( c)? f ( b, , ∴ a?b?c b b

?

1 e2 1 ? e2 1 ? e2 ,1 ? b ? e ,由对勾函数的单调性可知,g (b) ? b ? 在 (1,e) 上 ?b? ?b? b b b b

?1 ? 为减函数,所以 a ? b ? c ? ? ? 2e,2 ? e2 ? ,故选 B. ?e ?

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 13 15 14 15 3 16
(??,? 1]

?

4 3

理科数学参考答案·第 2 页(共 8 页)

【解析】 13.因为 | x ? 4 | ? | x ? 2 |≥| (x ? 4) ? (x ? 2) |? 6,所以 f ( x) 的最小值为 6 ,即 n ? 6 .二项式展
1? k 6? k ? k 6? 2 k x ? ? ? ? C6 x (?1)k , 由 6 ? 2 k ? 2 , 得 k ? 2 , 所 以 开 式 的 通 项 公 式 为 Tk ?1 ? C6 ? x?
2 2 T3 ? C6 x (?1) 2 ? 15x 2,即 x2 项的系数为 15.
k

14. 由题意, 得 ab sin C ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab . ∵ a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab cos C , ∴ ab sin C ? 2ab(1 ? cos C ) , 即 sin C ? 2(1 ? cos C ) ,∴ 2sin
C C C? C C C ? cos ? 2 ? 2 cos 2 ? ,∵ cos ? 0 ,∴ sin ? 2cos , 2 2 2 2 2 2 ? ?

C 2 tan C 2 ? 4 ??4 . 即 tan ? 2 ,∴ tan C ? C 1? 4 3 2 1 ? tan 2 2
15.第一次循环, S ? log3 4 , k ? 3 ? 1 ? 4 ; k ? 27 成立,执行第二次循环, S ? log3 4 log4 5 ,
k ? 4 ?1? 5; 以此类推, 执行最后一次循环,S ? log3 4 log4 5 ??? log26 27 ,k ? 26 ? 1 ? 27 , k ? 27 不成立,输出 S . S ? log3 4 log4 5 ??? log26 27 ?

lg 4 lg 5 lg 27 lg 27 ??? ? ? 3. lg 3 lg 4 lg 26 lg 3

16.根据定积分的几何意义得 a ?
2 cos x ? m? 2 c o x s≥

π π π , ∴ 不 等 式 可 化 为 (cos2 x ? m) ? cos x ≥ 0 , 即 4 2 4
, 2 c xo s cos ) 2 x ? 2cos x m i n

2 0 恒 成 立 , ∴ 只 需 m≤( c o s x ?

? (cos x ? 1)2 ? 1 ,当 cos x ? ? 1时, cos2 x ? 2 cosx 取得最小值 ?1 ,所以 m 的取值范围是
(??,? 1] .

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)
2 (Ⅰ)解:由 Sn ? (n2 ? n ? 1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 [Sn ?( n2 ? n )]( Sn 1 ? ) 0? .????(1 分)

∵ {an } 是正项数列, ∴ Sn ? 0 ,∴ Sn ? n2 ? n .????????????????????????(2 分) 于是当 n ≥ 2 时,an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 2n , ????????? (4 分) 又 a1 ? S1 ? 2 ,?????????????????????????????(5 分) 综上,数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n .??????????????????(6 分)
理科数学参考答案·第 3 页(共 8 页)

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得 bn ? ∴ Tn ?
?

n ?1 n ?1 1 ?1 1 ? ? 2 , ? ? 2 2 (n ? 2)2 an 4n (n ? 2) 2 16 ? (n ? 2)2 ? ?n ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 16 ? 3 2 4 3 5 n ( n ? 2)2 ? ? ?

1 ? 5 1 ? 1 1 1 ? 1? ? ?1 ? 2 ? ? 1? 2 ? ? . ????????????? (12 分) 2 2? 16 2 16 ? 2 ( n ? 1) ( n ? 2) ? ? 64 ? ?

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)用 A,B,C 分别表示事件甲,乙,丙面试合格. 由题意知 A,B,C 相互独立,且 P(A)=

1 1 ,P(B)=P(C)= , 2 3
? 1? ?1 ? ? ? 3? ? 1? 7 ?? (4 分) ?1 ? ? = . ? 3? 9

? 1? 所以至少有一人面试合格的概率为 1? P( ABC ) =1? ? 1 ? ? ? 2?

(Ⅱ)由题意可知,签约人数 ξ 的可能取值为 0,1,2,3.??????????(6 分) P(ξ =0)= P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC ) = P(ξ =1)= P( ABC ) + P( ABC ) + P( ABC ) = P(ξ =2)= P( ABC ) = P(ξ =3)=P(ABC)=

4 ; 9 4 ; 9

1 ; 18

1 . 18

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

4 9

4 9

1 18

1 18

4 4 1 1 13 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = . ??????????????????? (12 分) 9 9 18 18 18
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,建立如图 2 所示的空间直角坐标 系 A ? xyz ,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0), D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4), 所以 A1 B =(2,0,?4), C1 D =(1,?1,?4). 因为 cos 〈 A1 B , C1 D 〉=
A1 B ? C1 D | A1 B || C1 D |

=

18 20 ? 18

=

3 10 , 10

图2

理科数学参考答案·第 4 页(共 8 页)

所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为

3 10 . ????????????? (6 分) 10

(Ⅱ)设平面 ADC1 的法向量为 n1=(x,y,z), 因为 AD =(1,1,0), AC1 =(0,2,4),
AD =0,n1· 所以 n1· AC1 =0,

? x ? y ? 0, 即? ? y ? 2 z ? 0,

取 z=1,得 x=2,y= ?2 , 所以,n1=(2, ?2 ,1)是平面 ADC1 的一个法向量. 取平面 ABA1 的一个法向量为 n2=(0,1,0), 设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 θ. 由|cos θ|=
2 5 n1 ? n2 2 = = ,得 sinθ= , 3 | n1 || n2 | 9? 1 3
5 .?????????(12 分) 3

因此,平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 20. (本小题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ)设 M(x,y),A( y12 ,y1),B( y2 ,y2),

∵ OA + OB ? OC ,∴M 是线段 AB 的中点. ∴x?
2 y12 ? y2 ( y ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 ? 1 ,① 2 2

y?

y1 ? y2 . ②????????????????????????????? (2 分) 2

2 OB ? 0,∴ y12 y2 ∵OA⊥OB,∴ OA · ? y1 y2 ? 0 .???????????????(3 分)

依题意知 y1y2≠0,∴ y1 y2 ? ?1 .③ 把②、③代入①得:x ?

4 y2 ? 2 1 ,即 y2 ? (x ?1). 2 2
1 (x ?1).????????????????????(6 分) 2

∴点 M 的轨迹方程为 y2 ?

(Ⅱ)依题意得四边形 AOBC 是矩形,
2 2 2 2 ∴四边形 AOBC 的面积为 S ?| OA | ? | OB | ? ( y12 )2 ? y12 ? ( y2 ) ? y2 ? ( y12 ? 1)( y2 ? 1)( y1 y2 )2

理科数学参考答案·第 5 页(共 8 页)

2 2 2 , ? y12 y2 ? y12 ? y2 ? 1 ? 2 ? y12 ? y2

2 ∵ y12 ? y2 ≥ 2 y1 y2 ? 2 ,当且仅当 y1 ? y2 时,等号成立,

∴S≥ 2?2 ?2. ∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2.??????????????????(12 分) 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知得 f ?( x) ?

f ?(1) x ? e ? f (0) ? x , e

令 x=1,得 f ?(1) ? f ?(1) ? f (0) ?1 ,即 f (0)=1. 又 f (0) ?

f ?(1) ,所以 f ?(1) =e. e

1 从而 f ( x) ? ex ? x ? x2 . ????????????????????????? (4 分) 2
显然 f ?( x) ? ex ? 1 ? x 在 R 上单调递增且 f ?(0) =0, 故当 x∈(?∞,0)时,f ′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0. ∴f (x)的单调递减区间是(?∞,0),单调递增区间是(0,+∞).?????????(6 分) (Ⅱ)由 f (x)=g(x)得 a=ex?x. 令 h(x)=ex?x,则 h′(x)=ex?1. 由 h′(x)=0 得 x=0. 所以当 x∈(?1,0)时,h′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,h′(x)>0. ∴h(x)在(?1,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增.

1 又 h(0)=1,h(?1)=1+ ,h(2)=e2?2 且 h(?1)<h(2). e
1? ? 1 ? ? .?????(12 分) ∴两个图象恰有两个不同的交点时,实数 a 的取值范围是 ? 1, e? ?
理科数学参考答案·第 6 页(共 8 页)

22.(本小题满分 10 分)【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)如图 3,∵直线 l 为圆 O 的切线,∴∠1= ?ACB . ∵ AD∥l ,∴∠1= ?DAB , ∴ ?ACB = ?DAB ,又∵ ?ABC = ?DBA , ∴ △ABC∽△DBA ,∴
2

AB BC . ? DB AB

图3

AB ? BD ? BC .????????????????????????????(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ?BAC ? ?ADB , ∵ ?EDC ? ?FDC , ?EDC ? ?ADB , ∴ ?BAC ? ?FDC ,∴ ?BAC ? ?FDB ? ?FDC ? ?FDB ? 180° , ∴点 A、B、D、F 共圆.????????????????????????(10 分) 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 ;
x
2 2

曲线 C 的普通方程为

3

? y ? 1. ????????????????????? (5 分)

(Ⅱ) 设曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos ?, ? ? y ? sin ?

(? 为参数) , ??????????? (6 分)

则曲线 C 上任一点 ( 3 cos ?, sin ? )到直线x ? y ? 2 ? 0的距离为 d ?

| 3 cos ? ? sin ? ? 2 |
2



????????????????????????????????? (7 分)

2?

? 3 ? 2

cos ? ? 2

1 2

sin ? ? ? 2

?

即d ?

?

2cos ? ? + = 2

? ?

π? 6?

??2
,????????????(9 分)

∴当 cos ? ? ?

? ?

π? 6?

(10 分) ? ? ?1时得到距离的最大值为2 2. ??????????????

理科数学参考答案·第 7 页(共 8 页)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 (Ⅰ)解:因为 a=1,所以原不等式为 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 2 . 当 x ≤ 1 时,原不等式化简为 1 ? 2 x ? 0 ,即 x ?

1 ;?????????????(1 分) 2

当 1 ? x ≤ 2 时,原不等式化简为 1>2,即 x ? ? ;??????????????(2 分) 当 x ? 2 时,原不等式化简为 2 x ? 3 ? 2 ,即 x ?
? 1 综上,原不等式的解集为 ? x x ? 或x ? 2 ?

5 .?????????????(3 分) 2

5? ? .????????????????(5 分) 2?

(Ⅱ) 证明: 由题知 f (a) ?| a | ,f (b) ?| b ? 2a | ? | b ? a |?| 2a ? b | ? | b ? a |≥| 2a ? b ? b ? a |?| a | , ???????????????????????????????? (7 分) 所以 f (b) ≥ f (a) ,???????????????????????????(8 分) 又等号成立,当且仅当 2a?b 与 b?a 同号或它们至少有一个为零.??????(10 分)

理科数学参考答案·第 8 页(共 8 页)


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