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排列、组合及二项式定理


排列、组合及二项式定理 1(2011 西城一模理 13).某展室有 9 个展台,现有 3 件展品需要展出,要求每件展品独自占 用 1 个展台,并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有 _ 60 _____种;如果进一步要求 3 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展 出方法有__ 48 __种. 2(2011 朝阳一模理 10)在二项式 (

x ? 2) 的展开式中,第四项的系数是
6

160

.

3(2011 丰台一模理 2) .( x ? (A) -160 (B) -20

2 6 ) 的展开式中常数项是(A) x
(C) 20 (D) 160

4(2011 门头沟一模理 7).一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课,体育 不在第一节上,数学不在第六、七节上,这天课表的不同排法种数为 D
7 5 (A) A7 ? A5 2 5 (B) A4 A5 1 1 5 (C) A5 A6 A5 6 1 1 5 (D) A6 ? A4 A5 A5

5(2011 石景山一模理 6) .某单位有 7 个连在一起的车位,现有 3 辆不同型号的车需停放, 如果要求剩余的 4 个车位连在一起,则不同的停放方法的种数为( C A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 )

6、 (2011 朝阳二模理 5) 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大, 则称这个数为 “伞 数” .现从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有(C) (A)120 个 (B)80 个 (C)40 个 (D)20 个

7、 (2011 丰台二模理 5) . 由 1,2,3,4,5 组成没有重复数字且 2 与 5 不相邻的四位数的个数是 (B) (A) 120(B) 84(C) 60(D) 48 8、 (2011 海淀二模理 11)若 x(1 ? mx) 4 ? a1x ? a2x 2 ? a3x 3 ? a4x 4 ? a5x 5 , 其中 a2 ? ?6 ,则实数 m 的值为

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 的值为 a5

1 16

3 2



; .
2

9、 (2011 昌平二模理 9). (2 ? x) 5 的展开式中 x 的系数是_______80 _______(结果用数值表 示) 10、 (2011 东城二模理 9) ( x ?
2

1 5 ) 的展开式中, x 4 的系数为 x

10

. (用数字作答)

11 、 ( 2011 顺 义 二 模 理 10 ) . 在 二 项 式 ? x 2 ? _________10_____________. (用数字作答)

? ?

1? 4 ? 的展开式中,含 x 项的系数为 x?

5

-1-

12、 (2011 西城二模理 10).在 (

1 ? x )5 的展开式中, x 2 的系数是__ 5 ___. 2 x

13、 (2011 门头沟一模理 20) . (本小题满分 13 分) 已知 f n ( x) ? (1 ? x) n , (Ⅰ)若 f2011 ( x) ? a0 ? a1x ? ?? a2011x2011 ,求 a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011 的值; (Ⅱ)若 g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) ,求 g ( x) 中含 x 项的系数;
6

(Ⅲ)证明:

C

m m

m m m ? (m ? 1)n ? 1? m?1 ? 2C m?1 ? 3C m? 2 ? ? ? nC m?n ?1 ? ? C m?n ? m?2 ? ?

解: (Ⅰ)因为 f n ( x) ? (1 ? x) n , 所以 f 2011 ( x) ? (1 ? x)2011 , 又 f2011 ( x) ? a0 ? a1x ? ?? a2011x2011 , 所以 f2011 (1) ? a0 ? a1 ? ? ? a2011 ? 22011 (1)

f2011 (?1) ? a0 ? a1 ? ? ? a2010 ? a2011 ? 0 (2)
(1)-(2)得: 2(a1 ? a3 ? ?? a2009 ? a2011 ) ? 22011 所以: a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011 ? f 2011 (1) ? 22010 (Ⅱ)因为 g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) , 所以 g ( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 3(1 ? x)
6 7 8

???????2 分

6 6 g ( x) 中含 x 6 项的系数为 1 ? 2 ? C7 ? 3C8 ? 99

???????4 分 (1)
m

(Ⅲ)设 h( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x)
m
m

m?1

? ? ? n(1 ? x)m?n?1
m m

则函数 h( x) 中含 x 项的系数为 Cm ? 2 ? Cm?1 ? ?? nCm?n?1

???????7 分

(1 ? x)h( x) ? (1 ? x)m?1 ? 2(1 ? x)m?2 ? ? ? n(1 ? x)m?n
(1)-(2)得 ? xh( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x)
m m?1

(2)

? (1 ? x)m?2 ? ? ? (1 ? x)m?n?1 ? n(1 ? x)m?n

? xh( x) ?

(1 ? x)m [1 ? (1 ? x)n ] ? n(1 ? x)m?n 1 ? (1 ? x)

-2-

x2h( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)m?n ? nx(1 ? x)m?n
h( x) 中含 x m 项的系数,即是等式左边含 x m? 2 项的系数,等式右边含 x m? 2 项的系数为
m? 2 m?1 ?Cm ? n ? nCm? n

???????11 分

(m ? n)! n(m ? n)! ? (m ? 2)!(n ? 2)! (m ? 1)!(n ? 1)! ?(n ? 1) ? n(m ? 2) (m ? n)! ? ? m?2 (m ? 1)!(n ? 1)1 ??
? (m ? 1)n ? 1 m?1 Cm? n m?2 (m ? 1)n ? 1 m?1 Cm? n m?2

m m m ? 所以 Cm ? 2 ? Cm ?1 ? ? ? nCm?n?1

????13 分

十四、统计、概率、随机变量及其分布 1(2011 西城一模文 7). 右面茎叶图表示的是甲、乙两 人 在 甲 9 8 2 1 0 8 9 乙 3 3 7 9 均 成

5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损.则甲的平
绩超过乙的平均成绩的概率为 C (A)

2 7 4 9 (B) (C) (D) 5 5 10 10

2(2011 西城一模文 8) .某次测试成绩满分为 150 分,设 n 名学生的得分分别为 a1 , a2 ,?, an ( ai ? N , 1 ? i ? n ) , bk ( 1 ? k ? 150 )为 n 名学生中得分至少为 k 分的人数.记 M 为 n 名 学生的平均成绩.则 A

b1 ? b2 ? ? ? b150 n b1 ? b2 ? ? ? b150 (C) M ? n
(A) M ?

3(2011 东城一模理 11)从某地高中男生 中随机抽取 100 名同学,将他们的体重 (单位:kg)数据绘制成频率分布直方图 (如图) .由图中数据可知体重的平均值 为

b1 ? b2 ? ? ? b150 150 b1 ? b2 ? ? ? b150 (D) M ? 150
(B) M ? 频率 组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 40 50 60 70 80 90 体重(kg)

kg; 若要从身高在[ 60 , 70) ,

[70 , 80) , [80 , 90]三组内的男生中, 用分 层抽样的方法选取 12 人参加一项活动,

-3-

再从这 12 人选两人当正负队长,则这两人身高不在同一组内的概率为

2 3



4(2011 朝阳一模理 2)2.某校高三一班有学生 54 人,二班有学生 42 人,现在要用分层抽 样的方法从两个班抽出 16 人参加军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是(C) (A)8,8 (B)10,6 (C)9,7 (D)12,4 5(2011 丰台一模理 13).对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如下: 花期(天) 个数 则这种卉的平均花期为_16__天. 6(2011 海淀一模理 10.)为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社 区进行了 “家庭每月日常消费额” 的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图 (如 图所示) , 记 甲 、 乙 、 丙所 调 查 数 据 的 标 准 差 分 别 为 s1 , s 2 , s3 , 则它们的大小关系为 11~13 20 14~16 40 17~19 30 20~22 10

s1 > s2 > s3
频率 组距
0.0008

. (用“ ? ”连接)
频率 组距
0.0008

频率 组距
0.0008

0.0006 0.0004 0.0002

0.0006 0.0004
0.0002

0.0006 0.0004 0.0002

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500



O

1000 1500 2000 2500 3000 3500 元

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500









7(2011 海淀一模理 12.)已知平面区域 D ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1} ,在区域 D 内任取一

1 点,则取到的点位于直线 y ? kx ( k ? R )下方的概率为____ 2 ________ .

8(2011 门头沟一模理 10) .把某校高三.5 班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况 2 绘制成茎叶图(如下左图) ,由此判断甲的平均分 < 乙的平均分. (填:> ,,= 或<) 4 , 6

甲 9 50 941 2 7 8 9 10 11



37 248 4 0
-4-

9(2011 朝阳一模文 2). 某校高三一班有学生 54 人,二班有学生 42 人,现在要用分层抽样的方 法从这两个班随机选出 16 人参加军训表演,则一班和二班分别选出的人数是(C) (A)8 人,8 人 (B)15 人,1 人 (C)9 人,7 人 (D)12 人,4 人

10 ( 2011

丰 台 文

4 ) . 记 集 合

A ? {( x, y) x2 ? y 2 ? 4} 和 集 合

B ? { (x , y ? ) x| ? y ? 2
? 2? ? ? ? 4

? 0 x 表示的平面区域分别为 , ? y0 , 0 } Ω1,Ω2,若在区域 Ω1 内任取一点
??? ??

M(x,y),则点 M 落在区域 Ω2 内的概率为(A) (A) (B) (C) (D)

11(2011 丰台文 13) .某路段检查站监控录像显示,在某段时 间内有 2000 辆车通过该站,现随机抽取其中的 200 辆进行车 速分析,分析结果表示为如图所示的频率分布直方图.则图中 a=0.02 ,估计在这段时间内通过该站的汽车中速度不小于

90km/h 的约有 600 辆. 12(2011 海淀一模文 5).从集合 A ? {?1,1, 2} 中随机选取一 个数记为 k ,从集合 B ? {?2,1, 2} 中随机选取一个数记为 b ,则直线 y ? kx ? b 不经过第三 象限的概率为 A A.

2 9

B.

1 3

C.

4 9

D.

5 9

13(2011 海淀一模文 10). 为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三 个社区进行了 “家庭每月日常消费额” 的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方 图(如图所示) ,记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 s1 , s 2 , s3 , 则它们的大小关系为

s1 > s2 > s3
频率 组距
0.0008

. (用“ ? ”连接)
频率 组距
0.0008

频率 组距
0.0008

0.0006 0.0004 0.0002

0.0006 0.0004
0.0002

0.0006 0.0004 0.0002

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500



O

1000 1500 2000 2500 3000 3500 元

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500









-5-

14(2011 门头沟一模文 6).通过全国人口普查工作,得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所 示:C 频率/组距

0.018 0.015 0.011 0.0055 0.0004 0 20 40 60 80 100 120 年龄

那么在一个总人口数为 200 万的城市中,年龄在[20,60)之间的人大约有 A. 58 万 B. 66 万 C. 116 万 D. 132 万 15(2011 门头沟一模文 7).投掷一枚质地均匀的骰子两次, 若第一次面向上的点数小于第二次面向 上的点数我们称其为正实验,若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为负实 验,若两次面向上的点数相等我们称其为无效。那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是 C A.

1 B. 36

1 C. 12

1 D. 6

1 2
1 的概 2

16(2011 门头沟一模文 12).在长度为 1 的线段 AB 上随机的选取一点 P , 则得到 | PA |? 率是

1 2

.

1、 (2011 朝阳二模理 4)已知随机变量 X 服从正态分布 N (a, 4) ,且 P( X ? 1) ? 0.5 ,则实数 (A ) a 的值为 (A)1 (B) 3 (C)2 (D)4

2、 (2011 昌平二模理 5).根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液 酒精浓度在 20~80 mg/100mL(不含 80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80mg/100mL (含 80)以上时,属醉酒驾车。据有关报道,2009 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,某地区查处 酒后驾车和醉酒驾车共 500 人, 如图是对这 频率 500 人血液中酒精含量进行检测所得结果 组距 的频率分布直方图, 则属于醉酒驾车的人数 0.0 约为(C)
2 0.015 0.01 -60.005 20 30 40 50 60 70

酒精含量
80 90 100 (mg/100mL)

A.25 C.75

B.50 D.100

3、 (2011 海淀二模理 5)某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下: 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确 的是(D) ... A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 4、 (2011 东城二模文 3)如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗,以此实验数据为依据可 以估计出椭圆的面积约为(C) (A) 7.68 (C) 16.32 (B) 8.68 (D) 17.32

5、 (2011 朝阳二模文 6)连续抛两枚骰子分别得到的点数是 a ,b ,则向量 (a, b) 与向量 (1, ? 1) 垂直的概率是(B)

5 (A) 12

1 (B) 6

(C)

1 3

1 (D) 2

6、 (2011 丰台二模文 7)已知 x,y 的取值如下表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且回归方程为 ? y ? 0.95x ? a ,则 a ? (B) (A) 3.25 (B) 2.6 (C) 2.2 (D) 0 7、 (2011 海淀二模文 5)某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下: 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确 的是(D) ...
-7-

A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 1、(2011 朝阳二模理 14)已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ?1 ,且 a ? (0, 3) ,则对于任意
2

的 b ? R ,函数 F ( x) ? f ( x) ? x 总有两个不同的零点的概率是

1 3

.

3、 (2011 昌平二模理 10). 一个正方形的内切圆半径为 2,向该正方形内随机投一点 P,点 P 恰好落在圆内的概率是____

? ______ 4

4、 (2011 东城二模理 10)某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、 教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表, 则调查小组的总人数为

9

;若从调查小组中的公务员和教师中随机选 2 人撰写

调查报告,则其中恰好有 1 人来自公务员的概率为

3 5



相关人员数 公务员 教师 自由职业者 32 48 64

抽取人数

x
y
4

5、 (2011 顺义二模理 13).某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测 100 根棉花纤维 长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标) 。所得数据均在区间 ?5,40? 中,其频率分布直 方图如图所示,由图中数据可知 a ? ____ 0.05,55 ___,在抽测的 100 根中,棉花纤维的长度在

?20,30?内的有__________根。
频率 组距

0.06 a 0.04 0.03 0.02 0.01 o 长度(m m)

-8-

6、 (2011 昌平二模文 10)一个正方形的内切圆半径为 2,向该正方形内随机投一点 P,点 P 恰好 落在圆内的概率是__

? __ 4

7、 (2011 昌平二模文 11) 《中华人民共和国道路交通安全法》 规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80 mg/100mL(不含 80)之间,属于酒后驾车;血液酒精 浓度在 80mg/100mL(含 80)以上时,属醉酒驾车。 频率 据有关调查,在一周内,某地区查处酒后驾车和 组距 醉酒驾车共 500 人.如图是对这 500 人血液中酒精 含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属 0.0 于醉酒驾车的人数约为____75______
2 0.015 0.01 0.005 20 30 40 50 60

酒精含量
70 80 90 100 (mg/100mL)

8、 (2011 东城二模文 12)某地为了建立调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务 员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下 表, 则调查小组的总人数为 9 ; 若从调查小组的公务员和教师中随机选 2 相关人员数 公务员 教师 自由职业者 32 48 64 抽取人数

人撰写调查报告,则其中恰好有 1 人来自 公务员的概率为

3 5



x
y
4

9、 (2011 朝阳二模文 13)某射击运动员在一组射击训练中共射击 5 次,成绩统计如下表: 8 9 10 环数 次 数 2 8.8 2 1 0.56 . 则这 5 次射击的平均环数为 ;5 次射击环数的方差为

10、 (2011 顺义二模文 10)在两个袋内,分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片,今从每 个袋中任取一张卡片,则两数之和等于 5 的概率为_____

1 __. 6

11、 (2011 顺义二模文 13)某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测 100 根棉花纤维的 长 度 ( 棉 花 纤 维 的 长 度 是 棉 花 质 量

-9-

频率 组距

0.06 a 0.04 0.03 0.02 0.01 o 长度(m m)

的重要指标) 。所得数据均在区间 ?5,40? 中,其频率分布直方图如图所示,由图中数据可知 a ? 0.05 ,在抽测的 100 根中,棉花纤维的长度在 ?20,30?内的有 55 根。 解答 1(2011 朝阳二模理 16) (本小题满分 13 分) 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐 射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为

1 1 ,第二轮检测不合格的概率为 ,两轮检测是否合格相互没有影响. 6 10
(Ⅰ)求该产品不能销售的概率; (Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每件产品亏损 80 元(即获利-80 元).已知一箱中有产品 4 件,记一箱产品获利 X 元,求 X 的分布列,并 求出均值 E(X). 解: (Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件 A,则

1 1 1 P( A) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? . 6 10 4 1 所以,该产品不能销售的概率为 . 4

??????????????4 分 ?????????5 分

(Ⅱ)由已知,可知 X 的取值为 ?320, ?200, ?80, 40,160 .

1 1 1 3 3 1 P( X ? ?320) ? ( ) 4 ? P( X ? ?200) ? C4 ? ( )3 ? ? , , 4 256 4 4 64 1 3 27 3 3 27 2 3 1 P( X ? ?80) ? C4 ? ( )2 ? ( )2 ? , P ( X ? 40) ? C4 ? ? ( ) ? , 4 4 128 4 4 64 3 81 P( X ? 160) ? ( ) 4 ? . ??????????????10 分 4 256
所以 X 的分布列为 X P -320 -200 -80 40 160

1 256

3 64

27 128

27 64

81 256

??????????????11 分
- 10 -

E(X) ? ?320 ?

1 1 27 27 81 ? 40 ? 200 ? ? 80 ? ? 40 ? ? 160 ? 256 64 128 64 256

所以,均值 E(X)为 40. ????? 2、 (2011 昌平二模理 16). (本小题满分 13 分) 一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1、2、3、4、5,现从盒子中 随机抽取卡片. (Ⅰ)从盒子中依次抽取两次卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,求两次取到的卡片的数 字都为奇数或偶数的概率; (Ⅱ)若从盒子中有放回的抽取 3 次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到卡片的数字为奇数的 概率; (III)从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当取到记有奇数的卡片即 停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数 X 的分布列和期望. 解: (Ⅰ)因为 1,3,5 是奇数,2、4 是偶数,设事件 A 为“两次取到的卡片的数字都为奇数或偶 数” ??2 分
2 C32 ? C 2 2 P( A) ? ? 2 5 C5

??? 4 分

(Ⅱ)设 B 表示事件“有放回地抽取 3 次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到的卡片上数字为奇 数” , ??5 分 由已知,每次取到的卡片上数字为奇数的概率为 则 P ( B) ? C 34 ? ( ) ? (1 ? ) ?
2 2

3 , 5

??6 分 ??8 分

3 5

3 5

54 . 125

(Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 1, 2,3 .

3 , 5 2?3 3 P( X ? 2) ? ? , 5 ? 4 10 2 ? 1? 3 1 P ( X ? 3) ? ? , 5 ? 4 ? 3 10 所以 X 的分布列为 X 1 3 P 5 3 3 1 3 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 5 10 10 2 P( X ? 1) ?

???????11 分

2 3 10

3 1 10
??????

3、 (2011 东城二模理 17) (本小题共 13 分) 甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得 1 分, 负者得 0 分, 比赛进行到有一人比对方多 2 分 或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ( p ?

1 ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局 2

- 11 -

比赛结束时比赛停止的概率为 (Ⅰ)求 p 的值;

5 . 9

(Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? . 解: (Ⅰ)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛停止, 故 p ? (1 ? p) ?
2 2

5 , 9

解得 p ? 又p?

1 2 或p? . 3 3
???????6 分

1 2 ,所以 p ? . 2 3

(Ⅱ)依题意知 ? 的所有可能取值为 2,4,6.

P(? ? 2) ?

5 , 9

5 5 20 P (? ? 4) ? (1 ? ) ? ? , 9 9 81 5 20 16 P(? ? 6) ? 1 ? ? ? , 9 81 81
所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P
所以 ? 的数学期望 E? ? 2 ?

2

4

6

5 9
5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? 9 81 81 81

20 81

16 81

4、 (2011 丰台二模理 16).(本小题共 14 分) 张先生家住 H 小区, 他在 C 科技园区工作, 从家开车到公司 上班有 L1,L2 两条路线(如图) ,L1 路线上有 A1,A2,A3 三

A1 H B1

A2 L1 L2

A3 C B2

1 个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;L2 路线上有 B1, 2 3 3 B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , . 4 5
(Ⅰ)若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; ..

(Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一 条最好的上班路线,并说明理由. 解: (Ⅰ)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则
- 12 -

1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? . 2 2 2 2
所以走 L1 路线,最多遇到 1 次红灯的概率为 (Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.

??????4 分

1 . 2
??????5 分

3 3 1 P( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , 4 5 10 3 3 3 3 9 P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 4 5 4 5 20 3 3 9 P ( X =2)= ? ? . 4 5 20 随机变量 X 的分布列为: 0 X 1 P 10 1 9 9 27 EX ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? . 10 20 20 20

??????8 分

1

2

9 20

9 20
??????10 分

(Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ,随机变量 Y 服从二项分布, Y ? B(3, ) , 所以 EY ? 3 ?

1 2

1 3 ? . 2 2

??????12 分 ??????14 分

因为 EX ? EY ,所以选择 L2 路线上班最好. 5、 (2011 海淀二模理 16) (本小题共 13 分)

某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客,假设每位 乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. (Ⅰ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ) 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望. 解:(Ⅰ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A , ??????1 分 1 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 , ?????????3 分 3 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? ? ?

?2? ?3?

4

65 81

???????????6 分 . ??????????7 分

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4, 由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为

1 ,且每个人下电梯互不影响, 3
???????????9 分

所以, X ? B (4, ) .

1 3

X

0

1

2

3

4

- 13 -

P

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

????????????11 分

1 4 E( X ) ? 4 ? ? . 3 3

????????????13 分

6、 (2011 顺义二模理 17). (本小题满分 13 分) 为振兴旅游业,某省 2009 年面向国内发行了总量为 2000 万张的优惠卡,其中向省外人士 发行的是金卡,向省内人士发行的是银卡。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到该省 旅游,其中

3 1 2 是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有 持金卡,在省内游客中有 持银 4 3 3

卡。 (1)在该团中随机采访 3 名游客,求至少有 1 人持金卡且恰有 1 人 持银卡的概率; (2 ) 在该团的省外游客中随机采访 3 名游客,设其中持金卡人数为随机变量 X,求 X 的分布列及 数学期望 EX。 解: (1)由题意知,省外游客有 27 人,其中 9 人持有金卡,省内游客有 9 人,其中 6 人持有银 卡。 记事件 B 为“采访该团 3 人中,至少有 1 人持金卡且恰有 1 人持银卡, ” 记事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡, ” 记事件 A2 为“采访该团 3 人中,2 人持金卡,1 人持银卡, ” 则 P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?
1 1 1 1 C9 C6 C21 C92 C6 45 ? ? 3 3 238 C36 C36

所以在该团中随机采访 3 名游客,至少有 1 人持金卡且恰有 1 人持银卡的概率为

45 。 238

………………………………………………….6 分 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3 因为 P( X ? 0) ?
3 C18 272 ? 3 C 27 975 1 2 C9 C18 153 ? 3 325 C27

P( X ? 1) ?

1 C92 C18 72 P( X ? 2) ? ? 3 325 C27 3 C9 28 ? 3 C27 975

P( X ? 3) ?

- 14 -

所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 ……10 分

P

272 975

153 325

72 325

28 975

故 EX ? 0 ?

272 153 72 28 ? 1? ? 2? ? 3? ?1 975 325 325 975

7、 (2011 西城二模理 17).(本小题满分 13 分) 甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手,乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒乓球选手, 学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动. (Ⅰ)求选出的 4 名选手均为男选手的概率. (Ⅱ)记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数,求 X 的分布列和期望. 解: (Ⅰ)事件 A 表示“选出的 4 名选手均为男选手”.由题意知

P( A) ?
?

C32 2 C52C4

??????3 分

1 1 1 ? ? . 10 2 20

??????5 分 ??????6 分

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2,3 .

C32 3 1 P( X ? 0) ? 2 2 ? ? , C5 C4 10 ? 6 20 P( X ? 1) ?
1 1 2 1 C2 C3C3 ? C3 2 ? 3? 3 ? 3 7 , ? ? 2 2 C5 C4 10 ? 6 20 1 C32C3 3? 3 3 , ? ? 2 2 C5 C4 10 ? 6 20

??????7 分

??????9 分

P( X ? 3) ?

??????10 分

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?
X 的分布列: X
P
????12 分

9 . 20
3 3 20

??????11 分

0 1 20

1 7 20

2 9 20

E( X ) ? 0 ?

1 7 9 3 17 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 20 20 20 20 10

8、 (2011 昌平二模文 16) (本小题满分 13 分)

- 15 -

某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分组区间为(3.9, 4.2], (4.2,4.5],… , (5.1,5.4].经过数据处理,得到如下频率分布表: 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计 频数 3 6 25 y 2 n 频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00

(I)求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值;
(II)从样本中视力在(3.9,4.2]和(5.1,5.4]的所有同学中随机抽取两人,求两人的视力差的绝 对值低于 0.5 的概率. 解: (I)由表可知,样本容量为 n ,由 由x ?

2 ? 0.04 ,得 n ? 50 n

25 ? 0.5 ;……3 分 n y 14 ? ? 0.28 n 50
6分

y ? 50 ? 3 ? 6 ? 25 ? 2 ? 14 , z ?

(II)设样本视力在(3.9,4.2]的 3 人为 a, b, c , 样本视力在(5.1,5.4]的 2 人为 d , e . 由题意从 5 人中任取两人的基本事件空间为: ….….7 分

? ?{ a ( d , )a , (e , b ) ,d( ,b ) e , (c , d ) , c ( e ,

)a, ( b , a} ), ,c … ( .9 b , c ) , (d , e ) , ( , 分

) , (

,

∴ n ? 10 ,且各个基本事件是等可能发生的. 设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5” ,则事件 A 包含的基本事件有:

(a, b),(a, c),(b, c),(d , e) ,∴ m ? 4
∴ P ( A) ?

m 2 ? , n 5 2 . 5

故抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为

9、 (2011 丰台二模文 17) (本小题共 13 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 60 名学生,将其期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段:

?40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后得到如下频率分布直
方图. (Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的频率; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计该校高一年级学生期中 考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的 学生中抽取一个容量为 6 的样本, 将该样本看成一个 总体,从中任意选取 2 人,求其中恰有 1 人的分数不
- 16 -

低于 90 分的概率. 解: (Ⅰ)分数在 ?70,80? 内的频率为:

1 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 1 ? 0.7 ? 0.3 .??????3 分
(Ⅱ)平均分为:

x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71.
(Ⅲ)由题意, ?80,90? 分数段的人数为: 0.25 ? 60 ? 15 人;

????6 分

???7 分

?90,100? 分数段的人数为: 0.05 ? 60 ? 3 人;

?????8 分

∵用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴ ?80,90? 分数段抽取 5 人,分别记为 A,B,C,D,E;

?90,100? 分数段抽取 1 人,记为 M.

??????9 分

因为从样本中任取 2 人,其中恰有 1 人的分数不低于 90 分, 则另一人的分数一定是在 ?80,90? 分数段,所以只需在分数段 ?80,90? 抽取的 5 人中确定 1 人. 设“从样本中任取 2 人,其中恰有 1 人的分数不低于 90 分为”事件 A , ??????10 分 则基本事件空间包含的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E), (C,D),(C,E),(D,E),(A,M),(B,M),(C,M),(D,M),(E,M)共 15 种. 事件 A 包含的基本事件有(A,M),(B,M),(C,M),(D,M),(E,M)5 种.??????12 分 ∴恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率为 P ( A) ? 10、 (2011 海淀二模文 17) (本小题共 14 分) 某学校餐厅新推出 A、B、C、D 四款套餐,某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同 学对新推出的四款套餐的评价,对每位同学都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问 卷中抽取 20 份进行统计,统计结果如下面表格所示: 满意 A 套餐 50% B 套餐 80% (Ⅰ)若同学甲选择的是 A 款套餐,求甲的 C 套餐 50% 调查问卷被选中的概率; D 套餐 40% (Ⅱ)若想从调查问卷被选中且填写不满 意的同学中再选出 2 人进行面谈,求这两人中至少有一人选择 的是 D 款套餐的概率. 解: (Ⅰ)由条形图可得,选择 A,B,C,D 四款套餐的学生 共有 200 人, ……………1 分 其中选 A 款套餐的学生为 40 人, ……………2 分 由 分 层 抽 样 可 得从 A 款 套 餐 问 卷 中 抽取 了 20 ? 一般 25% 0 50%

70

5 1 ? . 15 3

??????13 分

不满意 25% 20% 0 40%

20%

60
50
40

30
20

40 ?4 200

10
0

A

B

C

D

种类

- 17 -

份.

……………4 分 ……………5 分 ……………6 分

设事件 M =“同学甲被选中进行问卷调查”, 则 P( M ) ?

4 ? 0.1 . 40

答:若甲选择的是 A 款套餐,甲被选中调查的概率是 0.1 . (II) 由图表可知,选 A,B,C,D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为 4,5,6,5. 其中不满 意的人数分别为 1,1,0,2 个 . ……………7 分

记对 A 款套餐不满意的学生是 a; 对 B 款套餐不满意的学生是 b; 对 D 款套餐不满意的学生是 c, d. ……………8 分

设事件 N=“从填写不满意的学生中选出 2 人,至少有一人选择的是 D 款套餐” ……………9 分 从填写不满意的学生中选出 2 人,共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6 个基本事件,……10 分 而事件 N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5 个基本事件, ……………11 分

P( N ) ?


5 6.

11、 (2011 西城二模文 17) (本小题满分 13 分) 由世界自然基金会发起的“地球 1 小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动之一,今年的 参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此, 某新闻 媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持” 、 “保留”和“不支持”态度的人数如下 表所示: 支持 20 岁以下 20 岁以上(含 20 岁) 800 100 保留 450 150 不支持 200 300

(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”态度的人中抽取 了 45 人,求 n 的值; (Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任意 选取 2 人,求至少有 1 人 20 岁以下的概率; (Ⅲ)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出的分数如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3, 9.0,8.2.把这 8 个人打出的分数看作一个总体,从中任取 1 个数,求该数与总体平均数之差的绝 对值超过 0.6 的概率. 解: (Ⅰ)由题意得 所以 n ? 100 .

800 ? 100 800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 ? , 45 n

?????2 分 ?????3 分

- 18 -

(Ⅱ)设所选取的人中,有 m 人 20 岁以下,则

200 m ? ,解得 m ? 2 .???5 分 200 ? 300 5

也就是 20 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1,A2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 人的所有基本事件为 (A1,B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2), (B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共 10 个. ???7 分

其中至少有 1 人 20 岁以下的基本事件有 7 个: (A1, B1), (A1, B2), (A1, B3), (A2 ,B1), (A2 ,B2), (A2 ,B3), (A1, A2), ????8 分

所以从中任意抽取 2 人,至少有 1 人 20 岁以下的概率为 (Ⅲ)总体的平均数为 x ?

7 . 10

?????9 分

1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 ,???10 分 8
?????12 分

那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数只有 8.2, 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率为 解答题 1(2011 西城一模理 16) . (本小题满分 13 分)

1 . 8

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为 (Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率; (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX . 解:记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,依题意有

1 1 , ,p. 2 3

1 . 4

1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? p, 且 A1 , A2 , A3 相互独立. 2 3
(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

1 2 2 1 ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? ? ? . 2 3 3
(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B ,则有

???????3 分

1 2 1? p P( B) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? (1 ? p ) ? , 2 3 3 1 1? p 1 ? ,p? . 所以 4 3 4
(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1,2,3 . 所以 P ( X ? 0) ?

???????5 分 ????????7 分 ????????8 分

1 , 4

- 19 -

P( X ? 1) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )
? 1 1 1 3 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? , 4 2 3 4 2 3 4 24

P( X ? 2) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )
1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 1 1 1 P( X ? 3) = P ( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? ? . 2 3 4 24 X 分布列为: 0 X 1 1 11 P 4 24
????????12 分 所以, E ( X ) ? 0 ?

????????11 分

2 1 4

3 1 24
????????13 分

1 11 1 1 13 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 24 4 24 12

2(2011 东城一模理 17) (本小题共 13 分) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就 签约.乙、 丙则约定: 两人面试都合格就一同签约, 否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为 ,

乙、丙面试合格的概率都是

,且面试是否合格互不影响.

(Ⅰ)求至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)求签约人数 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 且 至少有1人面试合格的概率是 .

(Ⅱ) 的可能取值为0,1,2,3.





- 20 -

=

=

∴ 的分布列是 0 1 2 3

的期望 3(2011 东城一模文 17) (本小题共 13 分) 某高校在 2011 年的自主招生考试成绩 中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩 0.07 0.06 分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85), 0.05 第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组 0.04 [95,100]得到的频率分布直方图如图所示. 0.03 0.02 (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率; 0.01 (Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组 中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面 75 80 85 90 95 100 分数 频率 组距

试,求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率. 解:(Ⅰ)由题设可知,第 3 组的频率为 0.06 ? 5 ? 0.3 , 第 4 组的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 第 5 组的频率为 0.02 ? 5 ? 0.1 .????????3 分 (Ⅱ)第 3 组的人数为 0.3 ?100 ? 30 ,

- 21 -

第 4 组的人数为 0.2 ?100 ? 20 , 第 5 组的人数为 0.1?100 ? 10 . 因为第 3 , 4 , 5 组共有 60 名学生, 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组:

30 ?6 ? 3, 60 20 ?6 ? 2 , 60

10 ? 6 ? 1. 60

所以第 3 , 4 , 5 组分别抽取 3 人, 2 人, 1 人. ????????8 分 (Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A 1 , A2 , A 3, 第 4 组的 2 位 同学为 B1 , B2 , 第 5 组的 1 位同学为 C1 . 则从六位同学中抽两位同学有:

( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, C1 ), ( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ),( B1, C1 ),( B2 , C1 ),

( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , C1 ),

共 15 种可能.其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的有:

( A1 , B1 ),( A1 , B2 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ),( B1, B2 ),( A3 , B2 ),( B1, C1 ),( B2 , C1), 共 9 种可能,
所以第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率为

9 3 ? .????????13 分 15 5

4(2011 朝阳一模理 17) . (本小题满分 13 分) 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进 者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是

2 . 3

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率; (Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中,6 个球中恰好投进了 4 个球,求教师乙在这场比赛中获奖的概 率;教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗? 解: (Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知 X~B(6,
k 6

2 ). 3
k

?2? P( X ? k ) ? C ? ? ? ?3?
X 的分布列为: X 0

?1? ?? ? ? 3?

6?k

( k ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

1

2
- 22 -

3

4

5

6

64 729 1 2916 (0 ?1 ? 1?12 ? 2 ? 60 ? 3 ?160 ? 4 ? 240 ? 5 ? 192 ? 6 ? 64) = ?4. 所以 EX ? 729 729 2 2 或因为 X~B(6, ),所以 EX ? 6 ? ? 4 . 即 X 的数学期望为 4. ?????5 分 3 3
P (Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,

1 729

12 729

60 729

160 729

240 729

192 729

2 5 3 32 . 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为 81
2 2 4 1

则 P( A) ? C4 ? ( ) ? ( ) ? C4 ? ? ( ) ? ( ) ?
6

1 3

2 3

1 3

2 3

32 . 81

????????????10 分

(Ⅲ)设教师乙在这场比赛中获奖为事件 B, 则 P( B) ?
2 4 2 A4 A4 2 ? .即教师乙在这场比赛中获奖的概率为 . 6 5 A6 5

显然 等.

2 32 32 ? ? ,所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相 5 80 81
???????13 分

5(2011 丰台一模理 17).(本小题共 13 分) 某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完 全相同的 4 个小球,分别标有字“生” “意” “兴” “隆”.顾客从中任意取出 1 个球,记下 上面的字后放回箱中, 再从中任取 1 个球, 重复以上操作, 最多取 4 次, 并规定若取出“隆” 字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等 奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中有标 有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A,B,C. 则 P(A)= ??1 分 ???3 分

1 1 1 1 1 ? ? ? ? , (列式正确,计算错误,扣 1 分) 4 4 4 4 256
P(B) ?

A3 5 3 -1 ? 3 256 4

(列式正确,计算错误,扣 1 分) ???5 分

三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意, 兴,兴”三种情况. P(C) ? ( ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 2 2 2 ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 )? . ?7 分 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 64
??8 分

(Ⅱ)设摸球的次数为 ? ,则 ? ? 1, 2,3 .

1 P(? ? 1) ? , 4

3 1 3 P(? ? 2) ? ? ? , 4 4 16

- 23 -

3 3 1 9 27 , P(? ? 4) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? . (各 1 分) P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 4 64 64
故取球次数 ? 的分布列为

?
P
?12 分

1

2

3

4

1 4

3 16

9 64
?13 分

27 64

1 3 9 27 E? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 2.75 .(约为 2.7) 4 16 64 64

6(2011 海淀一模理 17). (本小题共 13 分) 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测 的概率为

2 .现有 10 件产品,其中 6 件是一等品,4 件是二等品. 3

(Ⅰ) 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率; (Ⅱ)随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列; (Ⅲ) 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率. 解:(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A ??????????1 分 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2 分

6 4 2 13 ? ? ? 10 10 3 15 (Ⅱ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3. p( A) ?

??????????4 分

P( X ? 0) ?

3 0 2 1 C4 C6 C4 C6 3 1 , ? P ( X ? 1) ? ? , 3 3 C10 30 C10 10 1 2 0 3 C4 C6 1 C4 C6 1 , ? P ( X ? 3) ? ? . 3 3 C10 2 C10 6

P( X ? 2) ?

??????8 分

X
P

0

1

2

3

?

?????9 分

1 30

3 10

1 2

1 6
?????10 分

(Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为 B 事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以, P ( B ) ?

1 1 3 1 ?( ) ? . 30 3 810

?????13 分

- 24 -

7(2011 门头沟一模理 17). (本小题满分 14 分) 某商场进行促销活动,到商场购物消费满 100 元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘)一次进行 抽奖,满 200 元转两次,以此类推(奖金累加) ;转盘的指针落在 A 区域中一等奖,奖 10 元,落 在 B、C 区域中二等奖,奖 5 元,落在其它区域则不中奖.一位顾客一次购物消费 268 元, (Ⅰ) 求该顾客中一等奖的概率; (Ⅱ) 记 ? 为该顾客所得的奖金数,求其分布列; A (Ⅲ) 求数学期望 E? (精确到 0.01). (Ⅰ) 设事件 A 表示该顾客中一等奖 C B

1 1 1 11 23 ? ? 2? ? ? 12 12 12 12 144 23 所以该顾客中一等奖的概率是 144 P( A) ?
(Ⅱ) ? 的可能取值为 20,15,10,5,0 ????5 分

????4 分

1 1 1 1 2 1 ? ? ? , P (? ? 15) ? 2 ? ? , 12 12 144 12 12 36 2 2 1 9 11 P(? ? 10) ? ? ? 2 ? ? ? 12 12 12 12 72 2 9 1 9 9 9 P(? ? 5) ? 2 ? ? ? , P(? ? 0) ? ? ? (每个 1 分)???〦????10 分 12 12 4 12 12 16 P(? ? 20) ?
所以 ? 的分布列为

?
P
????????10 分 (Ⅲ)数学期望

20

15

10

5

0

1 144

1 36

11 72

1 4

9 16

E? ? 20 ?

1 1 11 1 ? 15 ? ? 10 ? ? 5 ? ? 3.33 144 36 72 4

???????14 分

8(2011 石景山一模理 16) . (本小题满分 13 分) 为增强市民的节能环保意识, 某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随 机抽样 100 名志愿者的年龄情况如下表所示. (Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图) , 再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 [30,) 35 岁的人数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动, 从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人, 记这 2 名志愿者中 “年龄低于 30 岁”的人数为 X ,
- 25 -

求 X 的分布列及数学期望.

分组 (单位:岁)

频数

频率

频率 组距

? 20, 25?

5


0.050 0.200


? 25,30 ?
?30,35?

35

?35, 40?
? 40, 45?
合计

30
10 100

0.300
0.100 1.00
20 25 30 35 40 45 年龄 岁

解: (Ⅰ)①处填 20 ,②处填 0.35 ; 补全频率分布直方图如图所示.

500 名志愿者中年龄在 ?30,35? 的人数为 0.35 ? 500 ? 175 人.
频率 组距

????6 分

20

25

30

35

40

45

年龄 岁

(Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取 20 人, 则其中“年龄低于 30 岁”的有 5 人, “年龄不低于 30 岁”的有 15 人. 故 X 的可能取值为 0 , 1 , 2 ;

????7 分

P( X ? 0) ?

2 1 1 2 C15 21 C15 C5 15 C5 2 , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? , 2 2 2 C20 38 C20 38 C20 38

???11 分 所以 X 的分布列为:

X
P

0 21 38

1 15 38

2 2 38
- 26 -

∴ EX ? 0 ?

21 15 2 1 ? 1? ? 2 ? ? . 38 38 38 2

????13 分

9(2011 朝阳一模文 16). (本小题满分 13 分) 已知集合 A ={-2,0,2}, B ={-1,1}. (Ⅰ)若 M={ ( x, y ) | x ? A , y ? B },用列举法表示集合 M ; (Ⅱ)在(Ⅰ)中的集合 M 内,随机取出一个元素 ( x, y ) ,求以 ( x, y ) 为坐标的点位于区域 D:

? x ? y ? 2 ≥ 0, ? ? x ? y ? 2 ≤ 0, 内的概率. ? y ≥ ?1 ?
解: (Ⅰ)M ={(-2, -1),(-2, 1),(0, -1),(0, 1),(2, -1),(2, 1)}. (Ⅱ)记“以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内”为事件 A. 集合 M 中共有 6 个元素,即基本事件总数为 6,区域 D 含有集合 M 中的元素 4 个, 所以 P ( A) ? ?????6 分

4 2 ? . 6 3 2 . ???????????13 分 3

故以(x,y)为坐标的点位于区域 D 内的概率为

9(2011 石景山一模文 16). (本小题满分 13 分) 为预防 H1 N1 病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫 苗有效的概率小于 90 %,则认为测试没有通过) ,公司选定 2000 个流感样本分成三组,测试结果 如下表:

A组
疫苗有效 疫苗无效

B组

C组
y

673
77

x
90

z

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33 . (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,问应在 C 组抽取多少个? (Ⅲ)已知 y ? 465, z ? 30 ,求不能通过测试的概率. 解: (Ⅰ)? 在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率为 0.33 ,

- 27 -



x ? 0.33 2000

∴ x ? 660 .

????4 分

(Ⅱ) C 组样本个数为: y ? z ? 2000? (673? 77 ? 660? 90) ? 500, 用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,应在 C 组抽取个数为

360 ?

500 ? 90 (个) . 2000

????8 分

(Ⅲ)设测试不能通过事件为 M ,

C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为 ( y , z ) .
由(Ⅱ)知 y ? z ? 500 ,且

y, z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有:

(465,35) 、 (466,34) 、 (467,33) 、 (468,32) 、 (469,31) 、 (470,30) 共 6 个 .
若测试不能通过,则 77 ? 90 ? z ? 200 ,即 z ? 33 . 事件 M 包含的基本事件有: (465,35) 、 (466,34) 共 2 个, ∴ P(M ) ?

2 1 ? . 6 3 1 . 3
????13 分

∴故不能通过测试的概率为

- 28 -


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