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2.4.1抛物线及其标准方程


高中数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程教案

2.4.1 抛物线及其标准方程
(约 2 课时)

三维目标:
【知识与技能】
1.理解抛物线的定义。明确焦点、准线的概念 2.掌握抛物线的方程及标准方程的推导 3.熟练掌握抛物线的四个标准方程。

【过程与方法】
通过抛物线概念的

讲解和抛物线标准方程的推导,让学生更加熟悉求曲线方程的方法, 培养学生的转化能力和数形结合能力。

【情感态度与价值观】
通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导,培养学生数形结合思想和对立统一 的辩证唯物主义观点。

重点与难点:
【重点】抛物线的定义和标准方程,四种抛物线标准方程的应用,理解坐标法的基本
思想.

【难点】抛物线标准方程的推导与化简,坐标法的应用.

教学方法:启发引导,分析讲解,练习领会。 教具准备:POWERPOINT 教学过程: 第 一 课 时 2.3.1 抛物线及其标准方程
一.引入新课
【师】前面我们已经探究过,椭圆和双曲线都可以叙述为“平面内到一个定点 F 的距 离和它到一条定直线 l ( F 不在 l 上)的距离的比是常数 e ( e ? 0 )的动点的轨迹” 。其中当
e ? ?0,1? 时是椭圆,当 e ? ?1,??? 时是双曲线。那么,当 e ? 1 时,动点的轨迹是什么?它的方

程如何呢?点题,板书课题。

二.新课讲解
1.实验观察、实现构建 探究 1 点 F 与直线 l 的位置关系 l F

2.4.1 抛物线及其标准方程

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高中数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程教案

(1)点 F 在直线 l 上 (引导学生求出动点的轨迹) 点 F 的轨迹是过点 F 且与直线 l 垂直的直线。 (2)点 F 不在直线 l 上 用《几何画板》演示,观察点 M 的轨迹。 l H M F

2.观察曲线的动态形成过程, 你能发现点 M 的轨迹是一条什么曲线吗?(学生会猜想 到轨迹是抛物线) 3.如果曲线是抛物线,只要适当建立平面直角坐标系,就可以得到形如 y ? ax2 ? bx ? c

?a ? 0? 的轨迹方程,是否真是这样呢?
(在学生思考的基础上引导学生先求出点 M 的轨迹方程。 ) 4.如何建立坐标系求点 M 的轨迹方程? (师生探讨建立不同方案,以下面方案为例进行推导) 解:取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴,垂足为 K ,并使原点与线段 KF 的中点 重合,建立平面直角坐标系。令 KF ? p? p ? 0? 则 F ? 0,
? ? p? p ? ,直线 l : y ? ? , 2? 2

y F · o x l
K

设动点 M ?x, y ? ,点 M 到直线 l 的距离为 d ,则
p? p ? MF ? d 即 x 2 ? ? y ? ? ? y ? 化简得 x 2 ? 2 py? p ? 0? 2? 2 ?
2

注意到方程可化为: y ?

1 2 x ? p ? 0 ? ,与我们初中所学的二次函数的解析式形式一致。 2p

可见点 M 的轨迹是顶点为 ?0,0 ? ,开口向上的抛物线。 可见平面内到一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 1 的点的轨迹 (或平 面内到一个定点 F 和一条直线 l ( F 不在 l 上)距离相等的点的轨迹)是抛物线。点 F 叫做 焦点 , l 叫做准线 。 .. .. . 类似地,我们可以建立如下表所示的坐标系,从而得到抛物线方程的另外三种形式
y 2 ? 2 px , y 2 ? ?2 px , x 2 ? ?2 py ? p ? 0? .这四种方程都叫做抛物线的标准方程.

标准方程

y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

图形

2.4.1 抛物线及其标准方程

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高中数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程教案

焦点坐标 准线方程

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

? p? ? 0, ? ? 2?

p? ? ? 0, ? ? 2 ? ?

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

开口方向 向 右 向 左 向 上 向 下 说明:四个标准方程的区分:焦点在一次项字母对应的坐标轴上,开口方向由一次项 系数的符号确定.当系数为正时,开口向坐标轴的正方向;系数为负时,开口向坐标轴的 负方向.

三.练习领会
师生共同解答下列各例: 【例 1】求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点为 F ?3,0 ? ;
1 (2)准线为 y ? ? ; 4

(3)过点 P?3,?1? ;

(4)焦点到原点的距离为 2;(5)焦点是双曲线 12x 2 ? 9 y 2 ? 144 的左顶点; (6)焦点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上。 分析:先依已知条件确定标准方程是下面中哪一个,然后定 P 值即可。
y 2 ? 2 px y 2 ? ?2 px x 2 ? 2 py x 2 ? ?2 py

解析: (1)由已知焦点在 x 轴上,开口向右, p ? 6 ,所以抛物线的标准方程为 y 2 ? 12x ; (2)由已知焦点在 y 轴上,开口向上, p ?
1 ,所以抛物线的标准方程为 x 2 ? y ; 2

(3)由已知焦点可能在 y 轴上,开口向下,或焦点可能在 x 轴上,开口向右, 所以可设 抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px (p?0) 或 x 2 ? ?2 px? p ? 0? , 再因为过点 P?3,?1? , 所以 p ? 或p?
9 1 ,所以抛物线的标准方程为 y 2 ? x 或 x 2 ? ?9 y ; 2 3

1 6

(4)由已知 p ? 4 ,抛物线可以是下列任何一个
y 2 ? 2 px y 2 ? ?2 px x 2 ? 2 py x 2 ? ?2 py

所以抛物线的标准方程为: y 2 ? ?8x 或 x 2 ? ?8 y ; (5) 双曲线 12x 2 ? 9 y 2 ? 144 的左顶点为 ? 2 3,0 所以抛物线焦点在 x 轴上, 开口向左,
p ? 4 3 , 抛物线 y 2 ? ?8 3x 。

?

?

(6)因为求抛物线的标准方程,且焦点在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,所以焦点为直线
? 1? x ? 2 y ? 1 ? 0 和 x 轴或 y 轴的交点,分别为 ?? 1,0 ? , ? 0, ? , 所以 x 2 ? 2 y 或 y 2 ? ?4 x 。 ? 2?

小结:由已知条件求抛物线的标准方程的程序:先由已知条件确定抛物线的标准方程 的类型,再求出方程中参数 p 的值。 注意:开口方向、解的个数。

2.4.1 抛物线及其标准方程

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高中数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程教案

四.课堂反馈
学生作课本第 67 页练习 1,2。

五.课内小结
1.抛物线的定义、四种标准方程形式及其对应的焦点和准线; 2.灵活运用定义和待定系数法求抛物线的标准方程; 3.注重数形结合的思想; 4.注重分类讨论的思想.抛物线的方程及标准方程的推导

六.课外作业
课本第 73 页习题 2. 4 A 组第 1、2 题

第 二 课 时 抛物线标准方程的求解
一.引入新课
【师】昨天,我们学习了抛物线的概念和抛物线的标准方程,谁能回顾说明一下它们 吗?

【生】 平面内到一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 1 的点的轨迹 (或
平面内到一个定点 F 和一条直线 l ( F 不在 l 上)距离相等的点的轨迹)是抛物线。点 F 叫 做焦点 , l 叫做准线。 .. ... 抛物线的标准方程. 标准方程
y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

图形

焦点坐标 准线方程 开口方向

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

? p? ? 0, ? ? 2?

p? ? ? 0, ? ? 2? ?

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

















四个标准方程的区分:焦点在一次项字母对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的 符号确定.当系数为正时,开口向坐标轴的正方向;系数为负时,开口向坐标轴的负方向. 【师】下面我们继续学习与抛物线标准方程有关的问题的求解

二.新课讲解
2.4.1 抛物线及其标准方程 第 4 页 共 7 页

高中数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程教案

【例 2】求抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标和准线方程。 解:因为 2 p ? 4 ,即 p ? 2 ,所以抛物线的焦点坐标为 ?1,0 ? ,准线方程为 x ? ?1。 变式:求抛物线 y 2 ? ax?a ? 0? 的焦点坐标和准线方程。 解:当 a ? 0 时, 2 p ? a , p ?
a a ?a ? ,焦点 F ? ,0 ? ,准线方程为 x ? ? 。 4 2 ?4 ?

a ? a a ? ?a ? 当 a ? 0 时, 2 p ? ? a , p ? ? ,焦点 F ? ? (? ),0 ? 即 F ? ,0 ? ,准线方程为 x ? ? 。 4 ? 2 4 ? ?4 ?

综上所述焦点 F ? ,0 ? ,准线方程为 x ? ?
?

?a ?4

?

a 。 4

【例 3】点 M 与点 F ?4,0? 的距离比它到直线 l : x ? 5 ? 0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方 程
王新敞
奎屯 新疆

解析:可知原条件 ? M 点到 F ?4,0? 和到 x ? 4 距离相等,由抛物线的定义,点 M 的轨 迹是以 F ?4,0? 为焦点, x ? 4 为准线的抛物线.∴ p ? 8 ,∴所求方程是 y 2 ? 16x 。 【例 4】已知抛物线的顶点为坐标原点 O ,对称轴是 x 轴,焦点为 F , (1)抛物线上的点 M ?? 3, m ? 到焦点的距离等于 5 ,求此抛物线的方程与 m 的值; (2)抛物线上的一点 A 的横坐标为 2 ,且 FA? OA ? 16 ,求此抛物线的方程。 解析:(1)由已知条件知抛物线为 y 2 ? ?2 px? p ? 0? ,由抛物线定义知其上的点 ?x 0 , y 0 ? 到焦点的距离为
p ? x0 ,由此等于 5 可以确定 p 值; 2
? ?

(2)由已知条件知抛物线为 y 2 ? 2 px? p ? 0? ,点 A 在抛物线上,其坐标满足抛物线的 方程,再结合 FA? OA ? 16 可以确定 p 值。 解析:(1)设抛物线的方程为 y 2 ? ?2 px? p ? 0? ,则 p ∵ MF ? ? 3 ? 5 ,∴ p ? 4 , 2 所以抛物线的方程为 y 2 ? ?8x ∴ m 2 ? 24 , m ? ?2 6 ; (2)由已知条件知抛物线为 y 2 ? 2 px? p ? 0? ,所以 F ? ∵ FA ? ? 2 ?
?
?

?

?

?p ? ,0 ? ,不妨设 A?2, n ? ,则 ?2 ?

?

? ? ? p ? , n ? , OA ? ?2, n ? ,且 FA? OA ? 16 2 ?

∴ 2? 2 ?
?

?

p? ? ? n 2 ? 16 , 2?

又 n 2 ? 4 p ,解之有 p ? 4 抛物线的标准方程为 y 2 ? 8 x 。 【例 5】已知抛物线 y 2 ? 4 x , P 是抛物线上一点。

2.4.1 抛物线及其标准方程

第 5 页 共 7 页

高中数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程教案

(1)设 F 是焦点,一个定点为 A?6,3? ,求 PA ? PF 的最小值, 并指出此时点 P 的坐标; (2)设点 M ?m,0? ( m ? R ),求| PM |的最小值,并指出此时点 P 的坐标; 分析:(1)一般我们用原理:三角形两边之和不小于第三边,即 PA ? PF ? AF ,当 且仅当点 P 在线段 AF 上时求 PA ? PF 的最小值 AF ;但定点 A?6,3? 在抛物线 y 2 ? 4 x 含焦 点 F 部分,点 P 在抛物线上,所以点 P 不会再在线段 AF 上,所以需要利用抛物线的定义: 抛物线上的点到焦点和到准线的距离相等作一个转化,从而实现上面的想法。 (2)已知抛物线 y 2 ? 4 x , P 是抛物线上一点,所以其坐标 ?x 0 , y 0 ? 满足抛物线的方程: 而 M ?m,0?( m ? R ) , 求| PM |的最小值不妨直接用两点间距离直接表示| PM |, y 0 2 ? 4 x0 , 从而转化为函数的最值问题。 解析:(1)做 PN 垂直于准线,其中 N 为垂足,则| PF |=| PN |, 所以| PA |+| PF |=| PA |+| PN | ,可知,当 AP 垂直准线时三点 A , P , N 共线, | PA|+| PF |=| PA |+| PN |取小值为 7 ,此时 P? ,3 ? (2)设 P?x 0 , y 0 ? ,因为 M ?m,0? ( m ? R ),
2

?9 ?4

? ?

所以 PM ? ?m ? x0 ?2 ? y0 2 ,又 y 0 2 ? 4x0 ?x0 ? 0, y 0 ? R? , 所以 PM ? ?m ? x0 ?2 ? 4x0 ? ?x0 ? ?2 ? m??2 ? ?2 ? m?2 ? m 2 ?x0 ? 0?
2

①当 m ? 2 时 PM ? ?m ? x0 ?2 ? 4x0 ? ?x0 ? ?2 ? m??2 ? ?2 ? m?2 ? m 2 ?x0 ? 0? ,在 ?0,?? ? 上
2

是增函数, 所以当 x 0 ? 0 时 PM 最小值为 m ,此时 P ?0,0 ? ; ② m ? 2 时, PM ? ?m ? x0 ?2 ? 4x0 ? ?x0 ? ?2 ? m??2 ? ?2 ? m?2 ? m 2 ?x0 ? 0? 在 ?? ?,m ? 2?
2

上是减函数, 在 ?m ? 2,?? ? 上是增函数, 所以当 x 0 ? m ? 2 时 PM 最小值为 2 m ? 1 ,此时
P m ? 2,2 m ? 2 。

?

?

小结:点在抛物线上首先点满足抛物线的定义(到焦点和到准线的距离相等);其次 是点的坐标满足抛物线的方程。

三.课堂反馈
1.抛物线 y ? ? 2.已知双曲线
1 2 x 的准线方程为 y ? 3 。 12
x2 y2 ? ? 1 ,则以双曲线中心为顶点,以双曲线左焦点为焦点的抛物线 4 5

方程为 y 2 ? ?12x 。 3.连接抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 与点 M ?1,0? 所得的线段与抛物线交于点 A ,设点 O 为坐 标原点,则 ?OAM 的面积为( B )
2.4.1 抛物线及其标准方程 第 6 页 共 7 页

高中数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程教案

A . ?1? 2

3 B. ? 2 2

C .1 ? 2

D.

3 ? 2 2

4.以抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦半径 PF 为直径的圆与 y 轴位置关系为( C
A .相交 B .相离



C .相切

D .不确定

5.一动圆 M 和直线 l : x ? ?2 相切,且经过点 F ?2,0? ,则圆心的轨迹方程是 y 2 ? 8 x 。 6.过点 ?2,4? 作直线与抛物线 y 2 ? 8 x 只有一个公共点,这样的直线有( B )
A .一条 B .两条

C .三条

D .四条
15 。 16

7.抛物线 y ? ?4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为 ?

8.过点 P?0,?2? 的双曲线 C 的一个焦点与抛物线 x 2 ? ?16y 的焦点相同, 则双曲线 C 的标
y2 x2 ? ? 1。 4 12

准方程为

9.已知双曲线的顶点坐标为 ?0,?1? ,离心率为 2,又抛物线 x 2 ? 2 py? p ? 0? 的焦点与双曲 线的一个焦点重合,则 p ? 4。

四.课内小结
1.抛物线的定义、四种标准方程形式及其对应的焦点和准线; 2.灵活运用定义和待定系数法求抛物线的标准方程; 3.注重数形结合的思想; 4.注重分类讨论的思想.抛物线的方程及标准方程的推导

六.课外作业
课本第 73 页习题 2. 4 A 组第 7、8 题

2.4.1 抛物线及其标准方程

第 7 页 共 7 页


2.4.1抛物线及其标准方程

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