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等比数列前n项和2


数列求和(2)

1.等比数列前n项和.

? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? ( q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q 1? q ? na , ( q ? 1) ? 1
2.使用等比数列前 n 项求和公式时应注 意:q = 1 或 q ≠ 1 3. 推导公式的方法:错位相减法

练习:
1.在等比数列{an}中, an=-512, a1=1, Sn=-341,则公比
q=_____,n =______.

2.在等比数列{an}中,Sn=93,an=48,q=2,则n=___.

练习: 3.若等比数列前 10 项的和是 10,前 20 项的 和是 30,求前 30 项的和.
方法一:
? a1 (1 ? q 10 ) ? 10 ? 1? q 解:由题 ? ? 20 a ( 1 ? q ) ? 1 ? 30 ? 1? q ?

相除得 1 +
S 30

q 10

=3



q 10

a1 ? ?10 =2 ? 1? q

a1 a1 (1 ? q 30 ) ? ? [1 ? (q10 ) 3 ] ? 1? q 1? q

= -10×( 1-2 3 )

= 70

整体代换法

练习: 3.若等比数列前 10 项的和是 10,前 20 项的 和是 30,求前 30 项的和.
方法二: S10, S20 -S10, S30 –S20,…是等比数列.

类比于等差数列,在等比数列中,
Sk, S2k -Sk, S3k –S2k,…是等比数列.

练习:

4.设Sn是等比数列{an}的前 n 项和,若Sm=10,
S2m=30, 则S4m=________.

典型例题 1.求数列x,x2,x3,…,xn,…的前n项的和.

变:求数列1,x,x2,x3,…,xn-1,xn…的前n项的和.

典型例题

1 1 1 1 2.求和:S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? ( n ? n ) 2 4 8 2

练一练:
(1)求和: (1 ? 2 )
k k ?0

?

10

(2)求数列:3,33,333,3333,…的前n项的和.

小结1:
数列{cn}满足: cn= an +bn,
若数列{an}和{bn}是等差或等比数列(可以分别求和),
则数列{cn}的前n项的和可以分部求和.

典型例题
1 3 5 3.求和: Sn ? ? ? ? 2 4 8 4 7 变(1)求和: S n ? 1 ? ? ? 3 9 2n ?1 ? n 2 3n ? 2 ? n ?1 3

(2)求和:Sn=a+ 3a2 + 5a3 +· · · +(2n-1)an (a≠0) (3)求和:Sn=1+2×3+3×7+· · · +n(2n-1)

小结:
1.数列{cn}满足: cn= an +bn, 若数列{an}和{bn}是等差或等比数列(可以分别求和), 则数列{cn}的前n项的和可以分部求和.

小结2:
2.数列{cn}满足: cn= an×bn, 若数列{an} ,{bn}一个是等差数列,一个是等比数列,
则求数列{cn}的前n项的和用错位相减法.

拓展延伸
1.已知数列:a1, a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,
公比为2的等比数列,求数列{an}的通项an及前n项的

和 S n.

拓展延伸
2.设数列{an}的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式

3tSn-(2t+3)Sn-1=3t,(t>0,n∈N且n≥ 2).
(1)求证:数列{an}是等比数列; (2)设数列{an}的公比 q ? f (t ) ,作数列{bn} ,使

1 b1 ? 1, bn ? f ( ),(n ? N , n ? 2) ,求bn; bn?1 3 (3)当 t ? 时,求 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? anbn 的值. 4

2.已知等差数列{an}的公差不为0, {an}中的部 分项组成的数列 ak1 , ak2 , ???akn恰为等比数 列,其中k1=1, k2=5, k3=17, (1)求kn;
(2) 求数列{kn}的前n项和.

2.数列{an}的前n项和为Sn, Sn=2an-3(n∈N+) 求数列{an}的通项公式an;

4.已知等比数列{an}的前n项和是Sn,若S10=10, S30=70,则S40的值为( ) A.150或-200 B.-200 C.150 D.以上都不对

练习:已知数列: 1,(1+2), (1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1), …

求它的前n项和.

5.已知等比数列{an}的前n项之和 Sn ? 2n ? 1 ? 则数列 ? ?的前n项之和Tn=_________. ? an ?

?1,


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