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2015年上海市春季高考模拟试卷六


2015 年上海市春季高考模拟试卷六
一、填空题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1、不等式

3? x ? 0 的解集是___________. x?4

2、在 ?ABC 中,角 A, B, C 满足 sin A : sin B : sin C ? 1:

2 : 7 ,则最大的角等于________. 3、若复数 z 满足 z ? i ? 2 ? z ? ( i 是虚数单位) ,则 z = ____________. 4 、 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A?

?x

x? a? 0,

x ? , ? R

? ?B

x1 ?x ? 3,

? x 若R ?,

?CU A ??

,则实数 a 的取值范围是___________. B ? ??2 , ?4

5、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者,则甲被选中的概率是__________. 6、设直线 l1 : ax ? 2 y ? 0 的方向向量是 d1 ,直线 l2 : x ? ? a ?1? y ? 4 ? 0 的法向量是 n2 , 若 d1 与 n2 平行,则 a ? _________. 7、若圆锥的侧面积为 3? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积为__________. 8、若不等式

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

x

1

?1 x ? a
2

? 0 对任意 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
2 2

9、若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 x ? y ? 2 的右焦点重合,则 p ? _________. 10 、设函数 f ? x ? ? ?

?? ? log 3 ? x ? 1? , x ? ? 6, ?? ? ?1? 的反函数为 f ?1 ? x ? ,若 f ?1 ? ? ? a ,则 x ?6 ?9? ? ?3 , x ? ? ??, 6 ?

f ? a ? 4? ? __________.
x ? a 11、 设 a ?R , ?

?

8

i m 的二项展开式中含 x 项的系数为 7 , 则l

5

n ??

? a ?a

2

??? a

n

? ? _____

? 1 ,x ?1 ? 12、已知定义域为 R 的函数 f ? x ? ? ? x ? 1 ,若关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? bf ? x ? ? c ? 0 ?1, x ? 1 ?
有 3 个不同的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x12 ? x22 ? x32 ? ____________. 二、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 13、设 a, b ? R ,集合 ?1, a ? b, a? ? ?0,

? b ? , b ? ,则 b ? a ? ( ? a ?
1



A. 1

B. ?1

C. 2 )

D. ?2

14、已知 z 是复数, A. 1 ? i 15、不等式

z?2 ? 1 ? i, 则 z ? ( 2?i
C. 1 ? 2i )

B. 2 ? i

D. 3 ? i

x ? 1 的解集是( x ?1
B.

A.

? x ?1 ? x ? 0?
?? ?

? x x ? R, 且x ? ?1?
? ?

C. R

D.

? x 0 ? x ? 1?


16.已知 i, j , k 表示共面的三个单位向量, i ? j ,那么 i ? k ? j ? k 的取值范围是( A.

?

? ?

??

?

?

?

??3,3?

B.

??2, 2?

C. ? 2 ? 1, 2 ? 1?

?

?

D. ?1 ? 2,1 ? 2 ?

?

?


17、 已知函数 f ( x) ? sin(3x ? ? ) 的图象关于直线 x ? A. ? B. ? C. ?

8

4

3

2? 对称, 则 ? 的最小正值等于 ( 3 ? D.
2

18、已知 m 和 n 是两条不同的直线, ? 和 ? 是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定 能推出 m ? ? 的是( )

A. ? ? ? 且m ? ? C. m ? n且n ? ?

B. ? ? ? 且m ?? D. m ? n且? ? ?

19、5.甲、乙两个小组,甲组有 3 名男生 2 名女生,乙组有 3 名女生 2 名男生,从甲、乙两 组中各选出 3 名同学,则选出的 6 人中恰有 1 名男生的概率等于( A.
3 100

) D.
6 100

B.

4 100

C.

5 100

2 2 20、 已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 4 交于 A, B 两点, 且 OA ? OB ? OA ? OB (其中 O

??? ? ??? ?

为坐标原点) ,则实数 a 等于(



A. 2
2

B. ?2

C. 2或 ? 2

D.

6或 ? 6

21、已知曲线 x ? y ? 1 ? 0 与双曲线 x 2 ? 于( ) B. 2 3

y2 ? 1(b ? 0) 的渐近线相切,则此双曲线的焦距等 b2

A. 2 2

C. 4

D. 2 5 )

22、对于定义在实数集 R 上的函数 f ( x) ,若 f ( x) 与 f ( x ? 1) 都是偶函数,则(

2

A. f ( x) 是奇函数 B. f ( x ? 1) 是奇函数 C. f ( x ? 2) 是偶函数 D. f ( x ? 2) 是奇函数
0 23、在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? 2 ,二面角 B ? AA 1 ? C1 的大小等于 60 , B 到

面 AC1 的距离等于 3 , C1 到面 AB1 的距离等于 2 3 ,则直线 BC1 与直线 AB1 所成角的正 切值等于( A. ) B.

7

6

C.

5

D. 2

24、 对于函数 f ? x ? , 若存在区间 A ? ? m, n? , 使得 y y ? f ? x ? , x ? A ? A ,则称函数 f ? x ? 为 “ 可 等 域 函 数 ” , 区 间 A 为 函 数 f ? x ? 的 一 个 “ 可 等 域 区 间 ”. 给 出 下 列 4 个 函 数 : ① f ? x ? ? sin ?

?

?

??x ? x 2 ? ;② f ? x ? ? 2x ?1 ;③ f ? x ? ? 1 ? 2 ;④ f ? x ? ? log2 ? 2x ? 2? . ? 2 ?
D. ②③④

其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( ) A. ①②③ B. ②③ C. ①③ 三、解答题 25、 (本题满分 7 分)
2 设 A ? x | x ? 8 x ? 15 ? 0 , B ? ? x | ax ? 1 ? 0? .

?

?

1 ,试判断集合 A 与集合 B 的关系; 5 (2)若 B ? A ,求实数 a 组成的集合 C .
(1)若 a ?

3

26、 (本题满分 7 分) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 向 量 m ? ? 2 s i n B , 2 cB ?o s ,

??

? n?

?

?? ? 3 cos B, ? cos B ,且 m ? n ? ?1 .

?

(1)求角 B ; (2)若 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.

27、 (本题满分 8 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 底面 ABCD ,E 是 PC 的中点, 已知 PA ? AB ? 2, AD ? 2 2 ,求 (1) ?PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成角的大小.

P

E A B
C

D

28、 (本题满分 13 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? ?

1 * , 2an ? an ?1 ? n ? 1? n ? 2, n ? N ? ,设 bn ? an ? n . 2

(1)证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ;

4

5

29、 (本题满分 12 分) 抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点恰是椭圆
2

x2 y 2 ?p ? ? ? 1 的一个焦点,过点 F ? , 0 ? 的直 4 3 ?2 ?

线与抛物线 C 交于点 A, B . (1)求抛物线 C 的方程; (2) O 是坐标原点,求 ?AOB 的面积的最小值; (3) O 是坐标原点,证明: OA ? OB 为定值.

??? ? ??? ?

6

30、 (本题满分 13 分)
x x 设 a 是实数,函数 f ? x ? ? 4 ? 2 ? a

? x ? R?

(1)求证:函数 f ? x ? 不是奇函数; (2)当 a ? 0 时,求满足 f ? x ? ? a 的 x 取值范围;
2

(3)求函数 y ? f ? x ? 的值域( a 表示).

7

31、 (本题满分 18 分) 设 P ? a, b ?? a ? b ? 0? 、 R ? a,2? 为坐标平面 xoy 上的点,直线 OR ( O 为坐标原点)与抛物
2 线y ?

4 x 交于点 Q (异于 O ). ab
2

(1)若对任意 ab ? 0 ,点 Q 在抛物线 y ? mx ? 1? m ? 0? 上,试问当 m 为何值时,点 P 在 某一圆上,并求出该圆方程 M ; (2)若点 P(a, b) ? ab ? 0? 在椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 上,试问:点 Q 能否在某一双曲线上,若能, 求出该双曲线方程,若不能,说明理由; (3)对(1)中点 P 所在圆方程 M ,设 A 、 B 是圆 M 上两点,且满足 OA ? OB ? 1,试 问:是否存在一个定圆 S ,使直线 AB 恒与圆 S 相切.

8

2015 年春季高考模拟试卷 2015 年春季高考模拟试卷六 参考答案
1、 ? ??, ?4? ? ?3, ?? ? ;2、

1 2? 2 2 2? ;3、 2 ;4、 ? ??, ?4? ;5、 ;6、 ? ;7、 ; 2 3 3 3

8、 ? ?2, 2 ? ;9、 4 ;10、 ?2 ;11、 ? 13-17、CABDD 18-24CACDC AB

1 ;12、5; 3

25、 (1)由 x 2 ? 8 x ? 15 ? 0 得 x ? 3 或 x ? 5 ,所以 A ? ?3,5? . 若a ?

1 1 ,得 x ? 1 ? 0 ,即 x ? 5 ,所以 B ? ?5? ,故 B ? A . 5 5

(2)因为 A ? ?3,5? ,又 B ? A . ①当 B ? ? 时,则方程 ax ? 1 ? 0 无解,则 a ? 0 ; ②当 B ? ? 时,则 a ? 0 ,由 ax ? 1 ? 0 ,得 x ? 故集合 C ? ?0,, ? . 26、 (1) 【

1 1 1 1 1 ,所以 ? 3 或 ? 5 ,即 a ? 或 a ? a a a 3 5

? ?

1 1? 3 5?

? 】 4 n?2 28、 (1)略(2) 【 Tn ? 2 ? n 】 2
27、 (1) 【2 3】 (2) 【 29、 (1) 【 y ? 4x 】 (2) 【2】 (3) 【 ?3 】
2

? 】 (2) 【 3

3】

30、 (略)

2 ? y? x ? ? ?a 2? a ? Q? , ? , 31、解: (1)? ? ?b b? ? y2 ? 4 x ? ab ?

2 ?a? 2 2 代入 y ? mx ? 1? ? m ? ? ? 1 ? ma ? b ? 2b ? 0 b b ? ?
2
2 当 m ? 1 时,点 P (a, b) 在圆 M : x ? ? y ? 1? ? 1 上 2 2 2 2 (2)? P ? a, b ? 在椭圆 x ? 4 y ? 1 上,即 a ? ? 2b ? ? 1 ? 可设 a ? cos ? , b ? 2

2

1 sin ? 2

9

a ? xQ ? 2 2 2 2 ? ? ?a 2? b ? 2? ?a? ? 4 ? ? 2cos ? ? 2 2 又? Q ? , ? , 于是? ? ? yQ ? mxQ ? ? ? ? m ? ? ? ? ? ? m? ? ?b b? ?b? ? b ? ? sin ? ? ? sin ? ? ?y ? 2 Q ? b ?

?

16 4m cos 2 ? ? ? 16 (令 m ? 4 )? 点 Q 在双曲线 y 2 ? 4x2 ? 16 上 sin 2 ? sin 2 ?
2

2 (3)? 圆 M 的方程为 x ? ? y ? 1? ? 1

设 AB : x ? ky ? ?, A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由 OA ? OB ? 1
2 2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? y1 ? 1? ? y12 ? 1 ? ? y2 ? 1? ? y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 1 2 2

1 ? y1 y2 ? 4

2 2 ? ? x ? ? y ? 1? ? 1 又? ? ? ? x ? ky ? 1

? ? k 2 ? 1? y 2 ? 2 ? k ? ? 1? y ? ? 2 ? 0 ,? y1 y2 ?

?2
k ?1
2

?

? 1 1 ? ? 2 4 k ?1 2

又原点 O 到直线 AB 距离 d ?

?
1? k 2

?d ?

1 1 ,即原点 O 到直线 AB 的距离恒为 2 2

? 直线 AB 恒与圆 S : x 2 ? y 2 ?

1 相切. 4

10


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