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§2.2.2从位移的合成到向量的加法第二课时

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§2.2.2 从位移的合成到向量的加法第二课时
【教材版本】北师大版 【教材分析】
向量减法运算是加法的逆运算, 学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握 向量的减法运算。通过向量减法运算的学习,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的 辩证思想, 同时由于向量的运算能反映一些物理规律, 从而加强了数学学科与物理学科之间 的联系,提高学生应用意识。

【学情分析】
学生在上节课中学习了向量的加法运算, 掌握了向量加法运算的两种法则, 所以向量的 减法运算可通过类比加法将向量的加法运算转化, 这样做有利于学生更好地理解向量加法的 意义,深入理解并掌握向量的加减运算。

【教学目标】
1.知识与技能
(1)明确相反向量的意义,掌握向量的减法,会作两个向量的差向量; (2)能利用向量减法的运算法则解决有关问题;理解向量加法的定义.

2.过程与方法
启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.

3.情感、态度与价值观
通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成 两个向量的加法运算,可以渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间相互转化,相互联系 的辨证思想。启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解 决问题。

【重点难点】
教学重点:向量的减法的定义,作两个向量的差向量; 教学难点 :对向量减法定义的理解.

【教学环境】
◆多媒体教室

◆课件

【教学设计】 一、情景引入,提出问题
设计原因 从第一课时熟悉的“小船过河”实例出发,经过观察、研究,归纳出向量减法的 概念,教学过程紧扣学生的思维,阐述自然. 问题 在小船过河时,河水流动的速度为 v1 km / h ,小船欲实际沿垂直河岸的方向,以

v2 km / h 行驶速度过河,试求小船过河自身行驶速度的大小和方向.
解:如图,设 OA 表示小船实际沿垂直于 河岸方向行驶的速度 v2 km / h , OB 表 示水流动的速度 v1 km / h ,以 OB 为一 边,OA 为对角线、 作

C

A

OBAC ,则 OB

的邻边 OC 就表示小船过河自身行驶的 速度和方向.

O

B

二、新知探究
1、向量减法的定义
相反向量 把与向量 a 长度相等,方向相反的向量,叫作向量 a 的相反向量.记作 ? a ,

a 和 ?a 互为相反向量.规定:
(1)零向量的相反向量仍是零向量,即 ?0 ? 0 ; (2)任一向量的相反向量的相反向量仍是该向量本身,即 ?(?a) ? a ; 注:由向量加法的定义可得,互为相反向量的两个向量的和为零向量,即

a ? (?a) ? 0 ;反之两个向量的和为零向量,则这两个向量互为相反向量.
2、向量的减法
向量 a 加上向量 b 的相反向量,叫作 a 与的 b 差,即 a ? b ? a ? (?b) . 求两个向量差的运算,叫作向量的减法.

注:向量的减法,亦可定义为向量加法的逆运算,也就是说,若 b ? x ? a ,则

x ? a ? b ,即向量 x 叫作向量 a 与 b 的差.
3、求两个向量的差
如图,已知向量 a , b ,作 OA ? a , OB ? b ,以 OA , OB 为邻边再作平行四边形

OACB ,连接 BA .
图中,向量 BA ,表示向量 a 与向量 ?b 的 和,即向量 a - b ,也即向量 B

a a ?b
a
A

C

b
O

?b

BA ? OA ? OB ? a - b .

三、学生活动
问题

猜想讨论

向量求差的各种情况的讨论.

讨论设计 (1)两向量不共线:

a b a
a ?b b

a ?b

a ?b

a ?b
b a

b

a

(2)两向量共线:

a b a ?b b

a

a a ?b

a

注:当两向量共线时,向量减法的三角形法则就不成立了. (3)其中有一个是零向量: a ? 0 ? a, 0 ? a ? ?a . 小结: (把向量 a 与 b 的)起点重合(在点 O 处,那么从向量 b 的终点 B ) 指向被减向量( a )的终点( A ,得到的向量 BA 就是向量 a - b ) .

四、典例精析
例4 已知向量 a , b , c ,求作向量 a - b + c .

解: 如图,在平面上任取一点 O ,作 OA ? a, OB ? b ,则 BA ? a ? b . 再作 BC ? c ,并以 BA , BC 为邻边再作平行四边形

BADC ,连接

BD ,则

BD ? BA ? BC ? a ? b ? c .
C

c
B

a ?b ?c a ?b
A

D

b
O
例5 已知 | a |? 8, | b | ? 6 ,且

a
D

C

| a ? b |?| a ? b | ,求 | a ? b | .
解: 如图,设 AB ? a, AD ? b ,以 AB ,

b
A
B

AD 为邻边作平行四边形
则有

ABCD ,

a

? AC ? a ? b ? ? ? ? DB ? a ? b ? ?| AC |?| DB |? ? ? ABCD为矩形 ? AB ? AD 在 Rt ?ABD 中, ? | a ? b |?| a ? b |? ? ? ? ABCD ?

| AB |? 8 , | AD |? 6 ,
由勾股定理,得 | DB |? | AB | ? | AD | ? 8 ? 6 ? 10 .∴
2 2 2 2

| a ? b | ? 10 .

五、课堂练习(学生回答)
1.P92 练习 2.填空. (1) AB ? AC ? CB ; (2) OA ? OB ? BA ;

(3) MD ? MC ? CD ; (4) AB ? BC ? AD ? DC .

六、思考探究
问题 1 证明向量的“三角形不等式” : | | a | ? | b | |?| a ? b |?| a | ? | b | .(提示:按不 共线、共线(同向、反向)讨论证明.) 问题 2 用向量的方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. (提示:法一: AB ? DC ; 法二: AD ? BC )

七、布置作业
P93 习题 2—2 课堂作业 课外作业 A 组 B 组 4.5.(1) (2) (3) 3.4.


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