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人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件:本讲小结1


第一讲

不等式和绝对值不等式

本 讲 小 结

知识框图

方 法 总 结 本讲是中学数学的重要内容,可渗透到好多章节,且在现实生 活中有广泛的应用,是近几年高考的热点. 1.不等式的基本性质 (1)a>b?b<a. (2)a>b,b>c?a>c. (3)a&g

t;b?a+c>b+c.

(4)a>b,c>0?ac>bc. a>b,c<0?ac<bc. (5)a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2). (6)a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). n n

通过语言叙述可以加深对性质的理解, 以下几条性质也经常会 用到: (7)a>b,c>d?a+c>b+d. (8)a>b>0,c>d>0?ac>bd. 1 1 (9)ab>0,a>b? < . a b (10)a>b,c<d?a-c>b-d. a b (11)a>b>0,c>d>0?d>c .

2.基本不等式 (1)a,b∈R?a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时,等号成立). a+b (2)a>0,b>0? 2 ≥ ab(当且仅当 a=b 时,等号成立). a+b+c 3 (3)a>0,b>0,c>0? ≥ abc(当且仅当 a=b=c 时,等 3 号成立).

熟悉以上三个基本不等式及它的变形应用,如 a+b≥2 ab,
?a+b+c? ?3 abc≤? ? ? .在应用等号求最值时,要满足“一正、二定、三相 3 ? ?

等”的条件,否则等号不一定成立. 还有由基本不等式推出的常用不等式: a2+b2≥2|ab|≥2ab;(a+b)2≥4ab;
2 2 ?a+b? a + b 1 ?2 2 2 2 a +b ≥2(a+b) ; 2 ≥? ? 2 ? ; ? ?

b a b a a+b≥2(ab>0);a+b≤-2(ab<0).

3.绝对值三角不等式 (1)a, b∈R, 则|a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当 ab≥0 时, 等号成立. (2)a,b, c∈R,则 |a -c|≤|a -b|+ |b- c|,当且仅当 (a- b)(b -c)≥0 时,等号成立. 应用公式时,正用、逆用、还是变形用都要正确无误,还要注 意等号成立的条件,完整的绝对值三角不等式:

|a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|. 当 a,b 表示向量时,有明显的几何意义,三角形任两边之和 大于第三边,任两边之差小于第三边.

4.绝对值不等式的解法 绝对值不等式都要转化为一元一次不等式组或一元二次不等 式来解.其转化的常用方法(也就是化去绝对值符号的方法)有:
? ?a,a≥0, (1)由实数绝对值的意义,即|a|=? ? ?-a,a<0.

(2)不等式两边平方(平方前不等式两边非负).

(3)各种类型绝对值不等式的解法. ①|x|<a(a>0)?-a<x<a. ②|x|>a(a>0)?x>a 或 x<-a. ③|ax+b|≤c(c>0)?-c≤ax+b≤c. ④|ax+b|≥c(c>0)?ax+b≥c 或 ax+b≤-c. ⑤|x-a|+|x-b|≥c 和|x-a|+|x-b|≤c 有三种方法选择:

(Ⅰ)分区间讨论法:它虽然麻烦一些,但具有普遍性.如: |x -a|+|x-b|≤c(c>0).不妨设 a<b,可将原不等式转化为三个不等
? ?x≤a, 式组? ? ?a-x+b-x≤c; ? ?a<x<b, 或? ? ?x-a+b-x≤c; ? ?x≥b, 或? ? ?x-a+x-b≤c.

原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集.

(Ⅱ)图象法:以|x-a|+|x-b|≥c(c>0)为例,不妨设 a<b,令

y2=c.在同一直角坐标系中分别作出它们的图象,利用图象写 出原不等式的解集.(此法求参数的范围非常优越) (Ⅲ)几何法:它是利用绝对值的几何意义,在数轴上直接找出 不等式的解.它仅适用于非常简单的情况.

专 题 探 究 一 数形结合的思想 【例 1】 设关于 x 的不等式 lg(|x+5|+|x-5|)<a. (1)当 a=1 时,解这个不等式; (2)当 a 为何值时,这个不等式的解集为?.

【解】 -5|<10.

(1)∵a=1,∴lg(|x+5|+|x-5|)<1=lg10.∴|x+5|+|x

由实数绝对值的几何意义知, 不等式的解就是数轴上表示到- 5 与 5 两点距离之和小于 10 个单位的点的集合.如图所示.

设 x 对应点为 C,当 C 在线段 AB 上时,|AC|+|BC|=10,当点 C 在线段 AB 的外端时|AC|+|BC|>10,因此,适合题意的点 C 不存 在,即当 a=1 时,不等式无解,故原不等式无解. ?-2x ?x≤-5?, ? (2)令 y=|x+5|+|x-5|=?10 ?-5<x<5?, ?2x ?x≥5?. ? 作出函数的图象.

由图象知,当 a≤1 时,|x+5|+|x-5|<10 无解, 故 lg(|x+5|+|x-5|)<a 无解, ∴当 a≤1 时, lg(|x+5|+|x-5|)<a 的解集为空集.

规律技巧 利解出.

把对数不等式转化为绝对值不等式, 利用图象法顺

二 分类讨论的思想方法 【例 2】 函数 f(x)的定义域为[0,1],且 f(0)=f(1),当 x1、x2 1 ∈[0,1],x1≠x2 时都有|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,求证:|f(x2)-f(x1)|<2.

【证明】

不妨设 0≤x1<x2≤1,以下分两种情形讨论.

1 1 ①若 x2-x1≤ ,则|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|≤ , 2 2 1 ∴|f(x2)-f(x1)|<2. 1 ②若 x2-x1>2,∵f(0)=f(1), ∴|f(x2)-f(x1)|=|f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|

≤|f(x2)-f(1)|+|f(x1)-f(0)|<|x2-1|+|x1-0| =1-x2+x1 1 1 =1-(x2-x1)<1-2=2. 1 综上所述,|f(x2)-f(x1)|<2.

规律技巧

对于绝对值符号内的式子, 采用加、 减某个式子后,

重新组合,运用绝对值不等式的性质放缩,是证明绝对值不等式常 用技巧.

三 转化与化归的思想 【例 3】 若 二 次 函 数 f(x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 且

1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4,求 f(3)的取值范围.

【解】 方法一:设 f(x)=ax2+c(a≠0),
? ?f?1?=a+c, 则由题意可得? ? ?f?2?=4a+c

? ?a=f?2?-f?1?, 3 ? 解得? ? 4f?1?-f?2? c= ? 3 ? 4f?1?-f?2? 8f?2?-5f?1? ∴f(3)=9a+c=3f(2)-3f(1)+ = . 3 3

∵1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4, ∴5≤5f(1)≤10,24≤8f(2)≤32, ∴14≤8f(2)-5f(1)≤27. 14 8f?2?-5f?1? 14 ∴ ≤ ≤9,即 ≤f(3)≤9. 3 3 3

? ?1≤a+c≤2, 方法二: 由已知得? ? ?3≤4a+c≤4

画出不等式组表示的平面区

域如图.

令 z=f(3)=9a+c,则 c=-9a+z. 当直线 c=-9a+z 过点
?1 5? A?3,3?时,它在纵轴上的截距最小, ? ?

14 即 z 最小,其值为 3 ;当直线 c=-9a+z 过点 B(1,0)时,它在纵轴 上的截距最大,即 z 最大,其值为 9.
?14 ? ∴f(3)的取值范围是? 3 ,9?. ? ?

规律技巧

利用几个代数式的范围来确定某个代数式的范围

是一类常见的综合问题,对于这类问题要注意:“同向(异向)不等 式的两边可以相加(相减)”这种转化往往不是等价变形,在一个解 题过程中多次使用这种转化时,有可能扩大代数式的取值范围,尤 其当不等式中含有多个“≤(或≥)”时,其中的“=”不一定同时 取得. 解这类问题可利用待定系数法先建立待求范围的代数式与已 知范围的代数式的等量关系,最后通过一次线性不等关系的运算, 求得待求的范围; 或转化为线性规划问题, 用线性规划的方法求解.

四 不等式中的恒成立问题 【例 4】 已知函数 f(x)=|x-1|+|x-2|,若不等式|a+b|+|a -b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求实数 x 的取值范围.

【解】 由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)且 a≠0,得 |a+b|+|a-b| ≥f(x). |a| |a+b|+|a-b| |a+b+a-b| 又因为 ≥ =2, |a| |a| 1 5 则有 2≥f(x),即|x-1|+|x-2|≤2,解得2≤x≤2.

五 不等式的应用 【例 5】 设计一幅宣传画,要求画面面积为 4 840 cm2,画面 的宽与高的比为 λ(λ<1),画面的上下各留 8 cm 空白,左、右各留 5 cm 空白.怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张 面积最小?

【解】 设画面高为 xcm,宽为 λxcm,则 λx2=4 840 cm2.设纸 张面积为 S,则 S=(x+16)(λx+10) =λx2+(16λ+10)x+160. 4 840 4 840 2 由 λx = 4 840 ,得 λ = 2 代入上式,得 S = 2 · x + x x
2

?4 840 ? ? 2 ×16+10? x ? ?

x + 160 = 4

4 840×16 840 + + 10x + x

160≥2 4 840×16×10+50 000.

4 840×16 当且仅当 =10x,即 x=88 时,等号成立. x 此时,由 λx2=4 840,得 λx=55.所以,画面的高为 88 cm,宽 为 55 cm,所用纸张面积最小.

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