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2.3 映射的概念


高中数学 必修1

姓名:范金泉
单位:宿迁市马陵中学

情境问题:
函数的本质是建立在两个非空数集A、B上的单值对应,在我们的 周围,还存在着不是数与数的对应关系,比如: (1)A={P|P是数轴上的点},B=R,f:点的坐标; (2)对于任意的△ABC,B=R,f:三角形的面积.

如何刻画这些

对应关系呢?

数学建构:
1.映射的定义. 一般地,设 A,B是两个非空的集合,如果按某种对应法则 f,对 于集合A中的每一个元素 x,在集合B中都有惟一的元素 y 和它对应, 这样的单值对应叫做从集合A 到集合 B的映射,记作:f:A→B. (1)映射是函数概念的推广,函数是一类特殊的映射; (2)映射f:A→B中,集合A、B可以是数集,也可以是点集或其他集合; (3)映射的方向性:映射f:A?B与f:B?A是不一样的. (4)箭尾集合中元素的任意性(少一个也不行),箭头集合中元素的唯

一性(多一个也不行).

数学应用:
例1.下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么? (1) A=R, B={x?R∣x≥0 }, f:“求平方”; (2) A=R, B={x?R∣x>0 }, f:“求平方”; (3)A={x∈R∣x>0 },B=R, f:“求平方根”; (4)A={平面上的圆},B={平面上的矩形}, f:“圆的内接矩形”.

数学建构:
2.映射的类型.

映射可以是“一对一”或“多对一”的对应,但不能是“一对多”.
即映射应是单值对应,或称单射.

数学应用:
1.请分析下列对应,哪些是A到B的映射? (1)A=R,B={x|x是数轴上的点},f:实数与数轴上的点对应;

(2)A={中国,日本,韩国},B={北京,东京,汉城,华盛顿},
f:相应国家的首都; (3)A={x|x是高一年级有QQ号的学生},B={x|x是QQ号码}, f:该生对应的QQ号; (4)A={x|x是我校高一年级的班级},B={x|x是我校高一年级的学生}, f:该班级对应的学生.

数学应用:
2.已知M={x|0≤x≤2},N= {y|0≤y≤2},下列图中表示从M到N的映射共 有多少个? y y y
2 1 O 2 1 2 1

1 y
2 1 O

2

x

O y

1

2

x

O y 2 1

1

2

x

2
1

1

2

x

O

1

2

x

O

1

2

x

数学应用:

例2.若A={-1,m,3},B={-2,4,10},定义从A到B的一个映射 f:x→y=3x+1,求m值.

逆映射

数学应用:
3.已知A=R,B=R,则在f:A →B使A中任一元素a与B中元素2a-1 相对应,则在f:A→ B中,A中元素9与B中元素_________对应;与集合 B中元素9对应的A中元素为_________.

4.若元素(x,y)在映射f的象是(2x,x+y),则(-1,3)在f下的象是 (-1,3)在f下的原象是 .



反馈练习:
例3.设集合A={x|0≤x≤6 },集合B={y|0≤y≤2 },下列从A到B的对应 法则f,其中不是映射的是( )
1 A.f:x→y=2x 1 C.f:x→y=4x 1 B.f:x→y=3x 1 D.f:x→y=6x

数学应用:
5.下列对应中,哪些是 从A到B的映射? x 1 2 3 4

f

y 2 4 6 8

x 1 2 3 4

f

y 2 4 6 8

x 1 2 3 4

f

y 2 4 6 8

x 1 2 3 4

f

y 2 4 6 8

(1)

(2)

(3)

(4)

数学应用:
6.设集合M={x∣0≤x≤1 },集合N={y∣0≤y≤1 },则下列四个图象中,

表示从M到N的映射的是(
y x O O y x

)
y x O O y x

(1)

(2)

(3)

(4)

小结:
A

f

B

b是4的原象

a
b c

1
2 3 4叫做b的象

4

一对一 单值对应 对应 多对一 一对多 两个数集之间的 对应 函数 映射

一一对应
一定是映射,且存在逆映射.

作业:

课本P47练习1,2题,P48第5,6题.


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