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高中数学人教版A版选修4-5教学课件:1-2- 《1 绝对值三角不等式》

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1.绝对值三角不等式 绝对值三角不等式 (1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅 当 ab≥0 时,等号成立. 几何解释:用向量a,b分别替换a,b. ①当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义为: 三角形的两边之和大于第三边 . ②若a,b共线,当a与b 同向 时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b 反向 时,|a+b|<|a|+|b|. 由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝 对值三角不等式. ③定理1的推广:如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b| ≤|a|+|b|. (2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b -c|. 当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 几何解释:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A, B,C, 当点B在点A,C之间时,|a-c| = |a-b|+|b-c|. 当点B不在点A,C之间时:①点B在A或C上时,|a-c| = |a-b|+|b-c|; ②点B不在A,C上时,|a-c| < |a-b|+|b-c|. 应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值. [例 1] s s s 已知|A-a|< ,|B-b|< ,|C-c|< . 3 3 3 求证:|(A+B+C)-(a+b+c)|<s. [思路点拨] ―→ 得出结论 变形 重新 定理 转化为|A-a|+ 原式 ――→ ――→ 分组 |B-b|+|C-c| [证明] (C-c)| |(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+ ≤|(A-a)+(B-b)|+|C-c|≤|A-a|+|B-b|+|C-c|. s s s 因为|A-a|< ,|B-b|< ,|C-c|< , 3 3 3 s s s 所以|A-a|+|B-b|+|C-c|< + + =s. 3 3 3 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是 比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去 掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值 三角不等式||a|-|b|||a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、 拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值 的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊 情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分 布等方法来证明. 1.设a、b是满足ab<0的实数,则下列不等式中正确的是 ( A.|a+b|>|a-b| C.|a-b|<||a|-|b|| B.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<|a|+|b| ) 解析:∵ab<0且|a-b|2=a2+b2-2ab, ∴(a+b)2=a2+b2+2ab<|a-b|2. ∴(|a|+|b|)2=a2+b2+2|ab|=|a-b|2. 故A、D不正确.B正确;又由定理1的推广知C不正确. 答案:B ε ε 2.设ε>0,|x-a|< ,|y-a|< . 4 6 求证:|2x+3y-2a-3b|<ε. 证明:|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|≤ |2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b| ε ε <2× +3× =ε. 4 6 [例2] (1)求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值. (2)设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1). 若|a|≤1,求|f(x)|的最大值. [思路点拨] 求解. 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可 [解] (1)法一:||x-3|

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