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寻题


寻题 “ 源”,为解题教学支招
— —— 从江苏 2015年高考数学卷第 19题说起
筅江苏省海门中学 数学教学和高考试题的特点决定了解题是高三教 学的主要活动,但数学解题往往会在高考后留下一种印 象:高中学习数学题做的不少,很多高考题看起来也懂, 为什么考试时却做不下去呢? 用最近流行的说法即是 “ 题题有思路,路路都不通”. 笔者以 2015 年江苏高考试

卷第19题为例,简单叙述解题教学时,通过寻找题 “ 源”, 并在解题中反思研究试题的价值,进而提出几个供大家 参考的解题教学想法.
李乃洋

修课本1-1以及2-1,结论是:设函数y=f ( x),如果在某区 间上 f ( ′ x)>0,那么( f x)为该区间上的增函数;如果 f ( ′ x) <0,那么( f x)为该区间上的减函数 . 简单地说,求( f x)的 单调性转化为求解不等式f ( ′ x)>0或f ( ′ x)<0. 第一问解题设计如下所示. ( 3x+2a). ( 1)求导.f ( ′ x)=3x2+2ax=x ( 2)解不等式 . 令 f ′ ( x)>0,即 x ( 3x+2a)>0,因为方程 x ( 3x+2a)=0 的两根x1=0、x2=得:①当0<0 =2 a大小不确定,分类讨论 3

一 、试题呈现
题目 :已知函数( f x)=x3+ax2+b ( a、b∈R).

2 2 a,即a<0时,f ( ′ x)>0圯x<0或x>- a;②当 3 3

( I)试讨论( f x)的单调性; ( II)若b=c-a ( 实数c是与a无关的常数),当函数( f x) 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是 ( -∞, -3)∪ 3 3 1,  ,求c的值. ∪  , +∞  2 2 2

2 a,即 a=0 时,f ′ ( x)>0 圯 x ≠0,但 ( f x)在 x=0 处连 3 2 2 a,即a<0时,f ( ′ x)>0圯x<- a或x>0. 3 3

续;③ 当0>-

( 3)确定单调性 . 综上所述,当 a<0 时,( f x)在区间 ( -∞,0)和 2 2 a , +∞  0,- a  上单调 递 增,在区间  上 3 3

二 、试题社会反响
高考后学生对整张试卷感慨较多的是:题题有思 路,路路又不通,尤其是基础相对薄弱的考生更为明显, 此题就是很好的代表.究竟试题为何让学生有这样的感 觉,对我们的教学又有什么启发,这是本文立意的起点.

单调递减;当a=0时,( f x)在R 上单调递增;当 a>0 时,( f x) 在区间 -∞,-



2 a 和( 0, +∞) 上单调 递 增, 在区间 3



2 - a ,0  上单调递减.  3 第一问解题 障碍 : 含 参数 ( 字母)问题 需 要分类讨 论,学生在 复习过程中,对 涉及解含参数一 元二 次 不等 式 ( 函数与方程)的分类标准或依据不够熟练,制约了本

三 、试题评析
本题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极 值及零点问题,同时考查综合运用数学思想方法分析与 解决问题的能力,第一问属于中等题,第二问属于难题. 第一问题源:导数与函数单调性的关系,苏教版选

小题的得分. 第二问题源: ( 1)掌握零点的存在性判断方法,在苏 教版 必 修 1 中零点 存 在性定 理描 述为:若函数 y=f ( x)在 区间 [ a,b]上的图像是一 条 不间 断 的 曲线 , 且( f a)( f b)<

0,则函数y=f ( x)在区间 ( a,b)上有零点; ( 2)导数在研究 函数中的应用:包括利用导数判断单调性,求函数极值 问题, 进而可以方便我们利用函数性质作出函数的草 图.在苏教版必修1课本3.3.2节中例题2及3.3.3节例题2中 均涉及利用导数研究函数性质及图像. 第二问解题设计如下所示. ( 1)理解题意,数形结合,得出等价关系 . 由 ( I)知 2 4 ( f x)的两个极值为( f 0)=b,f - a = a3+b,作出( f x)的 3 27 草图,如图1,则要使函 数( f x)有3 个不同零点 2 圳f ( 0)f - a <0, 即 3 4 3 a +b <0. b 27

值范围是 ( -∞,-3)∪ 1,

3 3 ,符合题意. ∪ 3 ,+∞  32  2

四 、试题研究价值
—— 题 “ 源 ” 于课本 , 高于教材 1.把握命题方向 —

江苏高考数学试题近几年命题不在题面上刻意为 难考生,命题主要围绕考试大纲,结合现用教材来挖掘 试题素材, 这使得命题更具原创特点以及贴近学生实 际, 学生在实际解题时对题目本身没有太强陌生感,这 可以理解为命题者选材源于课本,但难度要求实际高于 教材的体现 . 所以要想在高考取得较好的教与学的效
x 图1

3 

果,平时对课本的关注就是对高考题 “ 源”的把握,而最 基本的题源便是教材.所以教师在平时教学中要把教材 中的概念和例题、作业作为可能的高考题 “ 源”来认真研 究,让复习回归数学教学的本真.
—— 题千变万化 , 法不离宗 2.探究试题变迁 —

3  

3

( 2)合理转化,准确计算.因为b=a-c,则由题意关于a 的不 等式 ( c-a) 4 a +c-a  <0 的解集恰为 ( -∞, -3)∪ 3 27
3 3

对于2015年江苏卷第19题,在平时的教学复习中我 们有没有遇到过类似的问题呢? 我们不妨看以下两道试 题.
试题 1 : (2012 年全国卷 )已 知函数 y=x3-3x+c 的图像

4 3 3 1,  ,又不等式可变形为 3 a -a+c  ( a∪ 3 ,+∞  3 2 2 27 c)>0,类比一元二次不等式与对应函数图像的关系,令 g ( a)= 4 a -a+c  ( a-c),则g ( a)的草图如图2 所示,所以 3 27
3

与x轴恰有两个公共点, 则c的可能取值集合为 __________.
试 题 2: ( 模 考 题 ) 设 a>0,函数( f x)=

3 ( a)=0的根,则g ( 1)=0圯 ( 1a=-3、a=1、a= 是对应方程g 2 23 3 3 -c ( c) cc-1)=0 ②,g ( -3)=0 =0 ①,g =0圯 2 2 27 圯( c -1) ( c +3) =0 ③ . 由 ① ② ③ 同 时 成 立 知 c =1.

2 3 1 2 x - ax +1, 3 2

x∈R. 问题1:若a=1,求曲线y=f ( x)在x=1处的切线方程; 问题2:若函数( f x)存在3 个零点,求实数a的取值范 围. ( 1)以少胜多,重在优化. 这两题均以三次函数为背景,研究的方法具有相似

3 

3 3 

-3

1 图2

3 2

x

性和普遍性,历届高三 复习中都会遇到类似问题,而 且 不 止一次,所以教学要达 到学生会做这个目的,不 仅 在 于多练,还要重视一题多用,以少胜多.如两题均考查函 数图像与 x 轴的交点个数问题 ( 即函数零点问题),在教 学中首先思考试题的本源在哪儿, 解决的方法有哪些, 常规的方法是 什么,通 过比较又有什么收获,改 变问题 是否 可以命制新的问题,带着 一 连串的思考,我们得到 以下几点感想.

( 3)回顾反思,检验作答.上述分析中我们利用了不 等式解集与对应方程的根的关系, 是一个必要条件,即 不能保证问题的等价性,所以求得的值要回代以检验合 理性 ( 充分性). 检验: 当 c= 1 时, 不等式为 ( 1 -a) · 4 a -a+1  <0,等价于 ( 1-a) ( a+3) ( 2a-3) <0,所以a的取 3 27
3 2

①方法不在巧,重在得当. 对上述两题,试题1首先可选用分离常数,化归为函 数y=c与函数y=-x3+3x有两个交点的问题,运用数形结合 的技巧解题.也可直接研究函数y=x -3x+c的单调性与极 值情况,再考虑( f x)有两个零点的等价条件,从而可求c 的值 . 对于试题 2 的问题 2,方法的合理性是本题解题简 洁与成功的关键.我们可以设计如下解法.f ( ′ x)=2x2-ax= x ( 2x-a),令 f ′ ( x)=0 圯 x=0,x= a ( a>0). 由题意知函数 2
3

能否调整a的范围改变此问题的结果呢? 答案是肯定的. 这样类似的逆向思考,是变式教学的一 种创新 ,对课堂 上习惯了思维定式的学生的解题有着非凡的触动! 现在 再来看2015年江苏卷第19题,对此题若逆向思考可得这 f x)有三个不 样一题:已知函数( f x)=x3+ax2+1-a,当函数( 同零点时,求实数a的取值范围.这便是平时复习中常规 的已知函数零点求参数范围问题,同学们只要结合导数 与不等式知识很容易解决,但高考中倒过来设置问题就 变得不同凡响,所以日常教师从命题的充分必要角度来 研究试题变题教学还是很值得思考的.
—— 题有 “ 边界 ”, 练有方向 3. 尊重考纲导向 —

a 3 ( f x)的极值( f 0)=1 >0,f <0,所以得 a>2 姨 3 为所求 2 范围 . 如果这里再选用分离常数来求解,就给人以会而 无法下手的感觉,所以只有平时扎实的训练与对比反思 才能为高考中合理解题提供帮助! ②变题不在繁,变在 “ 点”上. 这里 “ 点”指的是教材的重点,考纲的重点 . 如针对 试题2可给出变题 2 -1:讨论函数( f x)的单调性;变题 2 2:求函数( f x)在区间 [ 0,2]上的最值;变题 2 -3:判断函 数( f x)在区间 ( 0,2)上是否有极小值,并说明理由 . 上述 三个变题仅从导数的基本应用角度来出题,便可达到巩 固学生对基础知识和方法的掌握训练,体现有效时间落 实到重点上,而不是盲目做题、刷题,忽略了高三复习的 本来目的. ( 2)逆向思考,意义非凡. 荷兰数学教育家 H.Freudenthal指出,反思是数学活 动的核心和动力.数学解题是高中数学教学的一个最基 础、最普遍的数学活动,所以反思理所当然是教与学中 重要的环节 . 反思会带来很多收获,尤其是研究试题的 2 时候.如对于试题2,若逆向思考,即已知函数( f x)= x33
3 1 2 ax +1 中实数 a>2 姨 3 , 探 究函数( f x)的零点的个数, 2

2

江苏自2004年开始自主命题,每年发布一次新高考 考试大纲,对命题指导思想、考试内容及要求、考试形式 及试卷结构都作出说明,这本身就是对历年高考命题和 复习的指导要求,也是提醒学生和教师在教学中不要过 分依赖题海战术,而要针对性训练,这样既能提高效率, 也不违背教育的原有目标. 所以为了适应考试要求,在 紧张的高三复习教学中,教师和学生对于考纲中的内容 还是要细致研读, 尤其是每年其中内容的变化之处.如 2015年数学考纲中把 “ 函数与方程”从原先的A级要求变 为B级要求,体现考查力度的重视或方法的重要.如2015 年江苏数学卷的第19题第二问零点问题,事实上也可看 为对函数与方程思想的一种间接考查. 笔者认为数学教学中要围 绕 考试要求结合教材和 大纲,立足有价值的例题和试题,借助合理的变形,引导 学生去探究、对比、总结提炼和反思解题,并使其内化为 学生的自觉行为,正如波利亚在 《 怎样解题》一书中所说 的 “ 你能否一眼看出结论? 你能否有别的方法导出这个 结论? 你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问 题? ”这告诉我们,解题需要寻找题 “ 源”,并通过问题反 思找到类似的解题方法进而实施解题. A


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