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教师基本功比赛----=2014年广州市高中数学青年教师解题比赛试题


2003 广州市高中青年教师解题比赛试卷
一,选择题:
1,下列各式中正确的是( 2,若 sin x > tgx > ctgx , ( A, ( ) A,0=φ B,φ= {0} ) C, 0 ∈ φ D,φ {0}

π
2

<x<

π
2

/>
) .则 x ∈ ( C, (0,

π

, ) 2 4

π

B, (

π
4

,0 )

π
4

)

D, (

π π

3,已知极坐标系中的两点 P (1, A,

π
8

) , Q( 2 ,

π
3

B,

π
4

3π ) ,则直线 PQ 与极轴所在直线的夹角是( 8 π 3π C, D, 2 8
2

, ) 4 2

)

4, ( x 2 ) n 的展开式中,第二项与第四项的系数之比为 1 : 2 ,则 x 项的系数是( A, 20 2 B, 20 2 C,12 D, 12

)

5,各项都是正数的等比数列 {a n } 的公比 q ≠ 1 ,且 a 3 , a 5 , a 6 成等差数列,则

a3 + a5 a 4 + a6
D,2

的值为: (

) A,

5 +1 2

B,

5 1 2

C,

1 2
)

6,已知 f ( x) 是周期为 T ( T >0)的周期函数,则 f ( 2 x + 1) 是( A,周期为 T 的周期函数 C,周期为 B,周期为 2 T 的周期函数 D,不是周期函数

T 的周期函数 2

7,将函数 y = f ( x ) sin x 的图象向右平移

π
4

个单位后再作关于 x 轴对称的曲线,得到 ) D, 2 sin x )

函数 y = 1 2 sin 2 x 的图象,则 f ( x ) 是( A, cos x B,2 cos x

C, sin x

8,四边形 ABCD 中, AB = BC = CD = BD = 1, 则成为空间四面体时, AC 的取值范围是( A, (0,1) B, (1,2 ) C,[1,2] D, (0,2)

9,定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 为减函数,设 a + b ≤0,给出下列不等式: (1) f ( a ) f ( a ) ≤0; (2) f (b) f ( b) ≥0; (3) f ( a ) + f (b) ≤ f ( a ) + f ( b) ; (4) f ( a ) + f (b) ≥

f ( a ) + f (b) 其中成立的是( ) A, (1)和(3) B, ; (2)和(3) C, ; (1)和(4) D, ; (2)和(4)
10, 移动通讯公司对 "全球通" 手机用户收取电话费标准是月租 50 元+通话费, 其中 通话费按每分钟 0.4 元 计算.对"神州行"卡手机用户则不收月租费,只收通话费,
1

其中通话费按每分钟 0.6 元计算.假如你是移动通讯公司的用户,每月通话时间为 t 分钟,为了便宜,当 t 在下列哪个区间时,你会选择"全球通"?( ) A,[200,240] B,[250,290] C,[220,260] D,[230,270] 11,某宇宙飞船的运行轨道是以地球球心 F 为左焦点的椭圆,测得近地点 A 距离 地面 m 公里,远地点 B 距离地面 n 公里,地球半径为 R 公里,关于椭圆有以下四 种说法: (1)焦距长为 n m ; (2)短轴长为 ( m + R )( n + R ) ; (3)离心 率e =

nm ; (4)以 AB 方向为 x 轴的正方向, F 为坐标原点,则左准线方 m + n + 2R 2(m + R )(n + R ) ;以上正确的说法有: ( ) 程为 x = nm

A, (3) (1) B, (4)C, (3) (2) (1) (4) D, (2) (1) (4) 12,弹子棋共有 60 颗大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛, 使剩下的弹子尽可能少,那么剩余的弹子有( ) A,0 颗 B,4 颗 C,5 颗 D,11 颗

第Ⅱ卷(共 90 分) 二,填空题: (每题 4 分,共计 16 分)
13,复数

z=

a2 1 + (a 2 3a + 2)i 是实数,则实数 a = a2

.

14,若直线 2ax by + 2 = 0 ( a, b ∈ R )始终平分圆 x 2 + y 2 + 2 x 4 y + 1 = 0 周 长,则 ab 的取值范围是 . .

15,△ABC 的三边 a, b, c 成等差数列,且∠A=3∠C,则 cos C =

16,空间 8 个点,任意两点连成直线,最多有_______________对异面直线.

三,解答题:
17, (本题满分 12 分)正实数 a, b 满足 a = b ,且 a <1,求证: a = b
b a

18, (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) =

a 2 cos x π 在区间 0, 内是单调递增函数, 求实数 a 的取值范围. 3 sin x 2

19, (本题满分 12 分)如图,三棱锥 P ABC 中, AP = AC , PB = 2 ,将此三棱锥 沿三条侧棱剪开,其展开图是一个直角梯形 P1 P2 P3 A . (Ⅰ)求证:侧棱 PB ⊥ AC . (Ⅱ)求侧面 PAC 与底面 ABC 所成的角. P P1 B B C P2 A
2

A

P3 C

20, (本题满分 12 分) 某区属中学高三级举行一次统考中,共有 4000 名学生,数学科共抽调了 57 名教师集中阅卷,现决定将这 些教师分成两大组,第一组教师专门批阅客观题,第二组教师专门批阅主观题,已知阅完 1 份客观题需 30 秒钟,阅完 1 份主观题需 8 分钟,为了尽可能短时间完成阅卷任务,应如何将这些教师分组?最短阅卷时 间是多少小时?(精确到 0.1 小时) 21, (本题满分 12 分)已知双曲线

x2 y2 = 1 ( a >0, b >0)的右焦点为 F ,过 F 作 a 2 b2

一条动直线 l 和双曲线右支相交于 A,B 两点. (Ⅰ)当 l 存在斜率,试求斜率 K 的取值范围. (Ⅱ)求证: AB ≥

2b 2 ,并指出等号何时成立? a

(Ⅲ)当存在动弦 AB 的某一位置,使得 AB 的中点在 y 轴上的射影 C 满足条件

AC ⊥ BC ,试求此时双曲线离心率的取值范围.
22,本题满分 14 分) ( 已知 α 为锐角, tan α = 且 的首项 a1 =
2 2 1, 函数 f ( x ) = x tan 2α + x sin( 2α +

π
4

). 数列 {a n }

1 , a n +1 = f ( a n ) 2

(Ⅰ)求 f (x ) 的表达式; (Ⅱ)求证: a n +1 > a n ; (Ⅲ)求证: 1 <

1 1 1 + ++ <2, n ≥2 且 n ∈ N ) ( 1 + a1 1 + a 2 1 + an

3

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