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同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案


学案 18

同角三角函数的基本关系式及诱导公式

π 导学目标: 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱 2 sin x 导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, =tan x. cos x 自主梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:_____________

_______. (2)商数关系:______________________________. 2.诱导公式 (1)sin(α+2kπ)=________,cos(α+2kπ)=__________,tan(α+2kπ)=__________,k∈ Z. (2)sin(π+α)=________,cos(π+α)=________,tan(π+α)=________. (3)sin(-α)=________,cos(-α)=__________,tan(-α)=________. (4)sin(π-α)=__________,cos(π-α)=__________,tan(π-α)=________. π π (5)sin?2-α?=________,cos?2-α?=________. ? ? ? ? π π (6)sin?2+α?=__________,cos?2+α?=____________________________________. ? ? ? ? 3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为:

(

上述过程体现了化归的思想方法. 自我检测 1 . (2010· 全 国 Ⅰ )cos ) 3 1 A.- B.- 2 2 1 3 C. D. 2 2 1 2. (2009· 陕西)若 3sin α+cos α=0, 则 2 的值为 cos α+sin 2α 10 5 A. B. 3 3 2 C. D.-2 3

300°





(

)

3 3.(2010· 福建龙岩一中高三第三次月考)α 是第一象限角,tan α= ,则 sin α 等于( 4 4 3 A. B. 5 5 4 3 C.- D.- 5 5 17 17 4. cos(- π)-sin(- π)的值是 ( 4 4 A. 2 B.- 2 2 C.0 D. 2

)

)

π 2 2π 5.(2011· 清远月考)已知 cos( -α)= ,则 sin(α- )=________. 6 3 3

探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值 π 1 例 1 已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5 2 2 (1)求 sin x-cos x 的值; tan x (2)求 的值. 2sin x+cos x

3π 变式迁移 1 已知 sin(3π+α)=2sin? 2 +α?,求下列各式的值. ? ? sin α-4cos α (1) ;(2)sin2α+sin 2α. 5sin α+2cos α

探究点二 利用诱导公式化简、求值 π 5 例 2 (2011· 合肥模拟)已知 sin?α+2?=- ,α∈(0,π). ? ? 5 π 3π sin?α-2?-cos? 2 +α? ? ? ? ? (1)求 的值; sin?π-α?+cos?3π+α? 3π (2)求 cos?2α- 4 ?的值. ? ?

变式迁移 2 设 f(α)= 2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? 23π (1+2sin α≠0),则 f?- 6 ?=________. ? ? 3π ? π 1+sin2α+cos? 2 +α?-sin2?2+α? ? ? ? 探究点三 综合应用 例 3 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B),求△ ABC 的三个内角.

1 变式迁移 3 (2011· 安阳模拟)已知△ABC 中,sin A+cos A= , 5 (1)求 sin A· A; cos (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.

转化与化归思想的应用 1 例 (12 分)已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α 1 多角度审题 由 sin α+cos α= 应联想到隐含条件 sin2α+cos2α=1,要求 tan α,应当 5 切化弦,所以只要求出 sin α,cos α 即可. 【答题模板】 1 ? 2 ①? sin α+cos2α=1, ② 解 (1)联立方程?sin α+cos α=5, ? 1 由①得 cos α= -sin α,将其代入②,整理得 25sin2α-5sin α-12=0.[2 分] 5 4 3 ? ∵α 是三角形的内角,∴?sin α=5? cosα=-5 ,[4 分] ? 4 ∴tan α=- .[6 分] 3 sin2α+cos2α 2 2 cos2α sin α+cos α tan2α+1 1 (2) 2 = 2 = 2 = ,[8 分] cos α-sin2α cos α-sin2α cos α-sin2α 1-tan2α cos2α tan2α+1 4 1 ∵tan α=- ,∴ 2 [10 分] 2 = 3 cos α-sin α 1-tan2α ?-4?2+1 ? 3? 25 = =- .[12 分] 4?2 7 1-?-3? ? 【突破思维障碍】 1 由 sin α+cos α= 及 sin2α+cos2α=1 联立方程组,利用角 α 的范围,应先求 sin α 再求 5 cos α.(1)问切化弦即可求.(2)问应弦化切,这时应注意“1”的活用. 【易错点剖析】 在求解 sin α,cos α 的过程中,若消去 cos α 得到关于 sin α 的方程,则求得两解,然后 应根据 α 角的范围舍去一个解,若不注意,则误认为有两解. 1.由一个角的三角函数值求其他三角函数值时,要注意讨论角的范围. 2.注意公式的变形使用,弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想,要尽量 少开方运算,慎重确定符号.注意“1”的灵活代换. 3.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) cos A 12 1.(2011· 荆州模拟)已知△ABC 中, =- ,则 cos A 等于 sin A 5 ( )

12 A. 13 5 C.- 13 2 . 已 知 tan α = - ( ) 1 A. 5 5 C. 13

5 B. 13 12 D.- 13 5 , 且 α 为 第 二 象 限 角 , 则 sin α 的 值 等 于 12

1 B.- 15 5 D.- 13 sin?π-α?cos?2π-α? 31 3. (2011· 许昌月考)已知 f(α)= , f(- π)的值为 则 ( ) 3 cos?-π-α?tan α 1 1 1 1 A. B.- C.- D. 2 3 2 3 4.设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 a、b、α、β 都是非零实数,若 f(2 002)=- 1 , 则 f(2 003) 等 于 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 5.(2010· 全国Ⅰ)记 cos(-80° )=k,那么 tan 100° 等于 ( ) 2 2 1-k 1-k A. B.- k k k k C. D.- 2 1-k 1-k2 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 1 6.(2010· 全国Ⅱ)已知 α 是第二象限的角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 2 2 2 2 7.sin 1° +sin 2° +sin 3° +?+sin 89° =________. sin α+cos α 8.(2010· 东北育才学校高三第一次模拟考试)若 tan α=2,则 +cos2α= sin α-cos α ________. 三、解答题(共 38 分) sin?π-α?cos?2π-α?tan?-α+π? 9.(12 分)已知 f(α)= . -tan?-α-π?sin?-π-α? (1)化简 f(α); 3π 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos(α- )= ,求 f(α)的值. 2 5

sin?kπ-α?· cos[?k-1?π-α] 10.(12 分)化简: (k∈Z). sin[?k+1?π+α]· cos?kπ+α?

11. 分)(2011· (14 秦皇岛模拟)已知 sin θ, θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0(a∈R)的两 cos 个根. π π (1)求 cos3( -θ)+sin3( -θ)的值; 2 2

(2)求 tan(π-θ)-

1 的值. tan θ

答案

自主梳理

sin α (2) =tan α 2.(1)sin α cos α tan α (2)-sin α -cos α cos α tan α (3)-sin α cos α -tan α (4)sin α -cos α -tan α (5)cos α sin α (6)cos α -sin α 自我检测 1 1.C [cos 300° =cos(360° -60° )=cos 60° .] = 2 2 2 2.A [∵3sin α+cos α=0,sin α+cos α=1, 1 ∴sin2α= , 10 1 1 ∴ 2 = cos α+sin 2α cos2α+2sin α· ?-3sin α? 1 10 = = .] 1-7sin2α 3 3.B 17 17 π π π π π 4. [cos(- π)-sin(- π)=cos(-4π- )-sin(-4π- )=cos(- )-sin(- )=cos A 4 4 4 4 4 4 4 π +sin = 2.] 4 2 5.- 3 2π 2π 解析 sin(α- )=-sin( -α) 3 3 π π =-sin[( -α)+ ] 6 2 π 2 =-cos( -α)=- . 6 3 课堂活动区 例 1 解题导引 学会利用方程思想解三角函数题,对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式子的值,就可以求出其余二式的值,但要注意对符号 的判断. 1 解 由 sin x+cos x= 得, 5 1 24 1+2sin xcos x= ,则 2sin xcos x=- . 25 25 π ∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 2 即 sin x-cos x<0. 则 sin x-cos x =- sin2x-2sin xcos x+cos2x 24 7 =- 1+ =- . 25 5 2 2 (1)sin x-cos x=(sin x+cos x)(sin x-cos x) 7 1 7 = ×?-5?=- . 5 ? ? 25 1.(1)sin2α+cos2α=1

?sin x+cos x=5 (2)由? 7 ?sin x-cos x=-5
1



?sin x=-5 得? 4 ?cos x=5
3

3 ,则 tan x=- . 4

3 - 4 tan x 15 即 = = . 6 4 8 2sin x+cos x - + 5 5 3π 变式迁移 1 解 ∵sin(3π+α)=2sin? 2 +α?, ? ? ∴-sin α=-2cos α. ∴sin α=2cos α,即 tan α=2. 方法一 (直接代入法): 2cos α-4cos α 1 (1)原式= =- . 6 5×2cos α+2cos α 2 sin α+2sin αcos α sin2α+sin2α 8 (2)原式= = = . 1 2 5 sin2α+cos2α 2 sin α+ sin α 4 方法二 (同除转化法): tan α-4 2-4 1 (1)原式= = =- . 6 5tan α+2 5×2+2 2 (2)原式=sin α+2sin αcos α sin2α+2sin αcos α tan2α+2tan α 8 = = = . 5 sin2α+cos2α tan2α+1 k 解题导引 三角诱导公式记忆有一定规律:?2π+α?的本质是:奇变偶不变(对 k ? ? 而言,指 k 取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把 α 看成是锐角).诱导公式的应 用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成 2kπ+α,0≤α<2π;(2) 转化为锐角三角函数. π 5 解 (1)∵sin?α+2?=- ,α∈(0,π), ? ? 5 5 2 5 ∴cos α=- ,sin α= . 5 5 π 3π sin?α-2?-cos? 2 +α? -cos α-sin α ? ? ? ? 1 ∴ = =- . 3 sin?π-α?+cos?3π+α? sin α-cos α 5 2 5 (2)∵cos α=- ,sin α= , 5 5 4 3 ∴sin 2α=- ,cos 2α=- , 5 5 3π 2 2 2 cos?2α- 4 ?=- cos 2α+ sin 2α=- . ? ? 2 2 10 变式迁移 2 3 ?-2sin α??-cos α?+cos α 解析 ∵f(α)= 1+sin2α+sin α-cos2α 例2

2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = = , 2 tan α 2sin α+sin α sin α?1+2sin α? 23π 1 ∴f?- 6 ?= ? ? 23π tan?- 6 ? ? ? 1 1 = = = 3. ?-4π+π? tan π tan? 6? 6 例 3 解题导引 先利用诱导公式化简已知条件, 再利用平方关系求得 cos A. 求角时, 一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的范围,最后求角.诱导公式在三角形中常 A B C π 用结论有:A+B=π-C; + + = . 2 2 2 2 = 解 ① ?sin A= 2sin B, 由已知得? ? 3cos A= 2cos B, ②

2 ①2+②2 得 2cos2A=1,即 cos A=± . 2 2 3 (1)当 cos A= 时,cos B= , 2 2 又 A、B 是三角形的内角, π π 7 ∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= π. 4 6 12 2 3 (2)当 cos A=- 时,cos B=- . 2 2 又 A、B 是三角形的内角, 3 5 ∴A= π,B= π,不合题意. 4 6 π π 7 综上知,A= ,B= ,C= π. 4 6 12 1 变式迁移 3 解 (1)∵sin A+cos A= ,① 5 1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin A· A=- . cos 25 12 (2)由(1)sin A· A=- <0,且 0<A<π, cos 25 可知 cos A<0,∴A 为钝角, ∴△ABC 为钝角三角形. 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin A· A= , cos 25 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= ,② 5 4 3 ∴由①,②得 sin A= ,cos A=- , 5 5 sin A 4 ∴tan A= =- . cos A 3 课后练习区 cos A 12 1.D [∵A 为△ABC 中的角, =- , sin A 5 5 ∴sin A=- cos A,A 为钝角,∴cos A<0. 12

12 代入 sin2A+cos2A=1,求得 cos A=- .] 13 5 2.C [已知 tan α=- ,且 α 为第二象限角, 12 1 12 5 有 cos α=- =- ,所以 sin α= .] 13 13 1+tan2α sin αcos α 31 3.C [∵f(α)= =-cos α,∴f(- π) 3 -cos αtan α 31 π π 1 =-cos(- π)=-cos(10π+ )=-cos =- .] 3 3 3 2 4.C [∵f(2 002)=asin(2 002π+α)+bcos(2 002π+β) =asin α+bcos β=-1, ∴f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β) =asin[2 002π+(π+α)]+bcos[2 002π+(π+β)] =asin(π+α)+bcos(π+β)=-(asin α+bcos β)=1.] 5.B [∵cos(-80° )=cos 80° =k, 2 sin 80° 1-cos 80° 1-k2. = = 1-k2 ∴tan 100° =-tan 80° =- .] k 2 5 6.- 5 1 sin α 1 解析 ∵tan α=- ,∴ =- , 2 cos α 2 又∵sin2α+cos2α=1,α 是第二象限的角, 2 5 ∴cos α=- . 5 89 7. 2 解析 sin21° +sin22° +sin23° +?+sin289° 2 2 2 =sin 1° +sin 2° +?+sin 45° +?+sin2(90° )+ -2° 2 sin (90° ) -1° 2 =sin21° +sin22° +?+? ?2+?+cos22° +cos21° ?2? 1 1 89 =(sin21° +cos21° )+(sin22° +cos22° )+?+(sin244° +cos244° =44+ = . )+ 2 2 2 16 8. 5 tan α+1 cos2α 解析 原式= + 2 tan α-1 sin α+cos2α 1 1 16 =3+ 2 =3+ = . 5 5 tan α+1 sin?π-α?cos?2π-α?tan?-α+π? 9.解 (1)f(α)= -tan?-α-π?sin?-π-α? sin αcos α?-tan α? = =-cos α.…………………………………………………………(5 分) tan αsin α 3π 1 (2)∵α 是第三象限角,且 cos(α- )=-sin α= , 2 5 1 ∴sin α=- , ……………………………………………………………………………(8 分) 5 1 2 6 ∴cos α=- 1-sin2α=- 1-?- ?2=- , 5 5

2 6 ∴f(α)=-cos α= .…………………………………………………………………(12 分) 5 10.解 当 k 为偶数 2n (n∈Z)时, sin?2nπ-α?· cos[?2n-1?π-α] 原式= sin[?2n+1?π+α]· cos?2nπ+α? sin?-α?· cos?-π-α? = sin?π+α?· α cos -sin α· cos?π+α? -cos α = = =-1;……………………………………………………(6 cos α -sin α· α cos 分) 当 k 为奇数 2n+1 (n∈Z)时, sin[?2n+1?π-α]· cos?2nπ-α? 原式= sin[?2n+2?π+α]· cos[?2n+1?π+α] sin?π-α?· cos?-α? sin α· α cos = = =-1. sin?2π+α?· cos?π+α? sin α· ?-cos α? ∴当 k∈Z 时,原式=-1.………………………………………………………………(12 分) 11.解 由已知原方程的判别式 Δ≥0, 即(-a)2-4a≥0, ∴a≥4 或 a≤0.………………………………………………………(3 分) ?sin θ+cos θ=a ? 又? ,(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,则 a2-2a-1=0,(6 分) ? ?sin θcos θ=a 从而 a=1- 2或 a=1+ 2(舍去), 因此 sin θ+cos θ=sin θcos θ=1- 2.…………………………………………………(8 分) π π (1)cos3( -θ)+sin3( -θ)=sin3θ+cos3θ 2 2 2 =(sin θ+cos θ)(sin θ-sin θcos θ+cos2θ)=(1- 2)[1-(1- 2)]= 2-2.………(11 分) 1 1 (2)tan(π-θ)- =-tan θ- tan θ tan θ sin θ cos θ 1 1 =-( + )=- =- =1+ 2. cos θ sin θ sin θcos θ 1- 2 ……………………………………………………………………………………………(14 分)


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