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A01-2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷(带解析)

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2014 届江苏省南京市高三 9 月学情调研理科数学试卷
一、填空题 1.已知集合 A ? x x ? 2, x ? R ,集合 B ? x 1 ? x ? 3, x ? R ,则 A 2.命题“ ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是
2

?

?

?

?

B?

.

. . .

3.已知复数 z 满足 iz ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 4.下图是某算法的流程图,其输出值 a 是

5.口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为 1,2,3,4,若从袋中随机 抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为 . 6.若一个圆柱的侧面展开图是边长为 2 的正方形,则此圆柱的体积为 .

?x ? 0 ? 7.已知点 P ? x, y ? 在不等式 ? y ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 2y ? 4 ? 8.曲线 y ? x ? sin x 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程是 .
9.在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 7, a8 ? 15 ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? .

.

10.如图,在 ?ABC 中, D 、 E 分别为边 BC 、 AC 的中点. F 为边 AB 上的点,且 AB ? 3 AF ,若

AD ? xAF ? yAE , x, y ? R ,则 x ? y 的值为

.

11.设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? 1 .若 . f ? a ? ? 3,则实数 a 的值为 12.已知四边形 ABCD 是矩形, AB ? 2 , AD ? 3 , E 是线段 BC 上的动点, F 是 CD 的中点.若 ? AEF 为钝角,则线段 BE 长度的取值范围是 . 2 2 x y 13. 如图, 已知过椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左顶点 A ? ?a,0 ? 作直线 l 交 y 轴于点 P , 交椭圆于点 Q , a b 若 ?AOP 是等腰三角形,且 PQ ? 2QA ,则椭圆的离心率为 .

? log3 x , 0 ? x ? 3 ? 14.已知函数 f ? x ? ? ? 1 2 10 ,若存在实数 a 、 b 、 c 、 d ,满 x ? x ? 8, x ? 3 ?3 3 ? 足 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? ? f ? d ? ,其中 d ? c ? b ? a ? 0 ,则 abcd 的取值范
围是 二、解答题 15.在锐角 ?ABC 中, A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .已知向量 m ? ? , cos A ? , .

?1 ?2

? ?

? 3? n?? sin A , ? ? ,且 m ? n . ? 2 ? ? ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 7 , b ? 8 ,求 ?ABC 的面积. 16.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为平行四边形, PD ? 平面 ABCD , M 为 PC 中点.

试卷第 1 页,总 3 页

(1)求证: AP // 平面 MBD ; (2)若 AD ? PB ,求证: BD ? 平面 PAD . 17.如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为 2400 平方米的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场 中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分) ,道路的宽度均为 2 米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.

18.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右准线为 x ? 3 2 ,离心率为 于不同的两点 A 、 B ,以线段 AB 为直径作圆 M . (1)求椭圆 C 的标准方程;

6 .若直线 y ? t ? t ? 0? 与椭圆 C 交 3

(2)若圆 M 与 x 轴相切,求圆 M 被直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 截得的线段长. 19.已知无穷数列 ?an ? 中, a1 、 a2 、 、 am 构成首项为 2,公差为-2 的等差数列, am?1 、 am?2 、 、

1 1 ? ,公比为 的等比数列,其中 m ? 3 , m ? N . 2 2 ? (1)当 1 ? n ? 2m , m ? N ,时,求数列 ?an ? 的通项公式;

a2 m ,构成首项为

(2)若对任意的 n ? N ,都有 an?2m ? an 成立.

?

1 时,求 m 的值; 64 ②记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .判断是否存在 m ,使得 S4 m?3 ? 2 成立?若存在,求出 m 的值;若不存
①当 a27 ? 在,请说明理由. 20.已知函数 f ? x ? ? ax2 ? ln x ( a 为常数) .

1 时,求 f ? x ? 的单调递减区间; 2 (2)若 a ? 0 ,且对任意的 x ??1, e? , f ? x ? ? ? a ? 2? x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
(1)当 a ?

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21.如图,OA 、OB 是圆 O 的半径,且 OA ? OB ,C 是半径 OA 上一点:延长 BC 交圆 O 于点 D ,过 D 作圆 O 的切线交 OA 的延长线于点 E .求证: ?OBC ? ?ADE ? 45 .

22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? 2 y ? 1 ? 0 在矩阵 M ? ?

m : x ? y ? 2 ? 0 ,求实数 a 、 b 的值.
23.在极坐标系中,求圆 ? ? 4sin ? 上的点到直线 ? cos ? ? ? 24.解不等式 x ? 2 ? x ?1 ? 1 .

? a ?2? ? 对应的变换作用下得到直线 ?3 b ?

? ?

??

? ? 3 2 的距离的最大值. 4?

E 、 F 分别为 BC 、 C1D1 的中点. 25.在底面边长为 2,高为 1 的正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

CF 所成的角; (1)求异面直线 A 1E 、
(2)求平面 A 1EF 与平面 ADD 1A 1 所成锐二面角的余弦值. 26.将编号为 1,2,3,4 的四个小球,分别放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子,每个盒子中有且仅有一 个小球.若小球的编号与盒子的编号相同,得 1 分,否则得 0 分.记 ? 为四个小球得分总和. (1)求 ? ? 2 时的概率; (2)求 ? 的概率分布及数学期望.

试卷第 3 页,总 3 页

2014 届江苏省南京市高三 9 月学情调研理科数学试卷参考答案 1. x 1 ? x ? 2, x ? R 或 ?1, 2 ? 【解析】

?

?

A ? ? x x ? 2, x ? R? , B ? ? x 1 ? x ? 3, x ? R? ,? A

B ? ? x 1 ? x ? 2, x ? R? .

考点:集合的交集运算 2. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 【解析】由全称命题的否定知,命题“ ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ”. 考点:命题的否定 3. 2 . 【解析】

iz ? 1 ? i ,? z ?

1? i ? ?i ? 1 ? 1 ? i , z ? 12 ? ? ?1? 2 ? 2 . i

考点:复数的除法运算、复数的模 4. 31 【解析】 第一次循环,a ? 2 ?1 ? 1 ? 3 ,a ? 3 ? 30 不成立, 执行第二次循环;a ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 ,a ? 7 ? 30 不成立,执行第三次循环;第三次循环, a ? 2 ? 7 ? 1 ? 15 , a ? 15 ? 30 不成立,执行第四次循环;第四 次循环, a ? 2 ?15 ? 1 ? 31 , a ? 31 ? 30 成立,跳出循环体,输出的 a 值为 31 . 考点:算法与程序框图 5.

【解析】利用 x 、 y 表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号,用 ? x, y ? 表示其中一个基本事件,则 事件总体所包含的基本事件有: ?1, 2 ? , ?1,3? , ?1, 4 ? , ? 2,3? , ? 2, 4 ? , ? 3, 4 ? ,共 6 个;事件“取出的 两个球的编号大于 5 ”所包含的基本事件有: ? 2, 4 ? , ? 3, 4 ? ,共 2 个,所以事件“取出的两个球的编号大 于 5 ”发生的概率 P ? 考点:古典概型 6.

1 3

2 1 ? . 6 3

2

?
1

【解析】设圆柱的底面半径为 r ,高为 h ,底面积为 S ,体积为 V ,则有 2? r ? 2 ? r ?

?

,故底面面积

1 2 1 ?1? S ? ? r 2 ? ? ? ? ? ? ,故圆柱的体积 V ? Sh ? ? 2 ? . ? ? ?? ? ?
考点:圆柱的体积 7. 4

2

?x ? 0 ? 【解析】如下图所示,不等式组 ? y ? 0 所表示的可行域如下图中的阴影部分表示,在直线方程 ?x ? 2y ? 4 ?

x ? 2 y ? 4 ,令 y ? 0 ,解得 x ? 4 ,得点 A 的坐标为 ? 4, 0 ? ,作直线 l : z ? x ? y ,其中 z 可视为直线 l 在

x 轴上的截距,当直线 l 经过区域中的点 A? 4,0? 时,直线 l 在 x 轴上的截距最大,此时 z 取最大值,即
zmax ? 4 ? 0 ? 4 .

答案第 1 页,总 10 页

y 2 x+2y=4

l:z=x+y A(4,0) x 4

O
考点:线性规划 8. y ? 2 x 或 2 x ? y ? 0

【解析】 y ? x ? sin x ,? y? ? 1 ? cos x , 当 x ? 0 时,y? ? 1 ? cos 0 ? 2 , 故曲线 y ? x ? sin x 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程是 y ? 0 ? 2 ? x ? 0? ,即 y ? 2 x 或 2 x ? y ? 0 . 考点:利用导数求函数图象的切线方程 9. n
2

【解析】设等差数列 ?an ? 的首项 a1 与公差 d 的方程组,则有 ? ?
Sn ? na1 ? n ? n ? 1? d n ? n ? 1? ? 2 ? n? ? n2 . 2 2

a4 ? a1 ? 3d ? 7

?a8 ? a1 ? 7d ? 15

,解得 ?

?a1 ? 1 ,故 ?d ? 2

考点:等差数列的前 n 项和 10.

5 2
D 为 BC 的中点,? BD ? 1 BC ? 1 ? AC ? AB ? ? 1 AC ? 1 AB ,

2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ? ? AD ? AB ? BD ? AB ? ? AC ? AB ? ? AB ? AC ? ? 3 AF ? 1 ? 2 AE ? 3 AF ? AE ? x AF ? y AE , 2 2 2 2 2 ?2 ? 2

【解析】

?x ?

3 3 5 , y ? 1 ,? x ? y ? ? 1 ? .考点:平面向量的基底表示 2 2 2 11. ?1 【解析】当 a ? 0 时, f ? a ? ? 2a ? 1 ? 3 ,解得 a ? 1 ;当 a ? 0 时, ? a ? 0 ,由于函数 f ? x ? 是偶函数,
考点:函数的奇偶性 12. ?1, 2 ? 【解析】法一:如下图所示,设 BE ? x ,则 0 ? x ? 3 ,由勾股定理易得

? f ? a ? ? f ? ?a ? ? 2?a ?1 ? 3 ,解得 a ? ?1 ,综上所述, a ? ?1 .

1 1 AE ? AB2 ? BE 2 ? 22 ? x2 ? x2 ? 4 , CE ? 3 ? x , CF ? CD ? ? 2 ? 1 , 2 2

EF ? CE 2 ? CF 2 ?

?3 ? x ?

2

? 12 ? x 2 ? 6 x ? 10 , AF ? AD2 ? DF 2 ? 32 ?12 ? 10 ,由于

?

? AEF 为钝角,则 cos ?AEF ? 0 ,则有 AE 2 ? EF 2 ? AF 2 ? 0 ,即 x 2 ? 4 ? x 2 ? 6 x ? 10 ? 10 ? 2 x 2 ? 6 x ? 4 ? 0 ,即 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 ;

? ?

?

A

D F

B

E

C
答案第 2 页,总 10 页

法二:如下图所示,设 BC ? x ,则 0 ? x ? 3 ,以点 B 为坐标原点, BC 、 BA 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系 xBy ,则 A? 0,2? , E ? x,0? , F ? 3,1? , EA ? ? 0, 2 ? ? ? x,0 ? ? ? ? x, 2 ? ,

EF ? ?3,1? ? ? x,0? ? ?3 ? x,1? ,? ?AEF 是钝角,则 EA ? EF ? 0 ,即 ? ?x ? ? ?3 ? x ? ? 2 ?1 ? 0 ,整理得 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 ,且 A 、 E 、 F 三点不共线,故有 ?3 ? x ? ? 2 ? ? ?x ? ?1 ,解得 x ? 6 .
y A D F x

B

E

C

考点:余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积 13.

【解析】由于 ?AOP 为等腰三角形,且 ?AOP ? 90 ,故有 AO ? OP ? a ,则点 P 的坐标为 ? 0, a ? ,设 点 Q 的坐标为 ? x, y ? , PQ ? ? x, y ? ? ? 0, a ? ? ? x, y ? a ? ,QA ? ? ?a,0 ? ? ? x, y ? ? ? ?a ? x, ? y ? , PQ ?
? ? x ? 2 ? ? ?a ? x ? x?? a ? 2a a ? ? 3 ,即点 Q 的坐标为 ? ? ,解得 ? , ? ,将点 Q 的坐标代入椭圆的 ? ? 3 3? ? y ? a ? ?2 y a 2 ?y ? ? 3 ?
2 2

2 5 5

2QA ,则有 ?

c 2 5 c2 4 ? 2 ? 1 ?a? 1 2 2 2 2 2 a ? 5 a ? c 方程得 ? ? a ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 1 ,解得 a ? 5b ,即 ,? 2 ? ,? e ? ? . ? ? a 5 a 5 ? 3 ? a ?3? b
考点:共线向量、椭圆的离心率 14. ? 21,24?
y x=5

【解析】如下图所示,

1 O a 1 b 3c 4 6 d x

由图形易知 0 ? a ? 1 , 1 ? b ? 3 ,则 f ? a ? ? log3 a ? ? log3 a , f ?b ? ? log3 b ? log3 b ,

1 2 1 0 2 ? ab ? 1 , x ?8 ? 0, 0 x? 2 4 0? , 令 x ? 即 x ?1 解得 x ? 4 ?? log3 a ? log3 b , f ? a ? ? f ?b? , 3 3 1 2 10 x ? 8 的图象的对称轴为直线 x ? 5 ,由图象知, 3 ? c ? 5 , d ? 5 , 或 x ? 6 ,而二次函数 y ? x ? 3 3 1 2 10 c?d x ? 8 的图象上,故有 ? 5 ,? d ? 10 ? c , 点 ? c, f ? c ?? 和点 ? d , f ? d ? ? 均在二次函数 y ? x ? 3 3 2 1 2 10 由于 f ? 3? ? ? 3 ? ? 3 ? 8 ? 1 ,当 1 ? x ? 3 时, f ? x ? ? log3 x ? log3 x ,?0 ? log3 x ? 1 , 3 3 1 ? b ? 3 ,?0 ? f ? b ? ? 1, f ?b? ? f ? c ? ,?0 ? f ? c ? ? 1,由于函数 f ? x ? 在 ? 3,5? 上单调递减,
答案第 3 页,总 10 页

且 f ? 3? ? 1 , f ? 4? ? 0 ,? 3 ? c ? 4 ,?abcd ? 1? cd ? cd ? c ?10 ? c ? ? ?c2 ? 10c ? ? ? c ? 5 ? ? 25 ,
2

3 ? c ? 4 ,? 21 ? ? ? c ? 5 ? ? 25 ? 24 ,即 21 ? abcd ? 24 .
2

考点:函数的图象、对数函数、二次函数的单调性 15. (1) A ? 60 ; (2) S?ABC ? 10 3 . 【解析】 (1)先根据平面向量垂直的等价条件得到等式

1 3 sin A ? cos A ? 0 ,再利用弦化切的思想求出 2 2

tan A 的值,最终在求出角 A 的值; (2)解法一:在角 A 的大小确定的前提下,利用正弦定理与同角三角 函数之间的关系求出 sin B 和 cos B ,并利用 sin C ? sin ? A ? B ? 结合和角公式求出 sin C 的值,最后利用

1 ab sin C 求出 ?ABC 的面积;解法二:利用余弦定理求出 c 的值,并对 c 的值进行检 2 1 验,然后面积公式 S ?ABC ? bc sin A 求出 ?ABC 的面积. 2 1 3 cos A ? 0 , (1)因为 m ? n ,所以 m ? n ? 0 ,则 sin A ? 4分 2 2 因为 0 ? A ? 90 ,所以 cos A ? 0 ,则 tan A ? 3 ,所以 A ? 60 7分 a b ? (2)解法一:由正弦定理得 ,又 a ? 7 , b ? 8 , A ? 60 , sin A sin B 1 8 4 3 则 sin B ? sin 60 ? ,因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 cos B ? , 9分 7 7 7 3 1 1 4 3 5 3 ? ? ? ? 因为 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? , 12 分 2 7 2 7 14 1 所以 S ?ABC ? ab sin C ? 10 3 14 分 2 解法二:因为 a ? 7 , b ? 8 , A ? 60 , 1 2 2 所以由余弦定理可知, 49 ? 64 ? c ? 2 ? 8c ? ,即 c ? 8c ? 15 ? 0 ,解得 c ? 3 或 c ? 5 , 2 2 2 2 c ? 3 当 时, c ? a ? b ? 9 ? 49 ? 64 ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,不合乎题意; 2 2 2 当 c ? 5 时, c ? a ? b ? 25 ? 49 ? 64 ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,合乎题意; 1 所以 S ?ABC ? bc sin A ? 10 3 14 分 2
面积公式 S?ABC ? 考点:正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式 16. (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 (1)根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接 AC ,找到 AC 与 BD 的交点 O 为 AC 的 中点,利用三角形的中位线平行于底边证明 AP //OM ,最后利用直线与平面平行的判定定理证明 AP // 平 面 MBD ; (2)先证明 AD ? 平面 PBD ,得到 AD ? BD ,再由已知条件证明 BD ? PD ,最终利用直线 与平面垂直的判定定理证明 BD ? 平面 PAD . 试题解析: (1)连接 AC 交 BD 于点 O ,连接 OM , 因为底面 ABCD 是平行四边形,所以点 O 为 AC 的中点, 又 M 为 PC 的中点,所以 OM //PA , 4分 因为 OM ? 平面 MBD , AP ? 平面 MBD ,所以 AP // 平面 MBD 6分

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P M D O A B
(2)因为 PA ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD , 8分 AD ? PB PD ? PBD PB ? PBD AD ? 平面 PBD , PD PB ? P 因为 , , 平面 , 平面 ,所以 因为 BD ? 平面 PBD ,所以 AD ? BD , 10 分 因为 PD ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BD , 12 分 又因为 BD ? AD , AD PD ? D , AD ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD , 所以 BD ? 平面 PAD 14 分 考点:直线与平面平行、直线与平面垂直 17.当休闲广场的长为 60 米,宽为 40 米时,绿化区域总面积最大值,最大面积为 1944 平方米. 【解析】先将休闲广场的长度设为 x 米,并将宽度也用 x 进行表示,并将绿化区域的面积 S 表示成 x 的函 数表达式,利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值,但是要注意基本不等式适用的三个条件. 试题解析:设休闲广场的长为 x 米,则宽为

C

2400 米,绿化区域的总面积为 S 平方米, x
6分

? 2400 ? S ? ? x ? 6? ? ? 4? ? x ?
2400 ? ? ? 2424 ? ? 4 x ? 6 ? ? x ? ?

3600 ? , ? ? 2424 ? 4 ? x ? ? x ? ? 6,600? x ? ?
因为 x ? ? 6,600? ,所以 x ? 3600 ? 2 x ? 3600 ? 120 , x x

8分

3600 ,即 x ? 60 时取等号 12 分 x 此时 S 取得最大值,最大值为 1944 . 答:当休闲广场的长为 60 米,宽为 40 米时,绿化区域总面积最大值,最大面积为 1944 平方米.
当且仅当 x ? 14 分 考点:矩形的面积、基本不等式 18. (1)

x2 y 2 ( 2) 2 2 . ? ? 1; 12 4

【解析】 (1)先根据题中的条件确定 a 、 c 的值,然后利用 b ? a2 ? c2 求出 b 的值,从而确定椭圆 C 的 方程; (2)先确定点 M 的坐标,求出圆 M 的方程,然后利用点(圆心)到直线的距离求出弦心距,最后 利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.

c 6 a2 x2 y 2 ? ? ? 1 a ? b ? 0 ,由题意知 , ? 3 2 ,解得 a ? 2 3 , ? ? a 2 b2 c a 3 2 2 x y 则 c ? 2 2 , b ? a2 ? c2 ? 2 ,故椭圆 C 的标准方程为 5分 ? ?1 12 4 (2)由题意可知,点 M 为线段 AB 的中点,且位于 y 轴正半轴,
试题解析: (1) 设椭圆的方程为 又圆 M 与 x 轴相切,故点 M 的坐标为 ? 0, t ? , 不妨设点 B 位于第一象限,因为 MA ? MB ? t ,所以 B ? t , t ? , 代入椭圆的方程,可得 7分 10 分

t t ? ? 1,因为 t ? 0 ,解得 t ? 3 , 12 4
答案第 5 页,总 10 页

2

2

所以圆 M 的圆心为 0, 3 ,半径为 3 ,其方程为 x2 ? y ? 3 因为圆心 M 到直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离 d ?

?

?

?

?

2

?3

12 分 14 分 16 分

0 ? 3 ? 3 ?1 2

?1

故圆 M 被直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 截得的线段长为 2 考点:椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理

? 3?

2

? 12 ? 2 2

1? n ? m ? ?2n ? 4, ? n?m 19. (1)数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?? 1 ? ; , m ? 1 ? n ? 2 m ?? ? ?? 2 ? (2)① m 的值为 7 或 21 ;②详见解析. 【解析】 (1)根据数列的定义求出当 1 ? n ? 2m 时数列 ?an ? 的通项公式,注意根据 n 的取值利用分段数列
1 是等差数列部分还是等比数列部分中的项,然后根据相应 64 的通项公式以及数列的周期性求出 m 的值;②在(1)的基础上,先将数列 ?an ? 的前 2 m 项和求出,然后
的形式表示数列 ?an ? 的通项; (2)①先确定

1 ,利用定义法求出 f ? m? 的最大值,从而确 2m ? 定 S 2 m 和 S4 m?3 的最大值,进而可以确定是否存在 m ? N ,使得 S4 m?3 ? 2 . 试题解析: (1)当 1 ? n ? m 时,由题意得 an ? ?2n ? 4 , 2分
利用周期性即可求出 S4 m?3 ,构造 f ? m ? ? ? m ? 3m ? 1 ?
2

?1? 当 m ? 1 ? n ? 2m 时,由题意得 an ? ? ? , ?2? 1? n ? m ? ?2n ? 4, ? 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?? 1 ? n ? m ?? ? , m ? 1 ? n ? 2m ?? 2 ? 1 1 (2)①因为 ?2n ? 1 ? 无解,所以 必不在等差数列内, 64 64
6

n?m

4分

5分

1 1 ?1? 因为 ? ? ? ,所以 必在等比数列内,且等比数列部分至少有 6 项, 64 64 ? 2 ?
则数列的一个周期至少有 12 项, 所以第 27 项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内, 7分

?1? 若 1 ? 27 ? 2m 时,则 a27 ? ? ? ?2?

27 ? m

?

1 ,得 m ? 21 , 64
27 ?3m

若 2m ? 1 ? 27 ? 4m ,则 a27 ? a27?2 m 故 m 的值为 7 或 21

?1? ?? ? ?2?

?

1 ,得 m ? 7 , 64
9分

1 2 ②因为 S 2 m ? ? m ? 3m ? 1 ? m , a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? 0 , 2 1 ? ? 2 所以 S4 m?3 ? 2S2 m ? a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? ?m ? 3m ? 1 ? m ? , 2 ? ? 1 1 2 记 f ? m ? ? ? m ? 3m ? 1 ? m ,则 f ? m ? 1? ? f ? m ? ? 2 ?1 ? m ? ? m ?1 , 2 2 因为 m ? 3 ,所以 f ? m ? 1? ? f ? m? ? 0 ,即 f ? m ? 1? ? f ? m? ,
答案第 6 页,总 10 页

12 分

14 分

故 m ? 3 时, S 2 m 取最大,最大值为 从而 S4 m?3 的最大值为

7 , 8

7 ,不可能有 S4 m?3 ? 2 成立,故不存在满足条件的实数 m 16 分 4 考点:等差数列和等比数列的通项公式及前 n 项和、数列的周期性、数列的单调性 ? 1 ? 2e ? 20. (1)函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? 0,1? ; (2)实数 a 的取值范围是 ? 2 ,0?. ?e ? e ? 1 【解析】 (1)将 a ? 代入函数解析式并求出相应的导数,利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的 2 单调递减区间; (2)构造新函数 F ? x ? ? f ? x ? ? ? a ? 2? x ,将问题转化为“对任意 x ??1, e? 时, F ? x ? ? 0
恒成立” ,进而转化为 F ? x ?min ? 0 ,围绕 F ? x ?min ? 0 这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数 a 的取 值范围. 试题解析: (1) f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? , f ? ? x ? ? 2ax ? 当a ?

1 2ax 2 ? 1 , ? x x

1 x2 ? 1 时, f ? ? x ? ? , 2分 2 x 由 f ? ? x ? ? 0 及 x ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ,所以函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? 0,1?
(2)设 F ? x ? ? f ? x ? ? ?a ? 2? x ? ax 2 ? ln x ? ?a ? 2 ? x , 因为对任意的 x ??1, e? , f ? x ? ? ? a ? 2? x 恒成立,所以 F ? x ? ? 0 恒成立,

4分

2ax 2 ? ? a ? 2 ? x ? 1 ? ax ? 1?? 2 x ? 1? 1 ? , F ? x ? ? 2ax ? ? ? a ? 2 ? ? ? x x x 1 1 因为 a ? 0 ,令 F ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? ? , x2 ? ? 1 , 7分 a 2 1 ①当 0 ? ? ? 1 ,即 a ? ?1 时,因为 x ? ?1, e ? 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递减,因为对 a 任意的 x ??1, e? , F ? x ? ? 0 恒成立,
所以 x ??1, e? 时, F ? x ?min ? F ? e? ? 0 ,即 ae2 ?1 ? ? a ? 2? e ? 0 , 解得 a ?

1 ? 2e 1 ? 2e ? ?1 。所以此时 a 不存在; ,因为 2 10 分 2 e ?e e ?e 1 1 1? ? ? 1 ? ②当 1 ? ? ? e ,即 ?1 ? a ? ? 时,因为 x ? ?1, ? ? 时, F ? ? x ? ? 0 , x ? ? ? , e ? 时, F ? ? x ? ? 0 , a e a? ? ? a ? 1? ? ? 1 ? 所以 F ? x ? 在 ?1, ? ? 上单调递增,在 ? ? , e ? 上单调递减, a? ? ? a ?
因为对任意的 x ??1, e? , F ? x ? ? 0 恒成立,所以 F ?1? ? 2 ? 0 ,且 F ? e ? ? 0 ,

1 ? 2e , e2 ? e 1 ? 2e 1 1 ? 2e 1 ? ? ,所以此时 2 ?a?? ; 因为 ?1 ? 2 e ?e e e ?e e 1 1 ③当 ? ? e ,即 ? ? a ? 0 时,因为 x ? ?1, e ? 时, F ? ? x ? ? 0 , a e 所以 F ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增,由于 F ?1? ? 2 ? 0 ,符合题意;
即 ae2 ?1 ? ? a ? 2? e ? 0 ,解得 a ? 综上所述,实数 a 的取值范围是 ?

13 分

15 分 16 分

? 1 ? 2e ? ,0? 2 ?e ? e ?
答案第 7 页,总 10 页

考点:函数的单调区间与导数、不等式恒成立、分类讨论 21.B a ? 1 , b ? 2 .

【解析】确定变换前的坐标 ? x, y ? 个变换后的坐标 ? x?, y? ? 之间的关系,然后用坐标 ? x?, y? ? 来表示坐标

? x, y ? ,并将上一步的结果代入直线 l 便可以得到一条直线方程,根据两者的系数关系求出 a 、 b 的值. 试题解析:设坐标 ? x, y ? 在矩阵 M 的变换后的坐标为 ? x?, y? ? ,
bx? ? 2 y? ? x ? ? ? x? ? ? a ?2? ? x ? ? x? ? ax ? 2 y ? ab ? 6 则有 ? ? ? ? ,于是有 ? ,解得 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? 3 x ? ay ? y ? ?3 b ? ? y? ? y ? 3x ? by ?y ? ? ab ? 6 ? bx? ? 2 y? 2 ? ?3x? ? ay? ? 将上述结果代入直线 l 的方程得 ? ?1 ? 0 , ab ? 6 ab ? 6 化简得 ?b ? 6? x? ? ? 2a ? 2? y? ? ? ab ? 6? ? 0 , (*)
4分

6分 8分 9分

? a ? 1 ?a ? ?1 b ? 6 2a ? 2 ab ? 6 ? ? ,解得 ? 或? , 1 ?1 ?2 ?b ? 2 ?b ? 6 当 a ? ?1 , b ? 6 时,代入(*)式得 0 ? x ? 0 ? y ? 0 ? 0 ,不合乎题意,舍去! 综上所述 a ? 1 , b ? 2 . 10 分
于是有 考点:矩阵变换

C. 3 2 ? 2 【解析】将极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离 d 并判断直线与圆的位置关系,在直线 与圆相离的前提下,利用结论:圆上一点到直线的距离的最大值为 d ? r (其中 r 为圆的半径长)求解该 问题. 试题解析:在圆的极坐标方程两边同时乘以 ? 得 ? 2 ? 4? sin ? ,
2 化为直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 y ,即 x ? ? y ? 2 ? ? 4 , 2

3分 4分 6分 8分

故圆的圆心坐标为 ? 0, 2 ? ,半径为 2 , 将直线的极坐标方程 ? cos ? ? ?

? ? 3 2 化为直角坐标方程为 x ? y ? 6 ? 0 , 4? 0?2?4 所以圆的圆心到直线的距离为 d ? ? 3 2 ? 2 ,故直线与圆相离, 2 2 1 ? ? ?1?
于是圆 ? ? 4sin ? 上的点到直线 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ?

??

? ? 3 2 的距离的最大值为 3 2 ? 2 4?

10 分

考点:极坐标与直角坐标的转化、点到直线的距离 22. (1)

? 3 ; (2) . 6 3

CF 所成的角; 【解析】 (1)先建系,并写出各点的坐标,利用向量法求出异面直线 A (2)先求出平 1E 、
面A 1EF 与平面 ADD 1A 1 的法向量,然后利用法向量来计算平面 A 1EF 与平面 ADD 1A 1 所成的锐二面角的 余弦值. D 为坐标原点, DA 、 DC 、 DD1 所在的直线 试题解析:由于 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正四棱柱,不妨以点 分别为 x 轴、y 轴、 则A z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 D ? xyz , 1 0 , 1 ?2

C ? 0,2,0? , E ?1,2,0? , ?,

F ? 0,1,1? ,则 A1E ? ?1, 2,0? ? ? 2,0,1? ? ? ?1, 2, ?1? , CF ? ? 0,1,1? ? ? 0, 2,0? ? ? 0, ?1,1? ,1 分

答案第 8 页,总 10 页

z A1 D A x

D1

F B1

C1

C B E

y

? A1E ? CF ? ? ?1? ? 0 ? 2 ? ? ?1? ? ? ?1? ?1 ? ?3 , A1E ?
CF ? 02 ? ? ?1? ? 12 ? 2 ? 2 ,
2

? ?1?

2

? 22 ? ? ?1? ? 6 ,
2

3分

CF 所成的角为 ? , 设异面直线 A 1E 、
则 cos ? ? cos A1 E , CF

?

A1 E ? CF A1 E ? CF

?

?3 3 ? ? ,?? ? , 2 6 6? 2

? ; 4分 6 (2)如上图所示,则 A 1EF 的一个法向量为 m ? ? x, y, z ? , 1 ? 2,0,1? , E ?1,2,0? , F ? 0,1,1? ,设平面 A
CF 所成的角为 即异面直线 A 1E 、

A1E ? ? ?1, 2, ?1? , A1F ? ? 0,1,1? ? ? 2,0,1? ? ? ?1,1,0 ? ,
m ? A1F ,?m ? A1F ? 0 ,即 ? x ? y ? 0 ,解得 x ? y , m ? A1E ,?m ? A1E ? 0 ,即 ? x ? 2 y ? z ? 0 ,将 x ? y 代入得 z ? y ,
令 y ? 1 ,可得平面 A 1EF 的一个法向量为 m ? ?1,1,1? , 同理可知平面 ADD1 A 1 的一个法向量为 n ? ? 0,1,0 ? , 6分 7分

? m ? n ? 1? 0 ? 1?1 ? 1? 0 ? 1 ,? m ? 12 ? 12 ? 12 ? 3 , n ? 02 ? 12 ? 02 ? 1 , 8 分
设平面 A 1EF 与平面 ADD 1A 1 所成锐二面角的平面角为 ? , 则 cos ? ? cos m, n ?

m?n m?n

?

1 3 ? , 3 3 ?1

即平面 A 1EF 与平面 ADD 1A 1 所成锐二面角的余弦值为 考点:异面直线所成的角、二面角、空间向量法

3 . 3

10 分

1 ; (2)详见解析. 4 【解析】 (1)先确定 ? ? 2 时对应的事件,然后利用排列组合的相关知识求解; (2)将随机变量 ? 的可能
23. (1) 取值确定下来,然后将对应的概率计算出来,列出分布列求出 ? 的数学期望与方差. 试题解析: (1)? ? 2 时,则编号为 1,2,3,4 的四个小球中有且仅有两个小球的编号与盒子的编号相同,
2 1 C4 1 故 P ?? ? 2 ? ? 4 ? ,即 ? ? 2 时的概率为 ; 4 A4 4 (2) ? 的可能取值有 0 、 1 、 2 、 4 ,

3分 4分

则 P ?? ? 1? ?

C ?2 1 C 1 ? , P ?? ? 2 ? ? ? , 4 A4 3 A 4 1 1 1 1 1 3 ? , P ?? ? 4 ? ? 4 ? , P ?? ? 0 ? ? 1 ? ? ? 3 4 24 8 A4 24
1 4 2 4 4 4

答案第 9 页,总 10 页

故 ? 的分布列如下表所示

?
P

0 3 8

1 1 3

2 1 4
8分

4 1 24

3 1 1 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ?1, 9分 8 3 4 24 3 1 1 1 2 2 2 2 D? ? ? 0 ? 1? ? ? ?1 ? 1? ? ? ? 2 ? 1? ? ? ? 4 ? 1? ? ?1. 8 3 4 24
考点:排列组合、随机变量的分布列、数学期望与方差

10 分

答案第 10 页,总 10 页