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江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三数学第二次模拟突破冲刺试题 文(三)


南昌市十所省重点中学 2016 年二模突破冲刺交流试卷(03) 高三数学(文)
(考试时间:120 分钟试卷满分:150 分) 第 I 卷选择题(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设 A = {x ? Z| x ? 2},B= {y | y=x + 1,x ? A} ,则 B 的元

素个数是( )
2

A.5 2.复数 z 满足 A.

B.4

C.3 ) C. 1 ? i

D.无数个

1? i 2

z ? i ,则 z ? ( z ?i 1? i B. 2

D. 1 ? i

3.根据如下的样本数据:

得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则( A. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0
0.1 0.1

) C. a ? 0, b ? 0 ) C. a ? c ? b
2 2

D. a ? 0, b ? 0 D. b ? c ? a )

4. 设 a ? 4 , b ? log4 0.1, c ? 0.4 ,则 ( A. a ? b ? c B. b ? a ? c

x y ? ? 1 的离心率为( m 2 2 2 2 6 A. B. 3 C. 或 D. 或 3 2 2 2 2 7 ? ? , ? ? ? ?? , 0 ? ,则 sin ? cos ? ( 6.已知 cos ? ? ? ) 25 2 2 1 1 1 1 A. B. C. ? D. ? 5 5 5 25
5. 已知三个数 2,m, 8 构成一个等比数列,则圆锥曲线 7.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相 减损术”.执行该程序框图,若输入 a , b , i 的值分别为 6 , 8 , 0 ,则输 出 a 和 i 的值分别为( ) A. 2 , 3 B. 0 , 3 C. 0 , 4 D. 2 , 4

8.已知函数 示,则 的递增区间为( )



,

,

)的部分图象如图所

1

A. B. C. D. 9. 设 x , y 满足约束条件 ? A. 2 , ,

, ,

?3x ? 2 y ? 7 ,且 z ? ax ? y 的最大值为 4,则 a ? ( 4 x ? y ? a ? 2 B. C.-2 D.-4 3

)

10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面中,面积最小值为(

)

5 2 3 2 B. 2 2 C. 2 1 D. 2
A. 11.如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,不经过焦点的直线上有三个不
2

C, 同的点 A ,B , 其中点 A ,B 在抛物线上, 点 C 在 y 轴上, 则 ?BCF
与 ?ACF 的面积之比是( )

A.

BF ? 1 AF ? 1 BF ? 1 AF ? 1
x

B.

BF ? 1 AF ? 1 BF ? 1 AF ? 1
2 2 2

2

C.

D.

12.设函数 f ?x ? ? e ? 2 x ? a(a ? R) , e 为自然对数的底数,若曲线 y ? sin x 上存在点 ?x0 , y0 ? ,使得

f ? f ? y0 ?? ? y0 ,则 a 的取值范围是( )

A. ? 1 ? e ,1 ? e

?

?1

?

B. ?1,1 ? e?

C. ?e, e ? 1?

D. ?1, e ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.设 a ? ? x,3? , b ? ? 2, ?1? ,若 a ? b ,则 2 a ? b =

?

?

?

?

?

?



14. 若 函 数 f ? x ? 是 周 期 为 4 的 奇 函 数 , 且 在 [0,2] 上 的 解 析 式 为 f ?x ? ? ?

? x(1 ? x),0 ? x ? 1 ,则 ?sin ?x, 1 ? x ? 2

? 41 ? . f ( f ? ?) ? ? 6? 2 2 15 . 已 知 圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 和 两 点 A? ? m , 0? , B? m, 0 ? ? 0, 若 圆 上 存 在 点 P , 使 得 ?? m ?APB ? 90? ,则 m 的取值范围是 .
2

2 16. ?ABC 的三边 a、b、c 和面积 S 满足: S ? a ? ? b ? c ? ,且 ?ABC 的外接圆的周长为 17? ,则面积 2

S 的最大值等于 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 2 已知 Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an = 4Sn ? 3 .
(Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和. an an ?1

18、 (本小题满分 12 分) 某校高三文科 600 名学生参加了 12 月的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数学、外语情况, 利用随机数表法从中抽取 100 名学生的成绩进行统计分析,将学生编号为 000,001,002,?599 (Ⅰ)若从第 6 行第 7 列的数开始右读,请你依次写出最先抽出的 5 人的编号(下面是摘自随机数 表的第 4 行至第 7 行) ;

(Ⅱ)抽出的 100 名学生的数学、外语成绩如下表:

若数学成绩优秀率为 35%,求 m, n 的值; (Ⅲ)在外语成绩为良的学生中,已知 m ? 12, n ? 10 ,求数学成绩优比良的人数少的概率。 19. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,E 是 AC 中点. (Ⅰ)求证:平面 BEC1 ? ACC1 A1 ; (Ⅱ)若 AA1 ? 2 , AB ? 2 ,求点 A 到平面 BEC1 的距离.

20. (本小题满分 12 分)
1) ,离心率为 已 知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点 B 的坐标为 (0 , N 两点. 线 l 与椭圆 C 交于 M , C (Ⅰ)求椭圆 的标准方程;

2 .直 2

(Ⅱ)若椭圆 C 的右焦点 F 恰好为 △BMN 的垂心,求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x ,在 x ? 1 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ? x ? 的两个极值点,若 b ?

1 2 x ? bx . 2

7 ,求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值. 2

四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号。
3

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 C 点在⊙ O 直径的延长线上,CA 切⊙ O 于 A 点,DC 是 ?ACB 的平分线,交 AE 于 F 点, 交 AB 于 D 点. (Ⅰ)求 ?ADF 的度数; (Ⅱ)若 AB ? AC ,求 AC : BC .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.

1 ? ?x ? 1 ? 2 t, ? x ? cos? , ? 已知直线 l : ? ( t 为参数) ,曲线 C1 : ? ( ? 为参数) . ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ? (Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A, B 两点,求 AB ;
(Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 C2 , 2 2

设点 P 是曲线 C2 上 的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 24. (本小题满 分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? a . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

4

参考答案 一、选择题 1—12 CBBCD 二、填空题 13. 5 2 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 4S1 ? 3 ? 4a1 ? 3,因为 an ? 0 ,所以 a1 ? 3 , 当 n ? 2 时, an ? 2an ? an?1 ? 2an?1 ? 4S n ? 3 ? 4S n?1 ? 3 , 差为 2 的等差数列,所以 an ? 2n ? 1 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 , bn ?
2 2
2

CDCAD AA

14.

1 4

15.

? 4,6?

16. 64

即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) 因为 an ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2 所以数列 ?an ? 是首项为 3,公

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? , 所 以 数 列 ?bn ? 的 前 项 和 为 (2n ? 1)?2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? 1 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ?? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ?? 6 4n ? 6

ABC , BE ? 平面 ABC ∴ BE ? AA1 . 19.证明: (Ⅰ)∵ ABC ? A 1 ? 平面 1B 1C1 是正三棱柱,∴ AA

ABC , AC ? 平面 ∵ ?ABC 是正三角形, E 是 AC 中点,∴ BE ? AC , AA 1 ? AC ? A , AA 1 ? 平面 ABC BE ? 平面 BEC1 ∴平面 BEC1 ? 平面 ACC1 A1 ∴ BE ? 平面 ACC1 A 1 .∴
( Ⅱ ) 正 三 棱 柱 A B C ? A1B1C1 中 ,

AA1 ? 2 , AB ? 2 , 因 为 E 为 AC 中 点 ,

? BE ? 2sin 60? ? 3

1 1 ?1 1 6 ? ?VC1 ? ABE ? S?ABE ? CC1 ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 3 ?2 2 6 ?









?CEC1




5

CE ? 1, CC1 ? 2, C1E ? 3 ? BE ? 平面 ACC1 A1 , EC1 ? 平面 ACC1 A1 , ? BE ? EC1 .
? S ?BEC1 ? 1 1 3 BE ? EC1 ? ? 3 ? 3 ? .设点 A 到面 BEC1 的距离为 h . 2 2 2 1 3 6 6 ,? h ? ? VA?BEC1 ,? ? h ? 3 2 6 3

?VC1 ? ABE

(另解:用等体积法求解可视情况酌情给分) 20. x2 y 2 c2 a 2 ? b 2 1 解: ( Ⅰ )设 椭 圆 C 的 方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 则 由题 意 知 b ? 1 . 所 以 2 ? ? ,解得 a b a a2 2 2 2 x a ? 2. 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 . 2 (Ⅱ)易知直线 BF 的斜率为 ?1 ,从而直线 l 的斜率为 1 . ? x2 2 ? ? y ? 1, 0) , 由 ? 2 设直线的方程为 y ? x ? m ,M ( x1 , 得 3x2 ? 4mx ? 2(m2 ? 1) ? 0 . y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,F (1 , ?y ? x ? m, ? ???? ???? ? 2m2 ? 2 4 根据韦达定理, x1 ? x2 ? ? m , x1 x2 ? .于是 NF ? BM ? (1 ? x2 ) x1 ? y2 ( y1 ? 1) ? x1 ? y2 ? x1 x2 ? y1 y2 3 3 ? ?2x1 x2 ? (1 ? m)( x1 ? x2 ) ? m ? m2 ? x1 ? x2 ? m ? x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m)

2m2 ? 2 4m ? (1 ? m)(? ) ? m ? m2 3 3 4 ? 0 解之得 m ? 1 或 m ? ? . 3 当 m ? 1 时,点 B 即为直线 l 与椭圆的交点,不合题意; 4 当 m ? ? 时,经检验知 l 和椭圆相交,符合题意. 3 4 所以,当且仅当直线 l 的方程为 y ? x ? 时,点 F 是 ?BMN 的垂心. 3 ? ?2 ?

a . x ∵与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y? x?1 ? 1 ? a ? 2 ,? a ? 1 .
21. 解: (Ⅰ)? f ?x ? ? x ? a ln x ∴ f ?( x ) ? 1 ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? x ? (b ? 1) ? ,所以令 g ?( x) ? 0 . x x ∴ x1 ? x2 ? b ? 1 , x1 x2 ? 1 . 1 2 1 2 ∵ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ln x1 ? x1 ? (b ? 1) x1 ] ? [ln x2 ? x2 ? (b ? 1) x2 ] 2 2 x1 1 2 x 1 x x 2 ? ln ? ( x1 ? x2 ) ? (b ? 1)(x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) , x2 2 x2 2 x2 x1 1 1 x ∵ 0 ? x1 ? x2 ,所以设 t ? 1 (0 ? t ? 1) , h(t ) ? ln t ? (t ? )( 0 ? t ? 1) , 2 t x2
(Ⅱ)∵ g ?( x) ?

1 1 1 (t ? 1) 2 ? ? 0 ,所以 h ?t ? 在(0,1)单调递减, ∴ h (t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? t 2 t 2t 2 25 7 2 又 b ? ,∴ (b ? 1) ? , 4 2 x ?x 1 25 2 即 ( x12 ? x2 . ) ? ( 1 2 )2 ? t ? ? 2 ? x1 x2 t 4
6

∵0<t<1,∴ 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? t ? 故所求的最小值是

1 1 15 ? 2 ln 2 , , h(t ) ? h( ) ? 4 4 8

15 ? 2 ln 2 . 8 22 . 【解析】 ( 1 ) 因 为 AC 为 ⊙ O 的 切 线 , 所 以 ?B ? ?EAC 因 为 DC 是 ?ACB 的 平 分 线 , 所 以 ?ACD ? ?DCB 所以 ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD ,即 ?ADF ? ?AFD , 1 所以 ?DAE ? 90? 所以 ?ADF ? (180? ? ?DAE) ? 45? . 2 (2)因为 ?B ? ?EAC ,所以 ?ACB ? ?ACB ,所以 ?ACE ∽ ?BCA , AC AE 所以 ,在 ?ABC 中,又因为 AB ? AC ,所以 ?B ? ?? ACB ? 30? , ? BC AB
Rt?ABE 中,

23. 【解析】 (Ⅰ) 直线 l 的普通方程为 y ? 3?x ?1? , C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . 联立方程组 ?

AC AE 3 ? ? tan B ? tan 30? ? BC AB 3

? y ? 3 ?x ? 1?,
2 2

? x ? y ? 1, 1 ? x ? cos? , ? ?1 ? 3 ? 2 sin ? ? (Ⅱ)为 ? ( ? 为参数) ,故点 P 的坐标是 ? cos? , ? ?, 2 ?2 ? ? y ? 3 sin ? , ? 2 ?

,解得 l 与 C1 的交点为 A?1,0 ?, B? ,?

?1 ?2 ?

3? ? ,则 AB ? 1 . 2 ? ?

从而点 P 到直线 l 的距离是 d ? 由此当 sin ?? ?

3 3 cos? ? sin ? ? 3 2 2 2

?

3? ?? ? ? 2 sin ?? ? ? ? 2? , ? 4 ? 4? ? ?

6 2 ?1 . ? ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 4 4? 24. (1)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a ,∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a , 即 a ? 3 ? x ? 3 ,∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 ; (2)由(1)知 f ( x) ? 2x ?1 ?1 ,令 ? (n) ? f (n) ? f (?n) ,则

? ?

??

?

?

1 ? ? 2 ? 4 n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? (n) ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ? 4,? ? n ? ,∴ ? (n) 的最小值为 4 ,故实数 m 的取值范围是 [4,??) . 2 2 ? 1 ? 2 ? 4 n, n ? ? 2 ?

7


江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺数学(文)试题(三)

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