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山西省康杰中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题

时间:2016-07-26


康杰中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试

高二数学(理)试题
2015.11 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的斜率是

A.

? 6

B.

?

π 6

C.

3 3

D. ?

3 3

2. 在空间直角坐标系中,点 A(?4, ? 1, ? 9) 与点 B(?10, 1, ? 6) 的距离是 A. 5 B. 6 C. 7 3. 设 m, n 是两条直线, ? , ? 是两个平面,给出四个命题 ① m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / /? ? ? // ? ③ m // ? , m // n ? n // ? 其中真命题的个数为 A. 0 B. 1 4. 某几何体的三视图如图所示,它的体积为 D. 8

② m ? ? , n? ? ? m/ / n ④? ? ?, m ? ? ? m ? ? C. 2 D. 3

A. 57?

B. 58π

C. 59π

D. 60π

5. 直线 l : 2 x ? y ? 5 ? 0 上的点与原点的距离的最小值是 A. 2 B.

5

C.

10

D. 2 5

6. 点 P ( 4, 3) 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 的对称点 Q 的坐标是 A. ( 2, 4) B. (3, 4) C. ( 2, 5) D. (3, 5)

7. 点 P 是正方形 ABCD 所在平面外的一点,PD ⊥平面 ABCD ,PD ? AD , 则 PA 与 BD 所成角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90°

8. 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 , A1 A ? 平面 ABC , 并且 AB ? BC ? CA ? AA 1 , 那么直线

AB1 与侧面 ACC1 A 所成角的正弦值等于
A.

6 3

B.

6 4

C.

6 5

D.

6 6

9. 已 知 三 棱 锥 D ? ABC 的 四 个 顶 点 都 在 球 O 的 表 面 上 , 若 AB ? 3 , AC ? 4 , AB ? AC , DB ? 平面 ABC , DB ? 12 ,则球 O 的半径为 A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

10. 在平面直角坐标系中 ,已知 A(?3, ? 4), B(2, ? 1) ,如果直线 l : y ? kx ? k ? 2 与线段 AB 总是相交,那么实数 k 的取值范围是 A. [?1, 3] C. [?1, 0] ? [3, ? ?) B. [?1, 0) ? (0, 3] D. (??, ? 1] ? [3, ? ?)

11. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l : y ? kx ? k ? 2 与 x 轴正半轴以及 y 轴正半轴的交点 分别是 A, B ,那么 ?AOB 面积的最小值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

12. 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? 平面 ABC ,且 AA 1 ? 2 AB , AC ? BC , E 为 BC 中点, 则点 D 在线段 AB 上运动时, 可能出现 A. B1 E // 平面 A1 DC C. AB1 ? 平面 A1 DC B. BC1 // 平面 A1 DC D. B1C ? 平面 A1 DC

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 若直线 l1 : ax ? 2 y ? 0 与直线 l 2 : x ? ?a ? 1? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ?

.

14. 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 4 , AA1 ? 2 ,则点 A1 到平面 AB1D1 的距离 等于 .

15. 已知 ?ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(3, 3), B ( ?1, 0), C ( , 0) ,则 ?ABC 的内角 A 的 平分线所在的直线方程是 .

3 4

16. 在边长为 2 的正方形 ABCD 中 , E , F 分别是 AB, BC 的中点 , 沿 DE, DF 以及 EF 把

?ADE, ?CDF 和 ?BEF 都向上折起 ,使 A, B, C 三点重合,设重合后的点为 P ,那么对于四
面体 P ? DEF 中的下列命题:

①点 P 在平面 D E F 上的射影是 ?D E F 的垂心; ②四面体 P ? D E F 的外接球的表面积是 6? . ③在线段 DE 上存在一点 G , 使得直线 FG 与直 的角是 60 ; 其中正确命题的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写 文字说明、证明过程及演算过程) 17.(本小题满分 10 分, (I)小问 5 分, (II)小问 5 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, E、 F 分别为 PC、BD 的中点, 平面 PAD⊥ 平面 ABCD,且 PA=PD= 2 AD. 2
o

线 EP 所成

出必要的 分. )

(I)求证:EF∥平面 PAD; (II)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.

18.(本小题满分 12 分, (I)小问 6 分, (II)小问 6 分. ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 ?ABC 的 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 是

A(1, 2), B(n ? 1, 3), C (?1, 3 ? n) .
(I)如果 ?A 是直角,求实数 n 的值; (II)求过坐标原点,且与 ?ABC 的高 AD 垂直的直线 l 的方程.

19.(本小题满分 12 分.) 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是菱形, ?DAB ? 60 , PD ? 平面 E , F , , 点 分别为 和 中点 . 求 PC 与平面 PAB所成角的正弦 AB PD A B C D PD ? AD ? 1 值.
o

20.(本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 已知一几何体如图所示,正方形 A B C D 和梯形 BEFC 所在平面 互 相 垂 直 , BE // CF , AB ? 3 , EF ? 2 , CF ? 4 ,

?BCF ? ?CEF ? 90? . (Ⅰ)求证: AE // 平面 DCF ;
(Ⅱ)求该几何体的体积.

21.(本小题满分 12 分, (I)小问 6 分, (II)小问 6 分. ) 如图,四棱锥 P ? A B C D 的底面是矩形,侧面 PAD是 正三角形, 且侧面 P A D ,E 为侧棱 PD 的中 ? 底面 A B C D 点. (I)求证: AE ? 平面 PCD ; (II)若 AD ? AB ,试求二面角 A ? PC ? D 的余弦 值.

22.(本小题满分 12 分, (I)小问 6 分, (II)小问 6 分.) 在平面直角坐标系 xOy 中, ?O B C的边 BC 所在的直线方程是 l : x ? y ? 3 ? 0 , (I)如果一束光线从原点 O 射出,经直线 l 反射后,经过点 (3, 3) ,求反射后光线所在 直线的方程; (II)如果在 ?OBC 中, ?BOC 为直角,求 ?OBC 面积的最小值.

命题人:冯伟杰 审题人:徐晓玲

2015-2016 第一学期期中高二数学试题答案
1-6 DCBABC 7-12 CBCDAB 14.

13. ?

2 3

2 6 3

15. y ? x

16. ①②③

17. 证明: (I) 连接 AC,则 F 是 AC 的中点,又? E 为 PC 的中点, ∴在△ CPA 中,EF∥PA, 又? EF ? 平面 PAD, PA ? 平面 PAD ∴EF∥平面 PAD.

5分

(II)∵ 平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, CD ? 平面 ABCD,CD⊥AD, ∴ CD⊥平面 PAD, 又? PA ? 平面 PAD, ∴CD⊥PA. 2 ? PA=PD= 2 AD, π ∴△PAD 是等腰直角三角形,且∠APD= ,即 PA⊥PD. 2 又∵CD∩PD=D, ∴PA⊥平面 PCD. 又∵PA ? 平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 PCD. 10 分

18. 解: (I)因为 ?A 是直角,所以 k AB ? k AC ? ?1 ,即 解得, n ?

3? n ? 2 3? 2 ? ? ?1 , ?1?1 n ? 2
6分

5 3

(II)因为直线 l 与 ?ABC 的高 AD 垂直,所以直线 l 与直线 BC 平行,所以直线 l 的斜率

kl ? k BC ?

3 ? (3 ? n) ? 1. n ? 1 ? (?1)
12 分

又因为直线 l 过原点,所以直线 l 的方程为 y ? x .

z P

F

D

C

y

A x

E

B

19. 解: 连接 DE .? ?DAB ? 60 ,ABCD 是菱形, ∴ DE ? DC .以点 D 为坐标原点, 直 线 DE, DC, DP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系.则
?

P(0, 0, 1) , C (0, 1, 0) , A(
∴ AP ? (?

3 1 3 1 , ? , 0) , B ( , , 0) . 2 2 2 2

3分 5分

??? ? 3 1 , ,1) , AB ? ? 0,1,0? , PC ? (0, 1, ?1) . 2 2 设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) .则
??? ?
? 3 1 ? ?n ? AP ? 0 ?? x ? y ? z ? 0 ,取 x ? 1 ,得 n ? (1, 0, 3 ) . ,即 ? ? 2 2 2 ? ? ?n ? AB ? 0 y ? 0 ?
设直线 PC 与平面 PAB所成角为 ? (0 ? ? ?

9分

?

2

),

∴ sin θ ? | cos ? PC, n ?| ?

| PC ? n | | PC | ? | n |

? ?

3 2

7 ? 2 4

?

42 . 14

∴PC 平面 PAB 所成角的正弦值为

42 . 14

12 分

注:用等体积法,酌情给分. 20.(Ⅰ)证明:? ABCD 为正方形,∴ AB // CD ,∴ AB // 平面 DCF . ? BE // CF ,∴ BE // 平面 DCF . 又? AB ? BE ? B , ∴平面 ABE // 平面 DCF . 又? AE ? 平面 ABE , ∴ AE // 平面 DCF . (Ⅱ)解:连接 AC , AF . ? 平面 ABCD ? 平面 BEFC , FC ? BC , AB ? BC , ∴ AB ? 面BCFE , CF ? 面ABCD .

6分

? EF ? 2 , CF ? 4 , ?CEF ? 90? ,∴ CE ? 2 3 . ? AB ? 3 与正方形 ABCD ,∴ BC ? 3 ,∴ BE ? 3 .

∴该几何体的体积为 V ? VA? BEFC ? VF ? ACD

1 1 1 1 11 ? ? 3 ? [ ? 3 ? (3 ? 4)] ? ? 4 ? ( ? 3 ? 3) ? . 12 分 3 2 3 2 2 21. (I) 证明: ? CD ? AD , 侧面 PAD ? 底面 ABCD , 侧面 PAD ? 底面 ABCD ? AD , ∴ CD ? 侧面 PAD, ∴ CD ? AE 3分 ? 侧面 PAD是正三角形, E 为 PD 的中点, ∴ AE ? PD , 又? CD ? PD ? D ,? AE ? 平面 PCD . 6分 (II)解:设 N 为 AD 中点, Q 为 BC 中点,则因为 ?PAD 是正三角形,底面 ABCD 是 矩形.所以,PN ⊥ AD, QN ⊥ AD , 又因为侧面 PAD ⊥底面 ABCD , 所以 PN ⊥面 ABCD , QN ⊥ 面 PAD ,以 N 为坐标原点, NA、NQ、NP 所在直线分别为 x, y, z ,建立空间直角
坐标系。设 AD ? 2 ,则有 A(1, 0, 0), P(0, 0, 3), C(?1, 2, 0), D(?1, 0, 0) . 7分 8分

AP ? (?1, 0, 3) , PC ? (?1, 2, ? 3) , PD ? (?1, 0, ? 3)
设平面 APC 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ?

? ? AP ? m ? 0 , ? PC ? m ? 0 ?
9分

即?

? ? x1 ? 3 z1 ? 0 ?? x1 ? 2 y1 ? 3 z1 ? 0

,取 z1 ? 1 ,得 m ? ( 3, 3, 1) .

设平面 DPC 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ?

? ? PC ? n ? 0 , ? ? PD ? n ? 0
10 分

即?

?? x 2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 0 ? ? x2 ? 3 z 2 ? 0

,取 z2 ? ?1 ,得 n ? ( 3,0, ? 1) .

所以 cos ? m, n ??

m?n 3 ?1 7 . ? ? | m |?| n| 7 ?2 7
7 . 7
12 分

所以二面角 A ? PC ? D 的余弦值是

y0 ? ? ?1 ? ? x0 22. 解: (I)设点 O 关于直线 l 的对称点为 A( x0 , y0 ) ,由题意应有 ? ,解得 x y 0 0 ? ? ?3 ? 0 ? ?2 2

? x0 ? 3 ,所以点 A(3, ? 3) .因为反射后光线经过点 A(3, ? 3) 和点 (3, 3) ,所以反射后光线 ? ? y0 ? ?3
所在直线的方程为 x ? 3 . 6分

( II )设 OD 为 ?OBC 的一条高,则 | OD |?

? 3 ,设 ?BOD ? ? (0 ? ? ? ) ,可得 2 2

| BC |?| BD | ? | DC |?| OD | ? tan θ ?

1 | OD | ,所以 ?OBC 的面积 S ? | BC | ? | OD | 2 tan θ

1 | OD | 1 | OD | 9 当且仅 ? (| OD | ? tanθ ? )? | OD | ? ? 2 | OD | ? tanθ ? ? | OD |?| OD |2 ? , 2 tanθ 2 tanθ 2
当? ?

?
4

时,等号成立.

所以, ?OBC 面积的最小值是

9 . 2

12 分

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