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高二上数学期末考试模拟试题(文科)


2012-2013 学年度高二上学期期末考试数学试题(文)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 姓名
一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分。在每小题给出的四个备选选项中,只有一个是 符合题目要求的 1.命题“若 p 则 q”的逆命题是( ) A.若 q 则 p B.若 ? p 则 ? q C.若 ? q 则 ? p D.若 p

则 ? q 2.抛物线 x2 ? 2 y 的焦点坐标为( A. (1,0) B. (0,1) ) C. (0 , )

1 2

D. ( , 0) ) D. m ? 0且n ? 0

1 2

3、直线 mx ? ny ? 1 同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 ( A. m ? 0且n ? 0 B.m·n<0 ) C. m ? 0且n ? 0

4、双曲线 y 2 ? 3x2 ? 1 的渐近线方程是( A. y ? ?3x B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ? 3x

D. y ? ?

3 x 3
C. 3 ) D.2

5、设 A,B 为直线 y ? x 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 的两个交点,则 | AB |? (

)A.1

B. 2

6、设 a∈R ,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 B。必要不充分条件 C.充分必要条件

D。既不充分也不必要条件

7、给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;② 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 ( ( )A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

2 2 8 、 若 直 线 mx ? 2 ny? 4 ? 0( m, n? R) 终平 分 圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 的周 长 , 则 m? 取 值 范围 是 始 n



)A. (0,1)

B. ? 0,1?

C. ? ??,1?

D. ? ??,1?

9、 设函数 f ( x ) 在 R 上可导, 其导函数 f ?( x ) , 且函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极小值, 则函数 y ? xf ?( x) 的 图象可能是( )
y
B

O

F A

x

1

10、过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点, O 为坐标原点.若 AF ? 3 ,则△AOB 的

面积为(

) (A)

2 2

(B) 2

(C)

3 2 2

(D) 2 2

二 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案分别填写在答题卡相应位置上

E 11.已知正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AA1 ? 2 AB, 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的 1
余弦值为 12、直线 3x ? y ? 3 ? 0 关于 x ? y ? 2 ? 0 对称的直线方程为_____________. 13、直线 x ? a 2 y ? 1 ? 0 与直线 (a2 ? 1) x ? by ? 3 ? 0 互相垂直,则 ab 的最小值为 14、过点 P(3,7)做圆 x 2 ? y 2 ? 25 的两条切线,切点分别为 A、B,则直线 AB 的方程为 15、 P 为直线 y ? 设 .

b x2 y 2 x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的交点,F1 是左焦点,PF1 垂直于 x 轴, 3a a b

则双曲线的离心率 e ? 三 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (本小题满分 13 分) (1) 已知直线 l1: 2 x ? ( m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 l2: mx ? 3 y ? 2 ? 0 . ①若 l1⊥l2,求 m 的值;②若 l1∥l2,求 m 的值.

(2)已知直线 l 经过点 P(5,10) ,且原点到它的距离为 5,求直线 l 的方程.

2

17、 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 (1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最大值.

18、 (本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

19、 (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 4 分(Ⅱ)小问 8 分) 设直线 l 与圆 C : x 2 ? y 2 ? r 2 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,已知 A( 3,1). (1)当原点 O 到直线 l 的距离为 3 时,求直线 l 的方程; (2)当 OA⊥OB 时,求直线 l 的方程.

3

20、 (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) 如图,α ⊥β ,α ∩β =l , A∈α , B∈β ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1, 点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求:(Ⅰ) 直线 AB 分别与平面α ,β 所成角的大小; (Ⅱ)二面角 A1-AB-B1 的平面角的正 弦值大小.
A α B1

A1 l β B

21、 (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分。 ) 如图,已知离心率为

x2 y 2 3 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 M(2,1) ,O 为坐标原点,平行于 a b 2

OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A、B。 (1)求椭圆 C 的方程。 (2)证明:直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形。

4

已知椭圆 C 以 F (?1, ,F2 (1, 为焦点,且离心率 e ? 0) 0) 1 (1)求椭圆 C 的方程;

2 2

(2)过点 M (0, 2) 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 P 、Q ,求 k 的范围; (3)设椭圆 C 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A、B ,是否存在直线 l1 ,满足(2)中的条件且使得向 量 OP ? OQ 与 AB 垂直?如果存在,写出 l1 的方程;如果不存在,请说明理由. 22.解:(1)设椭圆 C 的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为 a 、b、c 由题设知: c ? 1 由e ?
[

??? ??? ? ?

??? ?

c 1 1 ? ? ,得 a ? 2 ,????????? 2 分 a a 2 x2 ? y2 ? 1 2
???4 分

则b ?1

∴椭圆 C 的方程为

(2)过 M (0, 2) 点斜率为 k 的直线 l1 : y ? 2 ? kx 即 l1 : y ? kx ? 2 与椭圆 C 方程联立消 y 得 (2k 2 ?1) x2 ? 4 2x ? 2 ? 0? ? “” 由 l1 与椭圆 C 有两个不同交点知其 ???6 分

5分

? ? 32k 2 ? 8(2k 2 ? 1) ? 0 得 k ? ?

2 2 或k ? 2 2

???7 分

∴ k 的范围是 (??, ?

2 2 ) ? ( , ?) . ? 2 2

???8 分

“ 的二根 (3)设 P( x1 ,y1 )、Q( x2 ,y2 ) ,则 x1 、x2 是 ?”
则 x1 ? x2 ? ?

4 2k 2 2 ,则 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ? 2 2k ? 1 2k 2 ? 1 4 2k 2 2 , ) 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
???10 分

则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ? (?

??? ??? ? ?

由题设知 A( 2 , 、B(0, ,∴ AB ? (? 2 , 0) 1) 1) 若 (OP ? OQ) ? AB ,须 (OP ? OQ) ? AB ?

??? ?

???11 分

??? ???? ?

??? ?

??? ???? ??? ? ?

8k 2 2 ? 2 ?0 2 2k ? 1 2 k ? 1
??????13 分

???12 分

得k ? ?

2 2 2 ? (??, ? ) ? ( , ?) ? 4 2 2

5

∴不存在满足题设条件的 l1

??????14 分

18. (本小题满分 10 分)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛物线上有一点 P(4,m)到焦 点的距离为 6. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若抛物线 C 与直线 y ? kx ? 2 相交于不同的两点 A、B,且 AB 中点横坐标为 2,求 k 的值. 18.解: (Ⅰ)由题意设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ,其准线方程为 x ? ? ∵P(4,m)到焦点的距离等于 A 到其准线的距离,? 4 ? ∴抛物线 C 的方程为 y 2 ? 8x (Ⅱ)由 ?

p , (2 分) 2

p ?6 2

?p?4
(2 分)

? y 2 ? 8x 消去 y ,得 y ? kx ? 2 ?

k 2 x2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0

(2 分)

∵直线 y ? kx ? 2 与抛物线相交于不同两点 A、B,则有

k ? 0, ? ? 64(k ? 1) ? 0 ,解得 k ? ?1且k ? 0 ,


(2 分)

x1 ? x2 2k ? 4 ? ? 2 ,解得 2 k2

k ? 2, 或k ? ?1 (舍去)
(2 分)

∴所求 k 的值为 2 (本小题满分 12 分)

6

如题 21 图,已知离心率为

x2 y 2 3 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 M(2,1) 为坐标原点,平行于 ,O a b 2

OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A、B。 (1)求椭圆 C 的方程。 (2)证明:直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形。

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

?c 3 2 , a ? b2 ? c2 ? ? ?a 2 ? 8 ?a ? 2 由题意得: ? ?? 2 ?b ? 2 ? 4 ? 1 ?1 ? 2 2 ?a b ?
x2 y2 ∴ 椭圆方程为 ? ? 1 .……………5 分 8 2
(Ⅱ)由直线 l // OM ,可设 l : y ?

1 x?m 2

将式子代入椭圆 C 得: x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4 ……………7 分 设直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,则 k1 ?

y1 ? 1 x1 ? 2

k2 ?

y2 ? 1 ……………8 分 x2 ? 2

1 1 x1 ? m ? 1 x2 ? m ? 1 2 2 ? 下面只需证明: k1 ? k 2 ? 0 ,事实上, k1 ? k 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2

? 1 ? m(

x1 ? x2 ? 4 1 1 ? ) ? 1? m ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

1? m ?

? 2m ? 4 ?0 2m ? 4 ? 2(?2m) ? 4
2

故直线 MA 、 MB 与 x 轴围成一个等腰三角形.……………12 分

7

x2 y 2 1 x y 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且原点 O 到直线 ? ? 1 2 a b a b
的距离为 d ?

2 21 . 7

(Ⅰ)求椭圆的方程 ; (Ⅱ)过点 M ( 3,0) 作直线与椭圆 C 交于 P, Q 两点,求 ?OPQ 面积的最大值.

20.解:⑴∵ e ?

c 1 ? ∴ a2 ? 4c2 ? 4(a2 ? b2 ) ,即 4b2 ? 3a 2 a 2 x y 又∵直线方程为 ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab a b
∴d ?

(1)

(2 分)

ab a 2 ? b2

?

2 21 ,即 7a2b2 ? 12(a 2 ? b2 ) 7
∴椭圆方程为

(2)

(2 分)

联立(1) (2) 解得 a 2 ? 4 , b2 ? 3 ⑵由题意,设直线 PQ : x ? my ? 3 , 代人椭圆 C: 3x2 ? 4 y 2 ? 12

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2 分)

化简,得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6 3my ? 3 ? 0

? ? (6 3m)2 ? 12(3m2 ? 4) ? 48(3m2 ?1) ? 0 ,则 ?OPQ 的面积为

S?

1 3 ? 6 3m2 ? 1 OP y1 ? y2 ? ? 2 ? 2 2 3m ? 4 3m2 ? 4
6 3m2 ? 1 6 3m2 ? 1 ? ? 3 (3m2 ? 1) ? 3 2 3(3m2 ? 1)

(3 分)

?S ?

2 2 所以,当 3m ? 1 ? 3, m ?

2 时, ?OPQ 面积的最大值为 3 . (3 分) 3

8

2012-2013 学年度高二上学期期末考试数学试题
一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分。在每小题给出的四个备选选项中,只有一个是 符合题目要求的( ) 1.抛物线 x2 ? 2 y 的焦点坐标为( A. (1,0) B. (0,1) D ) ) C. (0 , )

1 2

D. ( , 0)

1 2

2.有关命题的说法错误的是( ..

2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 , 则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”

B. x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 “ C.对于命题 p : ?x0 ? R , 02 ? x0 ? 1 ? 0 . 则 ? p : ?x ? R , x ? x ? 1≥ 0 x
2

D.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 3、直线 mx ? ny ? 1 同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是
A. m ? 0且n ? 0
2 2



) D. m ? 0且n ? 0

B.m·n<0

C. m ? 0且n ? 0

4、双曲线 y ? 3x ? 1 的渐近线方程是( A. y ? ?3x B. y ? ?



1 x 3
2 2

C. y ? ? 3x )

D. y ? ?

3 x 3

5、对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系一定是( A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心

D.相交且直线过圆心

【解析】选 C 直线 y ? kx ? 1 过圆内内一定点 (0,1) 6、设 a∈R ,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行”的( A )
9

A.充分不必要条件

B。必要不充分条件 C.充分必要条件

D。既不充分也不必要条件

【解析】因为 a ? 1时, 直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2 :x+2y+4=0 平行,而当直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2 : x+(a+1)y+4=0 平行时, 只要满足

a 1 ? 即可, 此时,a ? ?2 或 1, 所以可知 “a=1” “直线 l1: 是 ax+2y-1=0 2 a ?1

与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必要条件。 7、给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A. ①和② 【解析】选 D. B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

? ? 始 ) 8 、 若 直 线 m x? 2 n y 4 ? 0 ( m, n R 终 平 分 圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 的 周 长 , 则 m? 取 值 范 围 是 n
( )A. (0,1) B.

? 0,1?

C.

? ??,1?

D.

? ??,1?

9、过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点, O 为坐标原点.若 AF ? 3 ,则△AOB 的面 y 积为( C ) (A)

2 2

(B) 2

(C)

3 2 2
2

(D) 2 2

B

【解析】如图,设 A? x0 , y0 ? , y0 ? 0 ,由抛物线方程 y ? 4 x ,可得抛物线 焦点 F ?1, 0? ,抛物线准线方程为 x ? ?1 ,故 AF ? x0 ? ? ?1? ? 3 .可得

O

F
A

x

, x0 ? 2 , y0 ? ?2 2 , 故 A 2 ? 2

?

? 2, 直 线

AB 的 斜 率 为

k?

?2 2 0 ? ? ?2 2 ,直线 AB 的方程为 y ? ?2 2 x ? 2 2 , 2 ?1
? y ? ?2 2x ? 2 2 , ? ? y ? 4 x, ?
2

联立直线与抛物线方程 ?

可得 2 x ? 5x ? 2 ? 0 ,因为
2

A, B 两 点 横 坐 标 之 积 为 1 , 所 以 B 点 的 横 坐 标 为
AB ? AF ? BF ? 3 ?

1 1 3 , 可 得 AF ? ? ? ?1? ? , 2 2 2

3 9 2 2 1 9 2 2 3 2 ? ,O 点到直线 AB 的距离为 d ? , 所以 S?AOB ? ? ? . ? 2 2 3 2 2 3 2
2

x y2 10、如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a,b>0)的在左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C a b
的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M。若|MF2|=|F1F2| ,则 C 的离
10

心率是( B )A.

2 3 3

B

6 2

C. 2

D.

3

b b b 【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ .直线 PQ 为:y= (x+c),两条渐近线为:y c c c
b b ? ? ? y= c ( x+c) ? y= c ( x+c) b ac bc ? ac bc ? ? = x.由 ? ,得:Q( , );由 ? ,得:P( , ).∴直线 MN 为:y a c?a c?a c?a c?a ? y= b x ? y=- b x ? ? a a ? ?



bc b ? ac =﹣ (x- ), c?a c?a c
2

c3 c3 c2 3 6 .又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM= 2 ,解之得: e2 ? a ? ,即 e= . 2 2 2 c ?a c ?a a 2 二 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案分别填写在答题卡相应位置上

令 y=0 得:xM=

E 11.已知正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AA ? 2 AB, 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的 1 1
余弦值为 解:令 AB ? 1 则 AA ? 2 ,连 A B ? C1D ∥ A B ? 异面直线 BE 与 CD1 所成的角即 A B 1 1 1 1 与 BE 所成的角。在 ?A1BE 中由余弦定理易得 cos ?A1 BE ?

3 10 。 10

12、直线 3x ? y ? 3 ? 0 关于 x ? y ? 2 ? 0 对称的直线方程为_________________. 13、直线 x ? a 2 y ? 1 ? 0 与直线 (a2 ? 1) x ? by ? 3 ? 0 互相垂直,则 ab 的最小值为 2 14、 过点 P(3,7)做圆 x 2 ? y 2 ? 25 的两条切线, 切点分别为 A、 则直线 AB 的方程为 B, ①若 m∥β,n∥β,m、n ? α,则α∥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n ? γ,则 m⊥n; ③若 m⊥α,α⊥β,m∥n,则 n∥β; ④若 n∥α,n∥β,α∩β=m,那么 m∥n; 其中所有正确命题的序号是 .答案: (②④ ) 三 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . x ? 7 y ? 25 3

15、已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列命题:

11

16、 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分.) 已知直线 l1: 2 x ? ( m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 l2: mx ? 3 y ? 2 ? 0 . ① ② 若 l1⊥l2,求 m 的值; 若 l1∥l2,求 m 的值. ∴ m??

解:(1) ∵ l1 ? l2 ∴ 2m ? 3( m ? 1) ? 0 (2) ∵
l1 // l2 ∴

3 5
代 入 l1 , l2 验 证 知 都 符 合 题 意 ∴

2 ? 3 ? ( m ? 1) ? m ? 0 ∴

m ? ?3 或 m ? 2

m ? ?3 或 m ? 2

17、 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 已知直线 l 经过点 P(5,10) ,且原点到它的距离为 5,求直线 l 的方程. 解:(1) 当直线 l 的斜率不存在时,直线与 x 轴垂直根据题意,得所求直线 l 的方程为 x = 5 (2) 当直线 l 的斜率存在时,可设 l 的方程为 y = kx + b
3 ? ?10 ? 5k ? b ?k ? 4 ? ? ∴ ? |b| ,解得 ? 5 ? 2 ?b ? 25 ? k ?1 ? ? 4

∴ 所求直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 25 ? 0 综上,直线 l 的方程为 x = 5 或 3x ? 4 y ? 25 ? 0 18、 (本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 【解析】 (Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b
3 2

由于 f ( x ) 在点 x ? 2 处取得极值

故有 ?

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12
f ( x) ? x3 ?12x ? c , f ?( x) ? 3x2 ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (??, ?2) 上为增函数;
12

当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (2, ??) 上为增函数。 由此可知 f ( x ) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x ) 在 x2 ? 2 处取得极小值 f (2) ? c ? 16 由题设条件知 16 ? c ? 28 得 c ? 12 此时 f (?3) ? 9 ? c ? 21, f (3) ? ?9 ? c ? 3 , f (2) ? c ? 16 ? ?4 因此

f ( x) 上 [?3,3] 的最小值为 f (2) ? ?4

13

18、

x2 2 (1)依题意可设椭圆方程为 2 ? y ? 1 ,则右焦点 F( a 2 ? 1,0 )由题设 a

a2 ?1 ? 2 2 2

?3

解得 a ? 3
2

故所求椭圆的方程为

x2 x2 ? y2 ? 1 ? y2 ? 1 . 3 3

? y ? kx ? m ? (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx? 3(m 2 ? 1) ? 0 2 ? ? y ?1 ?3
由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0, 即 m ? 3k ? 1
2 2



? xp ?

xM ? x N 3m k ?? 2 2 3k ? 1

从而 y p ? kx p ? m ?

m 3k 2 ? 1

? k Ap ?

yp ?1 xp

m ? 3k 2 ? 1 ?? 3mk

又 AM ? AN ,? AP ? MN ,则

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ?? 3m k k
把②代入①得 2m ? m m 的取范围是(
2

即 2m ? 3k ? 1
2



解得 0 ? m ? 2

由②得

k2 ?

2m ? 1 1 ? 0 解得 m ? 3 2

.故所求

1 ,2 ) 2

19、(Ⅰ)如图, 连接 A1B,AB1, ∵α ⊥β , α ∩β =l ,AA1⊥l, BB1⊥l, ∴AA1⊥β , BB1⊥α . 则∠BAB1,∠ABA1 分别是 AB 与 α 和 β 所成的角.

A

α B1

Rt△BB1A

中 ,

BB1=

2



AB=2 ,

∴sin∠BAB1

=

BB1 AB

=
l

A1

2 AA1 1 B β . ∴∠BAB1=45°. △AA1B 中, AA1=1, =2, sin∠ABA1= Rt AB = , ∴∠ABA1= 2 AB 2 30°.故 AB 与平面 α ,β 所成的角分别是 45°,30°. (Ⅱ) ∵BB1⊥α , ∴平面 ABB1⊥α .在平面 α 内过 A1 作 A1E⊥AB1 交 AB1 于 E,则 A1E⊥平面 AB1B.过 E 作 EF⊥AB 交 AB 于 F,连接 A1F,则由三垂线定理得 A1F⊥AB, ∴∠A1FE 就是所求二面角的平面角. 在 Rt△ABB1 中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B= 2. ∴Rt△AA1B 中, A1B= AB -AA1 = 4-1 =
2 2

3. 由

AA1·A1B=A1F·AB 得 A1F=

AA1·A1B 1× 3 3 = = , AB 2 2 A1E 6 6 = , ∴二面角 A1-AB-B1 的正弦值大小为 . A1F 3 3

∴在 Rt△A1EF 中,sin∠A1FE =

21、 (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分。 )
14

? x2 y 2 已知方向向量为 v ? 1, 3 的直线 l1 经过点(0,-2 3 )和椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个 a b

?

?

焦点,且椭圆的中心 O 关于 l1 的对称点在椭圆 C 的右准线上 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)经过点(0,2)的直线 l2 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,若∠AOB 为锐角,求直线 l2 的斜率 k 的取 值范围。 解: (1)由已知可知直线 l1 的斜率为 3 ,其方程为: y ? 3x ? 2 3 又因为直线 l1 经过椭圆 C 的焦点,所以 c=2,?????????????????2 分
y ? x0 ? 3 ??1 ?0 ? 的对称点为 M ( x , y ) 则有 y0 ? 3 x0 ? 2 ?2 2 ?
0 0

设原点关于直线 l1

3 ,解得: x0 ? 3 ,所以

a2 ? 3 ,所以 c

a 2 ? 6 , b2 ? 2 ∴所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ????????????5 分 6 2

(2)由已知,设直线 l2 的方程为 y ? kx ? 2

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 6 2 ? y ? kx ? 2 ?

得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 6 ? 0 ??????7 分

△= 144k 2 ? 24(1 ? 3k 2 ) >0

解得 k 2 >

1 ?????9 分 3

?12k ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 3k 2 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则有 ? 因为∠AOB 为锐角,∴ x1 x2 ? y1 y2 >0 ? x ?x ? 6 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ∴ (1 ? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 >0
2 即 (1 ? k )

6 ?12k ? 2k ? 4 >0 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

解得 k <

2

5 1 5 2 ∴ <k < 3 3 3

∴?

15 3 3 15 <k <? 或 <k < 3 3 3 3

所以斜率 k 的取值范围是 (?

15 3 3 15 ,? )?( , ) 。?????12 分 3 3 3 3

15

20.设直线 l 与圆 C : x2 ? y 2 ? r 2 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,已知 A( 3,1). (1)当原点 O 到直线 l 的距离为 3 时,求直线 l 的方程; (2)当 OA⊥OB 时,求直线 l 的方程. 解: (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为: x ? 3 当直线 l 与 x 轴不垂直时,可设 l: y ?1 ? k ( x ? 3) 即: kx ? y ? 1 ? 3k ? 0

依题意有: |1 ? 3k | ? 3 ,解得 k ? ? 3 ,所求直线的方程为: x ? 3 y ? 2 3 ? 0 3 k 2 ?1 综上:所求直线的方程为: x ? 3 y ? 2 3 ? 0 或 x ? 3 (2)由已知 A( 3,1) ,有 r ? 2 ,当 OA ? OB 时,原点 O 到直线 l 的距离为 2 ,可求得直线 l 的方程 为 y ?1 ? ( 3 ? 2)( x ? 3) 即 (2 ? 3) x ? y ? 2 3 ? 2 ? 0 或 (2 ? 3) x ? y ? 2 ? 2 3 ? 0

16

已知椭圆 C 以 F (?1, ,F2 (1, 为焦点,且离心率 e ? 0) 0) 1 (1)求椭圆 C 的方程;

2 2

(2)过点 M (0, 2) 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 P 、Q ,求 k 的范围; (3)设椭圆 C 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A、B ,是否存在直线 l1 ,满足(2)中的条件且使得向 量 OP ? OQ 与 AB 垂直?如果存在,写出 l1 的方程;如果不存在,请说明理由. 22.解:(1)设椭圆 C 的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为 a 、b、c 由题设知: c ? 1 由e ?
[

??? ??? ? ?

??? ?

c 1 1 ? ? ,得 a ? 2 ,????????? 2 分 a a 2 x2 ? y2 ? 1 2
???4 分

则b ?1

∴椭圆 C 的方程为

(2)过 M (0, 2) 点斜率为 k 的直线 l1 : y ? 2 ? kx 即 l1 : y ? kx ? 2 与椭圆 C 方程联立消 y 得 (2k 2 ?1) x2 ? 4 2x ? 2 ? 0? ? “” 由 l1 与椭圆 C 有两个不同交点知其 ???6 分

5分

? ? 32k 2 ? 8(2k 2 ? 1) ? 0 得 k ? ?

2 2 或k ? 2 2

???7 分

∴ k 的范围是 (??, ?

2 2 ) ? ( , ?) . ? 2 2

???8 分

“ 的二根 (3)设 P( x1 ,y1 )、Q( x2 ,y2 ) ,则 x1 、x2 是 ?”
则 x1 ? x2 ? ?

4 2k 2 2 ,则 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ? 2 2k ? 1 2k 2 ? 1 4 2k 2 2 , ) 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
???10 分

则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ? (?

??? ??? ? ?

由题设知 A( 2 , 、B(0, ,∴ AB ? (? 2 , 0) 1) 1) 若 (OP ? OQ) ? AB ,须 (OP ? OQ) ? AB ?

??? ?

???11 分

??? ???? ?

??? ?

??? ???? ??? ? ?

8k 2 2 ? 2 ?0 2 2k ? 1 2 k ? 1

???12 分

17

得k ? ?

2 2 2 ? (??, ? ) ? ( , ?) ? 4 2 2

??????13 分

∴不存在满足题设条件的 l1

??????14 分

18. (本小题满分 10 分)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴上,且抛物线上有一点 P(4,m)到焦 点的距离为 6. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若抛物线 C 与直线 y ? kx ? 2 相交于不同的两点 A、B,且 AB 中点横坐标为 2,求 k 的值. 18.解: (Ⅰ)由题意设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ,其准线方程为 x ? ? ∵P(4,m)到焦点的距离等于 A 到其准线的距离,? 4 ? ∴抛物线 C 的方程为 y 2 ? 8x (Ⅱ)由 ?

p , (2 分) 2

p ?6 2

?p?4
(2 分)

? y 2 ? 8x 消去 y ,得 ? y ? kx ? 2

k 2 x2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0

(2 分)

∵直线 y ? kx ? 2 与抛物线相交于不同两点 A、B,则有

k ? 0, ? ? 64(k ? 1) ? 0 ,解得 k ? ?1且k ? 0 ,


(2 分)

x1 ? x2 2k ? 4 ? ? 2 ,解得 2 k2

k ? 2, 或k ? ?1 (舍去)
(2 分)

∴所求 k 的值为 2 (本小题满分 12 分) 如题 21 图,已知离心率为

x2 y 2 3 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 M(2,1) 为坐标原点,平 ,O a b 2

行于 OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A、B。 (1)求椭圆 C 的方程。 (2)证明:直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形。

18

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

?c 3 2 , a ? b2 ? c2 ? ? ?a 2 ? 8 ?a ? 2 由题意得: ? ?? 2 ?b ? 2 ? 4 ? 1 ?1 ? 2 2 ?a b ?
∴ 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 .……………5 分 8 2
1 x?m 2
将式子代入椭圆 C 得: x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0

(Ⅱ)由直线 l // OM ,可设 l : y ?

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4 ……………7 分 设直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,则 k1 ?

y1 ? 1 x1 ? 2

k2 ?

y2 ? 1 ……………8 分 x2 ? 2

1 1 x1 ? m ? 1 x2 ? m ? 1 2 2 ? 下面只需证明: k1 ? k 2 ? 0 ,事实上, k1 ? k 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2

? 1 ? m(

x1 ? x2 ? 4 1 1 ? ) ? 1? m ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

1? m ?

? 2m ? 4 ?0 2m ? 4 ? 2(?2m) ? 4
2

故直线 MA 、 MB 与 x 轴围成一个等腰三角形.……………12 分

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C:

x2 y 2 1 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且原点 O 到直线 ? ? 1 2 2 a b a b

的距离为 d ?

2 21 . 7

(Ⅰ)求椭圆的方程 ; (Ⅱ)过点 M ( 3,0) 作直线与椭圆 C 交于 P, Q 两点,求 ?OPQ 面积的最大值.

20.解:⑴∵ e ?

c 1 2 2 ? ∴ a2 ? 4c2 ? 4(a2 ? b2 ) ,即 4b ? 3a a 2 x y 又∵直线方程为 ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab a b

(1)

(2 分)

19

∴d ?

ab a ?b
2 2

?

2 21 ,即 7a2b2 ? 12(a 2 ? b2 ) 7
∴椭圆方程为

(2)

(2 分)

联立(1) (2) 解得 a 2 ? 4 , b2 ? 3 ⑵由题意,设直线 PQ : x ? my ? 3 , 代人椭圆 C: 3x2 ? 4 y 2 ? 12

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2 分)

化简,得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6 3my ? 3 ? 0

? ? (6 3m)2 ? 12(3m2 ? 4) ? 48(3m2 ?1) ? 0 ,则 ?OPQ 的面积为

1 3 ? 6 3m2 ? 1 S ? OP y1 ? y2 ? ? ? 2 2 3m2 ? 4 3m2 ? 4
6 3m2 ? 1 6 3m2 ? 1 ?S ? ? ? 3 (3m2 ? 1) ? 3 2 3(3m2 ? 1)
2 2 所以,当 3m ? 1 ? 3, m ?

(3 分)

2 时, ?OPQ 面积的最大值为 3 . (3 分) 3

20


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