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数列通项公式的求法1

时间:2012-06-22


数列的通项公式:

定义:是一个数列的第n项(即an)与项数n之间的函数关 系式
注: ①有的数列没有通项公式,如:3,π,e,6,… ②有的数列有多个通项公式,如:-1,1,-1,1,…

an ? ? ?1? ? cos n?
n

一、观察法(又叫猜想法,不完全归纳法): 例1.数列9,99,999,9999, …
解:变形为:101-1,102―1,103―1,104―1,…

?数列的通项公式:an ? 10 ? 1
n

观察数列中各项与其序号间的关系,分解各项中的变 化部分与不变部分,再探索各项中变化部分与序号间的 关系,从而归纳出构成规律写出通项公式 注:关键是找出各项与项数n的关系。 练习.求数列3,5,9,17,33,…

解:变形为:21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…

?数列的通项公式:an ? 2n ? 1

二、公式法
1.对于等差、等比数列可直接利用通项公式 等差数列:an=a1+(n-1)d 等比数列:an=a1qn-1 注:当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差 或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比。 例2.已知{log2 an}是以2为公差的等差数列,且a1=1,求an

练习 利用公式求解等差等比数列的通项公式.
(1)已知在{an}中, an =an-1+3,且a2=4,求an

(2)已知在{an}中, an =2an-1,且a2=4,求an
(3)已知{an}是等差数列,且a2=3,a4+a6=18, 求an (4)已知{an}是等比数列,且a3 =4, a4a5=108, 求an

三、待定系数法:
例3.设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列 对应项的和,若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通项公式cn

三、待定系数法: 用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和 公式为某一多项式

四、Sn法
例4.已知数列?an ?的前n项和为Sn,求 ?an ?的通项公式 ( )Sn ? 2n2 ? 3n; 1 ( 2) S n ? 2 n ? 1

若已知数列{an}前n项和为Sn,则该数列的通项公式为 a n= S1, n=1 Sn-Sn-1,n≥2

注意:要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算, 然后验证能否统一。

小结:

一、观察法
二、利用等差数列、等比数列的通项公式 三、待定系数法: 已知数列类型 S1, n=1 四、Sn法: n= a Sn-Sn-1,n≥2 注意:要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算, 然后验证能否统一。

作业:

三、待定系数法:

例6.已知数列{an }的前n项和Sn ? pn ? ( p ? 1)n ? p ? 3
2

若数列{an }为等差数列,求p和an




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