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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 2-8


高考进行时 一轮总复习 · 数学(新课标通用A版 · 理)

第二章
函数、导数及其应用

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第二章

函数、导数及其应用

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第八节

r />函数与方程

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

自主园地 备考套餐

开卷速查

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第二章

第八节

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1.结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根 考 纲 导 学 的联系,会判断一元二次方程根的存在性及根的个 数. 2.根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程 的近似解.

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课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

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1.函数的零点 (1)函数零点的定义: 1 ________成立的实数x叫做 对于函数y=f(x),我们把使 □ 函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系: 2 ______有交 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与 □ 3 ______. 点?函数y=f(x)有□
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(3)函数零点的判定(零点存在性定理): 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲 线,并且有 4 □ __________,那么函数y=f(x)在区间 6 □ 5 □

________内有零点,即存在c∈(a,b),使得 7 ______也就是f(x)=0的根. □

______,这个

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2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 二次函数 y=ax2+bx +c(a>0) 的图像 与x轴的交 点 零点个数 (x1,0), (x2,0) 8 ______ □
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Δ =0

Δ<0

(x1,0) 9 ______ □
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无交点 无

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3.二分法 (1)二分法的定义: 10 ______的函数y=f(x), 对于在区间[a,b]上连续不断且 □ 11 ____,使区间的两 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 □ 12 ______,进而得到零点近似值的方法叫做二 个端点逐步逼近 □ 分法.

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(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 13 __________,给定精确 第一步,确定区间[a,b],验证 □ 度ε. 第二步,求区间(a,b)的中点x1. 第三步,计算f(x1): 14 ________,则x1就是函数的零点; ①若□ 15 ________,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); ②若□

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16 ________,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)). ③若□ 第四步,判断是否达到精确度ε;即若|a-b|<ε,则得到零 点近似值a(或b). 否则重复第二、第三、第四步.

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1 f(x)=0 答案:□

2 x轴 □ 3 零点 □ 4 f(a)· □ f(b)<0

5 (a,b) □ 6 f(c)=0 □ 7 c □ 8 两个 □ 9 一个 □ 10 □ f(a)· f(b)<0 =0 11 一分为二 □ 12 零点 □ 13 f(a)· 14 f(x1) □ f(b)<0 □

15 f(a)· 16 f(x1)· □ f(x1)<0 □ f(b)<0

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1个口决——用二分法求函数零点的方法 用二分法求零点近似值的口诀为:定区间,找中点,中值 计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎 么办?精确度上来判断.

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2个防范——函数零点的两个易错点 (1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根. (2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号 零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的 端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要 条件.

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3种方法——判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点; (2)零点的存在性定理; (3)利用图像交点的个数.

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3个结论——有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有 一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持 同号. (3)连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可 能不变号.

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1.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( A.0个 B.1 个 C.2个 D.3个

)

解析:函数f(x)=2x+x3-2显然是一个单调递增且是连续的函 数,同时f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0.由函数零点存在性定理可知, 函数在(0,1)内必存在唯一一个零点,故选B项.

答案:B

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2.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax 的零点是( A.0,2 1 C.0,- 2 ) 1 B.0,2 1 D.2,- 2

解析:∵2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 1 ∴零点为0和- . 2
答案:C

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3.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所 在的区间为( ) x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

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解析:设函数f(x)=ex-x-2,从表中可以看出f(1)· f(2)<0,因 此方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(1,2).
答案:C

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4.用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证 2+4 f(2)· f(4)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,4)的中点x1= =3, 2 计算得f(2)· f(x1)<0,则此时零点x0∈__________(填区间).
解析:由f(2)· f(3)<0可知x0∈(2,3).

答案:(2,3)

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5.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实数a的取 值范围是__________.

解析:∵函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上有零点. ∴f(0)f(1)<0.即a(a+2)<0,解得-2<a<0.

答案:(-2,0)

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课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

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考点一

判断函数零点所在的区间

2 1 【例1】 (1)函数f(x)= x +ln 的零点所在的大致区间是 x-1 ( ) A.(1,2) C.(3,4) B.(2,3) D.(1,2)与(2,3)

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(2)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)· (x-b)+(x-b)(x-c)+(x- c)(x-a)的两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 )

B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

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2 1 2 解析:(1)f(x)= +ln = -ln(x-1). x x-1 x 2 当1<x<2时,ln(x-1)<0, x >0,所以f(x)>0,故函数f(x)在 (1,2)上没有零点. 2-3ln2 2-ln8 2 f(2)=1-ln1=1,f(3)= -ln2= = , 3 3 3 ∵ 8=2 2≈2.828>e, ∴8>e2,即ln8>2,即f(3)<0,

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1 又f(4)= -ln3<0, 2 ∴f(x)在(2,3)内存在一个零点. (2)易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c -b).又a<b<c,则f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,又该函数是二次函 数,且开口向上,可知两根分别在(a,b)和(b,c)内.

答案:(1)B

(2)A

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?名师点拨 判断函数零点所在区间的方法 判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活处 理,当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能直接求出 时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定理也无法判断 时可画出图像判断.

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通关特训1 函数f(x)=log3x+x-3的零点一定在区间( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

)

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解析:方法一:函数f(x)=log3x+x-3的定义域为(0,+∞), 并且在(0,+∞)上递增连续,又f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0, ∴函数f(x)=log3x+x-3有唯一的零点且零点在区间(2,3)内.

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方法二:方程log3x+x-3=0可化为log3x=3-x,在同一坐标 系中作出y=log3x和y=3-x的图像如图所示,可观察判断出两图像 交点横坐标在区间(2,3)内.

答案:C

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考点二

判断函数零点的个数 )

【例2】 (1)函数f(x)=x2-2x在x∈R上的零点的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3

? ?x+1,x≤0, (2)已知函数f(x)= ? ? ?log2x,x>0,

则函数y=f(f(x))+1的零点个

数是(

)

A.4 B.3 C.2 D.1

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1 解析:(1)注意到f(-1)×f(0)= ×(-1)<0,因此函数f(x)在(- 2 1,0)上必有零点.又f(2)=f(4)=0,因此函数f(x)的零点个数是3. (2)由f(f(x))+1=0可得f(f(x))=-1.
?1? 又由f(-2)=f?2?=-1, ? ?

1 可得f(x)=-2或f(x)=2.

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1 若f(x)=-2,则x=-3或x= ; 4 1 1 若f(x)=2,则x=-2或x= 2, 综上可得函数y=f(f(x))+1有4个零点.

答案:(1)D

(2)A

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?名师点拨 判断函数零点个数的方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几 个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上 是连续不断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质 (如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点 或零点值所具有的性质.

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(3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题.先 画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个 不同的值,就有几个不同的零点.

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通关特训2 (1)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x lgx ?x>0?, ? ? ∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)= ? 1 - ?x<0?, ? ? x =f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为( A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
2 ? ?x +2x-3?x≤0?, (2)函数f(x)=? ? ?-2+lnx?x>0?

则函数h(x)

)

的零点个数为(

)

A.3个 B.2个 C.7个 D.0个

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解析:(1)因为函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),所以函 数y=f(x)(x∈R)是周期为2的周期函数,又因为x∈[-1,1]时,f(x)= 1-x2,所以作出函数y=f(x)(x∈R)的图像如图所示:

由图可知:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数 为8个,故选C.
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? ?x≤0, (2)方法一:由f(x)=0得 ? 2 ? ?x +2x-3=0,

? ?x>0, 或? ? ?-2+lnx=0.



得x=-3,或x=e2. 因此函数f(x)共有两个零点.

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方法二:函数f(x)的图像如图所示:

可观察函数f(x)共有两个零点,故选B.
答案:(1)C (2)B

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考点三

函数零点的应用

【例3】 (1)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数 a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( A.g(a)<0<f(b) C.0<g(a)<f(b) )

B.f(b)<0<g(a) D.f(b)<g(a)<0

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(2)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b <4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=__________. (3)若函数f(x)=
x ? ?2 -a,x≤0, ? ? ?lnx,x>0

有两个不同的零点,则实数a

的取值范围是__________.

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解析:(1)∵f(x)在R上为增函数, 且f(0)=e0-2<0,f(1)=e-1>0, 又f(a)=0,∴0<a<1. ∵g(x)=lnx+x2-3, ∴g(x)在(0,+∞)上为增函数. 又g(1)=ln1-2=-2<0,g(2)=ln2+1>0,且g(b)=0,∴1< b<2,即a<b,
? ?f?b?>f?a?=0, ∴? ? ?g?a?<g?b?=0.

故选A.

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(2)∵2<a<3<b<4,∴f(x)=logax+x-b在(0,+∞)上为增 函数. 当x=2时,f(2)=loga2+2-b<0; 当x=3时,f(3)=loga3+3-b>0,∴f(x)的零点x0在区间(2,3) 内,∴n=2. (3)当x>0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.因为函数f(x)有两个不同 的零点,则当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点,令f(x)=0得a= 2x,因为0<2x≤20=1,所以0<a≤1,所以实数a的取值范围是0< a≤1.
答案:(1)A (2)2
第43页

(3)(0,1]
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?名师点拨

函数零点应用问题的常见类型及解题策略

(1)已知函数零点求参数.根据函数零点或方程的根所在的区 间求解参数应分三步:①判断函数的单调性;②利用零点存在性定 理,得到参数所满足的不等式;③解不等式,即得参数的取值范 围. (2)已知函数零点的个数求参数.常利用数形结合法. (3)借助函数零点比较大小.要比较f(a)与f(b)的大小,通常先比 较f(a)、f(b)与0的大小.

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通关特训3

2 (1)函数f(x)=2 - x -a的一个零点在区间(1,2)内,
x

则实数a的取值范围是( A.(1,3) B.(1,2)

) C.(0,3) D.(0,2)

(2)若函数f(x)=xlnx-a有两个零点,则实数a的取值范围为 ( )
? 1? A.?0,e ? ? ? ? 1? C.?0,e? ? ? ? 1? B.?0,e ? ? ? ? 1 ? D.?-e,0? ? ?

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解析:(1)由条件可知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0, 即a(a-3)<0,解得0<a<3,故选C.

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(2)令g(x)=xlnx,h(x)=a,则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图 像有两个交点.由g′(x)=lnx+1,令g′(x)<0,即lnx<-1,可 1 1 解得0<x< e ;令g′(x)>0,即lnx>-1,可解得x> e ,所以,当0 1 1 <x< 时,函数g(x)单调递减;当x> 时,函数g(x)单调递增,由 e e 1 1 此可知,当x= e 时,g(x)min=- e .作出函数g(x)和h(x)的简图,据图 1 可得- <a<0,故选D. e
答案:(1)C (2)D
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