nbhkdz.com冰点文库

47课题:双曲线


2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/2

课题:双曲线
一、考点梳理:
1.双曲线的定义: 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内;(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;(3)这一定值一定要小于两定点的距离. 2.双

曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 标准方程 - =1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a b a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 性质 渐近线 离心率 实虚轴

a、b、c 的关系 3.注意: 1. 双曲线的定义中易忽视 2a<|F1F2|这一条件. 若 2a=|F1F2|, 则轨迹是以 F1, F2 为端点的两条射线, 若 2a>|F1F2| 则轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程中对 a、b 的要求只是 a>0,b>0 易误认为与椭圆标准方程中 a,b 的要求相同. 3.注意区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a、b、c 关系,在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲线中 c2=a2+b2. 4.易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在 x 轴上,渐近线斜率为± ,当焦点在 y 轴上,渐近 线斜率为± . 5.待定系数法求双曲线方程的常用方法 x2 y2 x2 y2 b x2 y2 (1)与双曲线 2- 2=1 共渐近线的可设为 2- 2=λ(λ≠0);(2)若渐近线方程为 y=± x,则可设为 2- 2=λ(λ≠0); a b a b a a b x2 y2 (3)若过两个已知点则设为 + =1(mn<0). m n 6.等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). 7.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b c2-a2 x2 y2 b b2 8. 渐近线与离心率 - =1(a>0, b>0)的一条渐近线的斜率为 = = = e2-1.可以看出, a2 b2 a a2 a2 双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.

x≥a 或 x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a y=± x y=± x a b c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫作双曲线的实轴, 它的长|A1A2|=2a; 线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|=2b;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长. c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

b a

a b

二、基础自测:
1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( ) x2 y2 (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( ) m n 2 2 x y x2 y2 x y (3)双曲线方程 2- 2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0,即 ± =0.( ) m n m n m n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( ) x2 y2 x2 y2 1 1 (5)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e2,则 2+ 2=1(此结论中两条双曲 a b b a e1 e2 线称为共轭双曲线).( )

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/2

2. 双曲线 y2-x2=2 的渐近线方程是( ) A.y=± x B.y=± 2x C.y=± 3x D.y=± 2x x2 y2 3.已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( ) a b 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 20 5 5 20 80 20 20 80 x2 4.双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( ) 4 2 4 2 5 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 2 2 x y 1 5.已知 F(c,0)是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,若双曲线 C 的渐近线与圆 E:(x-c)2+y2= c2 相切, a b 2 则双曲线 C 的离心率为________.

三、考点突破:
考点一、双曲线的定义及标准方程 【例 1】(1)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程为__________. x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双 a b 曲线的方程为 (3)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨 迹方程为____________________.

[类题通法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两 定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉, 点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用. 2.求双曲线方程时一是标准形式判断;二是注意 a、b、c 的关系易错易混. 考点二、渐近线与离心率问题 x2 y2 5 【例 2】1.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( ) a b 2 1 1 1 A.y=± x B.y=± x C.y=± x D.y=± x 4 3 2 x2 y2 2. 设双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点, 则双曲线的离心率为( a b 5 5 A. B.5 C. D. 5 4 2 x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为( a b A.(1, 5) B.(1, 5] C.( 5,+∞) D.[ 5,+∞)

)

)

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/2

[类题通法] 解决渐近线与离心率关系的问题方法 b a (1)已知渐近线方程 y=mx,若焦点位置不明确要分 m= 或 m= 讨论. a b (2)注意数形结合思想在处理渐近线,离心率范围求法中的应用. 考点三、直线与双曲线的位置关系 x2 【例 3】若双曲线 E: 2-y2=1(a>0)的离心率等于 2,直线 y=kx-1 与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点. a (1)求 k 的取值范围;(2)若|AB|=6 3,点 C 是双曲线上一点,且 OC =m( OA + OB ),求 k,m 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

[类题通法] 1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后 转化成关于 x(或 y)的一元二次方程.利用根与系数的关系,整体代入. 2.与中点有关的问题常用点差法. 注意:根据直线的斜率 k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系. 四、课堂检测: x2 y2 1.若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( ) a b 1 2 A. y=± 2x B.y=± 2x C. y=± x D. y=± x 2 2 y2 x2 2.与椭圆 C: + =1 共焦点且过点(1, 3)的双曲线的标准方程为( ) 16 12 y2 y2 x2 y2 A.x2- =1 B.y2-2x2=1 C. - =1 D. -x2=1 3 2 2 3 x2 y2 3. 双曲线 - =1 的两条渐近线的方程为________. 16 9 x2 y2 4. 设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为 3. a b 3 (1)求双曲线的方程;(2)已知直线 y= x-2 与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D, 3 使 OM + ON =t OD ,求 t 的值及点 D 的坐标.

???? ?

????

??? ?

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/2

五、课后巩固

x2 y2 1.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别是双曲线的左,右焦点, a 9 若|PF1|=3,则|PF2|=( ) A.1 或 5 B.6 C.7 D.9 2 y 2.(13· 四川)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离是( ) 3 1 3 A. B. C.1 D. 3 2 2 3.双曲线 x2-my2=1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m=( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 2 2 ???? ???? x y 5 4.已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双曲线的离心率是 ,且 PF1 ,· PF2 ,=0, a b 4 若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 x2 y2 5 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲 a b 线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) 6.(2013· 陕西高考) 双曲线 B.(1,2) D.(2,1+ 2) )

x2 y2 5 - =1 的离心率为 ,则 m 等于________. 16 m 4 x2 y2 7 设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a 且△PF1F2 的最小 a b 内角为 30° ,则双曲线 C 的离心率为________. 8.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点 P(4,- 10).若点 M(3,m)在双 曲线上,(1)求双曲线方程;(2)求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上;(3)求△F1MF2 的面积.

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/2

课题:双曲线
一、考点梳理:
1.双曲线的定义: 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内;(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值;(3)这一定值一定要小于两定点的距离. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 y2 x2 标准方程 - =1(a>0,b>0) 2- 2=1(a>0,b>0) a b a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 性质 渐近线 离心率 实虚轴

x≥a 或 x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) b a y=± x y=± x a b c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫作双曲线的实轴, 它的长|A1A2|=2a; 线段 B1B2 叫作双曲线的虚轴, 它的长|B1B2|=2b;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长. c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

a、b、c 的关系 3.注意: 1. 双曲线的定义中易忽视 2a<|F1F2|这一条件. 若 2a=|F1F2|, 则轨迹是以 F1, F2 为端点的两条射线, 若 2a>|F1F2| 则轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程中对 a、b 的要求只是 a>0,b>0 易误认为与椭圆标准方程中 a,b 的要求相同. 若 a>b>0,则双曲线的离心率 e∈(1, 2); 若 a=b>0,则双曲线的离心率 e= 2; 若 0<a<b,则双曲线的离心率 e> 2. 3.注意区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆 a、b、c 关系,在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲线中 c2=a2+b2. 4.易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在 x 轴上,渐近线斜率为± ,当焦点在 y 轴上,渐近 线斜率为± . 5.待定系数法求双曲线方程的常用方法 x2 y2 x2 y2 b x2 y2 (1)与双曲线 2- 2=1 共渐近线的可设为 2- 2=λ(λ≠0);(2)若渐近线方程为 y=± x,则可设为 2- 2=λ(λ≠0); a b a b a a b 2 2 x y (3)若过两个已知点则设为 + =1(mn<0). m n 6.等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系). 7.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b c2-a2 x2 y2 b b2 8. 渐近线与离心率 b>0)的一条渐近线的斜率为 = = e2-1.可以看出, 2- 2=1(a>0, 2= a b a a a2 双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.

b a

a b

二、基础自测:
1. 双曲线 y2-x2=2 的渐近线方程是( ) A.y=± x B.y=± 2x C.y=± 3x D.y=± 2x y2 x2 解:选 A 由题意知 - =1,y=± x. 2 2 2 2 x y 2.已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( a b x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 20 5 5 20 80 20 20 80

)

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案
2 2 2

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/2

b 1 1 解:选 A 由已知可得双曲线的焦距 2c=10,a +b =5 =25,排除 C,D,又由渐近线方程为 y= x= x,得 = a 2 2 b ,解得 a2=20,b2=5. a x2 3.双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( ) 4 2 4 2 5 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 2 x x 2 2 5 解: C 双曲线 -y2=1 的渐近线方程为 y=± , 即 x± 2y=0, 所以双曲线的顶点(± 2,0)到其渐近线距离为 = . 4 2 5 5 2 2 x y 1 4.已知 F(c,0)是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,若双曲线 C 的渐近线与圆 E:(x-c)2+y2= c2 相切, a b 2 则双曲线 C 的离心率为________. 2 2 解:依题意得,圆心 F(c,0)到渐近线的距离等于 c,即有 b= c(注:双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离 2 2 c 等于其虚半轴长),c2=2b2=2(c2-a2),c2=2a2, = 2,即双曲线 C 的离心率为 2.答案: 2 a

三、考点突破:
考点一、双曲线的定义及标准方程 y2 【例 1】1.设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面 24 积等于( ) A.4 2 B.8 3 C.24 D.48 4 解析: C 双曲线的实轴长为 2, 焦距为|F1F2|=2×5=10.据题意和双曲线的定义知, 2=|PF1|-|PF2|= |PF2|-|PF2| 3 1 1 1 = |PF2|,∴|PF2|=6,|PF1|=8.∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴PF1⊥PF2,∴S△PF1F2= |PF1|· |PF2|= ×6×8=24. 3 2 2 2 2 x y 2.已知 F1,F2 为双曲线 - =1 的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点 A 在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最 5 4 小值为( ) A. 37+4 B. 37-4 C. 37-2 5 D. 37+2 5 解析:选 C |AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|- 2a,要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值,当 A,P, F1 三点共线时,取得最小值,则|AP|+|AF1|=|PF1|= 37,∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|- 2a= 37-2 5. 3 3.(2013· 广东)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的方程是( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 4 4 5 2 5 2 5 5 x2 y2 解析:选 B 由题意可知 c=3,a=2,b= c2-a2= 32-22= 5,故双曲线的方程为 - =1. 4 5 [类题通法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题:在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两 定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉, 点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用. 2.求双曲线方程时一是标准形式判断;二是注意 a、b、c 的关系易错易混. 考点二、渐近线与离心率问题 双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.归纳起来常见的命题角度有: 1.已知离心率求渐近线方程; 2.已知渐近线求离心率; 3.已知离心率确定渐近线夹角问题; 4.利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围. 【例 2】角度一 已知离心率求渐近线方程 x2 y2 5 1.(2013· 新课标卷Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( ) a b 2 1 1 1 A.y=± x B.y=± x C.y=± x D.y=± x 4 3 2 2 2 c2 a +b b2 5 b2 1 b 1 1 解析:选 C ∵e2= 2= 2 =1+ 2= ,∴ 2= ,∴ = ,∴y=± x. a a a 4 a 4 a 2 2

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/2

角度二

已知渐近线求离心率 x2 y2 2. 设双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点, 则双曲线的离心率为( ) a b 5 5 A. B.5 C. D. 5 4 2 ?y=kx, ? 解:选 D 设双曲线的一条渐近线方程为 y=kx,由题可知这条直线与抛物线 y=x2+1 相切,联立? 整 2 ? ?y=x +1. a2+b2 b c c2 理得 x -kx+1=0,则 Δ=k -4=0,解得 k=± 2,即 =2,故双曲线的离心率 e= = = = a a a2 a2 b 1+? ?2= 5. a 角度三 由离心率研究渐近线夹角问题 x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e= 2,则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________. a b c2 b2 b π 解:∵e= 2,∴e2=2,即 2=2,又 c2=a2+b2,∴ 2=1, 即 =1,∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是 . a a a 4 角度四 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围 x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为( ) a b A.(1, 5) B.(1, 5] C.( 5,+∞) D.[ 5,+∞) b?2 b b c 解析:选 C ∵双曲线的一条渐近线方程为 y= x,则由题意得 >2,∴e= = 1+? ?a? > 1+4= 5. a a a [类题通法] 解决渐近线与离心率关系的问题方法 b a (1)已知渐近线方程 y=mx,若焦点位置不明确要分 m= 或 m= 讨论. a b (2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角,离心率范围求法中的应用. 考点三、直线与双曲线的位置关系 x2 【例 3】若双曲线 E: 2-y2=1(a>0)的离心率等于 2,直线 y=kx-1 与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点. a
2 2

(1)求 k 的取值范围;(2)若|AB|=6 3,点 C 是双曲线上一点,且 OC =m( OA + OB ),求 k,m 的值. c ? ?a2=1, ?y=kx-1, ?a= 2, ? ? [解] (1)由? 得? 2 故双曲线 E 的方程为 x2-y2=1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 2 ? ? ?c =2, ?x -y =1, ? ?a2=c2-1
? ?k>1, 得(1-k2)x2+2kx-2=0.①∵直线与双曲线右支交于 A,B 两点,故? 2 2 ?Δ=?2k? -4?1-k ?×?-2?>0, ?

??? ?

??? ?

??? ?

?k>1, 即? 所以 1<k< 2. ?- 2<k< 2,
?1+k2??2-k2? 2k 2 (2)由①得 x1+x2= 2 , x1x2= 2 , ∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2=2 =6 3, 整理得 28k4 k -1 k -1 ?k2-1?2 5 5 5 -55k2+25=0,∴k2= 或 k2= .又 1<k< 2,∴k= ,所以 x1+x2=4 5,y1+y2=k(x1+x2)-2=8.设 C(x3, 7 4 2 y3),由 OC =m( OA + OB ),得(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)=(4 5m,8m).∵点 C 是双曲线上一点, 1 5 1 ∴80m2-64m2=1,得 m=± .故 k= ,m=± . 4 2 4 [类题通法] 1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后 转化成关于 x(或 y)的一元二次方程.利用根与系数的关系,整体代入. 2.与中点有关的问题常用点差法. 注意:根据直线的斜率 k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系. 四、课堂检测:

??? ?

??? ?

??? ?

x2 y2 1.(2013· 北京)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( ) a b 1 2 A. y=± 2x B.y=± 2x C. y=± x D. y=± x 2 2 b?2 c b 解:选 B 在双曲线中离心率 e= = 1+? ?a? = 3,可得a= 2,故所求的双曲线的渐近线方程是 y=± 2x. a y2 x2 2.与椭圆 C: + =1 共焦点且过点(1, 3)的双曲线的标准方程为( ) 16 12 2 2 2 2 y y x y A.x2- =1 B.y2-2x2=1 C. - =1 D. -x2=1 3 2 2 3 y2 x2 y2 x2 解 C 椭圆 + = 1 的焦点坐标为 (0 ,- 2) , (0,2) , 设双曲线的标准方程为 - = 1(m > 0 , n > 0) , 则 16 12 m n 3 1 ? ?m-n=1, ? 解得 m=n=2,故选 C.

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/2

? ?m+n=4,

x2 y2 3. (2013· 江苏高考)双曲线 - =1 的两条渐近线的方程为________. 16 9 x2 y2 3 3 解析:令 - =0,解得 y=± x.答案:y=± x 16 9 4 4 4. 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点 P(4,- 10). (1)求双曲线方程;(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF1 · MF2 =0;(3)求△F1MF2 的面积. 解:(1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ.∵过点 P(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 6 6 m (2)证明:法一:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6,∴c=2 3.∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0).∴kMF1= , 3+2 3 m m2 m2 kMF2= . kMF1· kMF2= =- . ∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3. 故 kMF1· kMF2 3 9-12 3-2 3 =-1.∴MF1⊥MF2. ∴ MF1 · MF2 =0.

???? ? ?????

???? ? ?????

法二:∵ MF1 =(-3-2 3,-m), MF2 =(2 3-3,-m),∴ MF1 · MF2 =(3+2 3)×(3-2 3)+m2 =-3+m2.∵M 点在双曲线上,∴9-m2=6,即 m2-3=0.∴ MF1 · MF2 =0. (3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3, △F1MF2 的高 h=|m|= 3,∴S△F1MF2=6. 五、课后巩固 x2 y2 1.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别是双曲线的左,右焦点, a 9 若|PF1|=3,则|PF2|=( ) A.1 或 5 B.6 C.7 D.9 b 3 解析:选 C 由渐近线方程 3x-2y=0,知 = .又 b2=9,所以 a=2,从而|PF2|=7. a 2 2 y 2.双曲线 x2- =1 的焦点到渐近线的距离是( ) 3 1 3 A. B. C.1 D. 3 2 2 3 解:选 B 因为抛物线的焦点坐标为(1,0),而双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,所以所求距离为 ,故选 B. 2 3.双曲线 x2-my2=1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m=( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 y2 1 1? 解:D 双曲线方程可化为 x2- =1,∴实轴长为 2,虚轴长为 2 ,∴2=2?2 ,解得 m=4. 1 m m? ? m 2 2 ???? ???? x y 5 4.已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双曲线的离心率是 ,且 PF1 ,· PF2 ,=0, a b 4

???? ?

?????

???? ? ?????

???? ? ?????

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/12/2

若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 ???? ???? c 5 4 3 2 2 解析:选 C 设 c= a +b ,则 = ,∴a= c,∴b= c2-a2= c.∵ PF1 ,· PF2 ,=0(即 PF1⊥PF2), a 4 5 5 ?||PF1|-|PF2||=2a, ?|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|=4a2, ? ? S△PF1F2=9,∴|PF1|· |PF2|=18.∵? ∴? 2 2 2 2 2 2 ?|PF1| +|PF2| =|F1F2| , ?|PF1| +|PF2| =4c , ? ? 两式相减得,2|PF1|· |PF2|=4b2,∴b2=9,∴b=3,∴c=5,a=4,∴a+b=7. x2 y2 5 5.(2013· 陕西高考) 双曲线 - =1 的离心率为 ,则 m 等于________. 16 m 4

解析:

? ?b =m, ? 25 ? ?e =16
2 2

a2=16, 25 16+m ? = ?m=9.答案:9 16 16

x2 y2 6.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为 3. a b 3 (1)求双曲线的方程;(2)已知直线 y= x-2 与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D, 3 使 OM + ON =t OD ,求 t 的值及点 D 的坐标. b |bc| 解:(1)由题意知 a=2 3,∴一条渐近线为 y= x.即 bx-2 3y=0.∴ 2 = 3.∴b2=3,∴双曲线的方程 2 3 b +12 x2 y2 为 - =1. 12 3 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84 =0,则 x1+x2=16 4 3 = , ?x y 3 3,y +y =12.∴? x y ?12- 3 =1.
0 0 1 2 2 0 2 0

???? ?

????

??? ?

?x0=4 3, ∴? ∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3). ?y0=3.


47课题:双曲线

47课题:双曲线_数学_高中教育_教育专区。高三第一轮复习文科数学 2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案 主备人:邹伟 备课日期:2015/12/2 课题:双...

双曲线基础练习

(B) 2b 2 c (C) a2 c (D) b2 c 题目: 47. 双曲线实轴长为 2a, 过 F1 的动弦 AB 长为 b, F2 为另一焦点, 则△AB F2 的周长为 ()。(A)...

【高考文科数学一轮复习预测试题】47 双曲线

【高考文科数学一轮复习预测试题】47 双曲线_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载【高考文科数学一轮复习预测试题】47 双曲线_数学_高中教育_教育...

双曲线教案

双曲线教案_数学_高中教育_教育专区。课题名称:双曲线 教学目标: 1.与椭圆类比来理解双曲线的定义,标准方程和几何性质,特别注意不同点,如 a, b, c, 及其关系...

7.7.1双曲线的定义与标准方程

7.7.1双曲线的定义与标准方程_高二数学_数学_高中教育_教育专区。双曲线的标准方程 【课题】 7.7.1 双曲线的定义与标准方程 【教学目标】知识目标: ⑴使学生...

双曲线的定义及其标准方程教案

10、课后作业,巩固提高 ⑴课后整理双曲线与椭圆的区别和联系 ⑵课本作业题 八、板书设计 课题 双曲线的定义及其标准方程 一、双曲线定义 三、例 1 1、数学...

双曲线的性质

课题】 7.7.2 双曲线的性质 【教学目标】知识目标: ⑴ 使学生理解和掌握双曲线的对称性、顶点、范围、渐近线、离心率等性质; ⑵ 理解离心率的大小对双曲线...

双曲线小题精练(含答案)

5x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为( A、一椭圆和一双曲线的离心率 C、一椭圆和一抛物线的离心率 4、 (2006 全国 II)已知双曲线 线的离心率为( ) ) B...

双曲线的几何性质

课题 双曲线的几何性质 时 1. 熟悉双曲线的几何性质。 教学目的 2. 能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。 教学重点 教学难点 双曲线的几何性质。 双曲线...

双曲线及其标准方程教案设计__王超

的双曲线》 引入课题: 引入课题:双曲线的定义及其标准方程 设计意图: 设计意图:通过欣赏 flash 动画让学生从感性上认识双曲线,了解双曲线特点,激发学生学习欲望。 ...