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2014版高考数学一轮总复习 第5讲 函数的性质(一)单调性、奇偶性课件 文 新人教A版


1.理解函数的单调性及其几何意义,掌握 判断函数单调性的基本方法,并能利用函数的 单调性解题. 2.理解函数奇偶性的概念,掌握函数奇偶 性的判定方法及图象特征,并能运用这些知识 分析、解决问题.

1.函数的单调性及其几何意义 一般的,设函数f ? x ?的定义域为I:如果对于定义域 当x1 ? x2时, ? 若都有f ? x1 ? ① ______

f ? x2 ?,则称f ? x ? ?1 在区间D上是增函数;2 ? 若都有f ? x1 ? ② ______ f ? x2 ?, ? 则称f ? x ? 在区间D上是减函数.它的等价形式,即若 x1、x2 ? [a,b],那么 I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,

?1?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? f ? x ? 在区间[a,b]上是③ ____ ; x1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? f ? x ? 在区间[a,b]上是④ ______ . x1 ? x2 其几何意义:⑤ ____________________________ .

? 2 ? ( x1 ? x2 )[ f ? x1 ? ? f ? x2 ?] ? 0 ? f ? x ? 在区间[a,b]上是 增函数; 1 ? x2 )[ f ? x1 ? ? f ? x2 ?] ? 0 ? f ? x ? 在区间[a,b] (x
上是减函数.

2.单调函数及单调区间 如果函数y ? f ? x ? 在区间D上是增函数(或减函数),我 们就说f ? x ? 在这个区间上具有严格的单调性,区间D 叫做f ? x ?的增区间(或减区间),统称为单调区间. 3.复合函数的单调性复合函数 y ? f ? g ? x ? ?由内、外两层(分别是u ? g ? x ? 和y ? f ? u ?)函 ? ? 数构成,其单调性可按⑥ __________ 的原则进行判 断,即内、外两层函数在公共定义域上,若同是增函 数或同是减函数,则f ? g ? x ? ? 为增函数;若是一增一 ? ? 减,则f ? g ? x ? ? 为减函数. ? ?

【要点指南】 ① ? ;② ? ;③增函数;④减函数; ⑤增(或减)函数图象上任意两点的连线 斜率都大于(或小于)零;⑥同增异减 ⑦对于函数定义域内任意一个x;⑧f (? x ) ? ? f ? x ?; ⑨f (? x) ? f ? x ?;⑩原点;?中心;?0;?y轴; ?轴;?f (? x) ? f ? x ? ? f ?| x |?;?必要不充分; ?奇函数;?偶函数;?偶函数;?偶函数

1 1.给出下列四个函数:①f(x)=x+1;②f(x)= x ;③f(x)= x2;④f(x)=sinx.其中在(0,+∞)上是增函数的有( A.0个 C.2个 B.1个 D.3个
1

)

【解析】由函数图象,易知①③满足条件,故选 C.

2.(2012· 天津卷)下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1,2)内是增函数的为( A.y=cos2x ex-e C.y= 2
-x

) B.y=log2|x| D.y=x3+1

【解析】函数y=log2|x|为偶函数,且当x>0时,函数y= log2|x|=log2x为增函数,所以在(1,2)上也为增函数,故选B.

x 3.(2011· 辽宁卷)若函数 f(x)= 为奇函数, 则 ?2x+1??x-a? a=( 1 A.2 3 C.4 ) 2 B.3 D.1

1 【解法 1】因为函数的定义域为{x|x≠-2且 x≠a},又定 1 义域关于原点对称,则 a=2.
【解法 2】 因为 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x)恒成立, 1 解之得 a=2.

4.若偶函数f(x)=px2+(q-1)x的定义域为[p,3],则 p+q= -2 .

【解析】 由偶函数定义域关于原点对称,则 p+3=0 ?p=-3, 又 f(x)=-3x2+(q-1)x 为偶函数,则 q-1=0?q=1, 所以 p+q=-2.

5.已知定义在区间[0,1]上的函数y=f(x)的图象如图, 对于满足0<x1<x2<1的任意x1、x2,给出下列结论: ①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②[f(x2)-f(x1)]· 2-x1)<0; (x ③x2· 2)>x1· 1); f(x f(x f?x1?+f?x2? x1+x2 ④ <f( 2 ). 2

其中正确的结论的序号是

③④

.



判断函数的单调性,求函数的单调区间

【例1】(1)下列函数中,在区间(0,1)上单调递减的是 __________. ①f(x)=sinx; 1 ②f(x)=x+x ; ④f(x)=|x+1|.

③f(x)=log1(x+3);
2

a (2)形如y=x+ x (a>0)的函数叫“特征函数”,在解题中有 a 极大应用,请讨论y=x+x 的单调性,并指出单调区间.

【解析】(1)结合基本函数性质及图象分析可知: ①、④不满足题意. 1 对于②,f′(x)=1-x2,当x∈(0,1)时,f′(x)<0, 则f(x)在(0,1)上递减; 对于③,令u=x+3,在(0,1)上递增,而y=log u为减
2 1

函数,由复合函数单调性知,f(x)=log 1 (x+3)在(0,1)上单
2

调递减. 综上可知,②③在(0,1)上为减函数.

(2)由于函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},且 f(-x)= -f(x),所以函数 f(x)为奇函数,因此可先讨论 f(x)在(0, +∞)上的单调性. 设 0<x1<x2, a a 则 f(x1)-f(x2)=x1+x -x2-x 1 2 a =(x1-x2)(1-x x ). 1 2

a 当 0<x1<x2≤ a时,恒有x x >1, 1 2 此时 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在(0, a]上是减函数. a 当 a≤x1<x2 时,恒有 0<x x <1, 1 2 此时 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在[ a,+∞)上是增函数. 因为 f(x)为奇函数,所以 f(x)在(-∞,- a]和[ a, +∞)上是增函数,在[- a,0)和(0, a]上是减函数.

【点评】(1)①求函数的单调区间或判断函数的单调性, 一般有如下方法:图象法、定义法、导数法. ②复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则,要特别 注意的是内、外层函数所在区间的对应关系. (2)用定义法证明函数的单调性一般步骤为: 区间内取值(设数)→作差→变形→定号→下结论. 要注意的是:作差是判断大小的常用方法,根据题设特 点亦可采用其他方法比较.变形是解题关键,其目标是为了 定号明确,故常用手段与方法是配方、因式分解等.

素材1

(1)下列函数中为增函数的是( 1 A.f(x)= x(x>0) 1 C.f(x)=-x+x

)

B.f(x)= -x D.f(x)=x2-6x+9(x≥3)

?1 ?x>0? ? (2)设函数 f(x)=?0 ?x=0? ? ?-1 ?x<0?

,g(x)=x2f(x-1),则函数

g(x)的递减区间是( A.(-∞,0] C.[1,+∞)

) B.[0,1) D.[-1,0]

【解析】 (1)对于 D,f(x)=(x-3)2(x≥3),由二次函数的性 质可知,f(x)=x2-6x+9(x≥3)为增函数;而 A、B 对应的函 数在其对应区间上为减函数;C 所对应的函数在(-∞,0)和 (0,+∞)上均为减函数,故选 D.

? x2 ?x>1? ? (2)g(x)=?0 ?x=1? ? 2 ?-x ?x<1?

,其图象如图所示.其递减区间

为[0,1),故选 B.



函数奇偶性的判定及应用
x+1 【例 2】 (1)以下四个函数: ①f(x)=(x-1)· ; x-1

②f(x)=|x+2|+|x-2|; ③f(x)= x2-1+ 1-x2; ④f(x) 2-x2 = .其中仅为奇函数的序号为______;只为偶 |x+2|-2 函数的序号为______;非奇非偶函数的序号为______; 既是奇函数又是偶函数的序号为______.

(2)(2011· 湖北卷)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函 数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)=( A.e -e
x
-x

)

1 x -x B.2(e +e ) 1 x -x D.2(e -e )

1 -x x C.2(e -e )

【解析】①中函数 f(x)的定义域为{x|x≤-1 或 x>1},不关 于原点对称,为非奇非偶函数; ②中定义域为(-∞,+∞),且 f(-x)=|-x+2|+|-x-2| =|x+2|+|x-2|=f(x),为偶函数; ③中 f(x)的定义域为{-1,1},此时 f(x)=0, 所以 f(x)= x2-1+ 1-x2既是奇函数又是偶函数;

?2-x2≥0 ④中由? ,解之得 x∈[- 2,0)∪(0, 2], ?|x+2|-2≠0

定义域关于原点对称. 2-x2 且此时|x+2|-2=x+2-2=x,即 f(x)= x , 2-?-x?2 2-x2 又 f(-x)= =- x =-f(x), -x 2-x2 所以 f(x)= 为奇函数. |x+2|-2

(2)x∈R 时,f(x)+g(x)=ex,① 用-x 代替 x 得 f(-x)+g(-x)=e x. 又 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 即 f(x)-g(x)=e x,② ex-e x 由①②得 g(x)= 2 ,故选 D.
- - -

【点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域 是否关于原点对称, 然后检验对定义域内任意的 x, 是否有 f(- x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)成立,必要时,应对函数作一些变形. (2)在 f(x)的定义域关于原点对称的前提下,对于较复杂的 函数,可以计算 f(-x)± f(x)的值,若 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)是 奇函数;若 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数,这是判别函数奇 偶性行之有效的方法.

素材2
?-x2+x ?x>0? 判断函数 f(x)=? 2 的奇偶性. ?x +x ?x≤0?

【解析】当 x>0 时,-x<0, 则 f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-f(x). 又当 x<0 时,-x>0, 则 f(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x=-f(x). 而 x=0 时,f(0)=0.

综上有,对 x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立,
?-x2+x ?x>0? 故 f(x)=? 2 是奇函数. ?x +x ?x≤0?



单调性、奇偶性的综合应用

【例 3】(1)(2012· 长沙模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x), f?x1?-f?x2? 对任意 x1、x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则( x1-x2 A.f(4)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(4)<f(1) B.f(1)<f(4)<f(-2) D.f(4)<f(1)<f(-2) )

(2)(2012· 广东惠州调研)已知定义域为(-1,1)的奇函数 y 1 =f(x)又是减函数,且满足 f(2x-1)+f(3)<0,则 x 的取值范 围为____________.

f?x1?-f?x2? 【解析】(1)由已知 <0,得 f(x)在 x∈[0,+∞)上 x1-x2 单调递减;由偶函数性质得 f(4)<f(-2)<f(1),故选 A. 1 (2)由奇函数的性质得 f(2x-1)<f(-3),
?-1<2x-1<1 ? 即? 1 ?2x-1>-3 ?

1 ,解之得3<x<1.

【点评】函数单调性与奇偶性混合时,重在对函数图象的 考查及函数性质的应用.此时可先从特殊点——定点,再从单 调性——部分定形,最后从奇偶性——定图象,然后根据图象 挖掘性质,比较大小或找准最值、单调区间等.

素材3

已知 f(x)的定义域为 R,对任意 x、y∈R,有 f(x+y)

=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)证明:f(x)是奇函数; (2)证明:f(x)在 R 上是减函数; (3)求 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

【解析】(1)证明:函数 f(x)的定义域 R 关于原点对称. 又由 f(x+y)=f(x)+f(y), 得 f[x+(-x)]=f(x)+f(-x), 所以 f(x)+f(-x)=f(0). 又 f(0+0)=f(0)+f(0),所以 f(0)=0, 从而有 f(x)+f(-x)=0,所以 f(-x)=-f(x). 由于 x∈R,所以 f(x)为奇函数.

(2)证明:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)] =f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)] =-f(x2-x1). 因为 x1<x2,所以 x2-x1>0, 所以 f(x2-x1)<0,所以-f(x2-x1)>0, 即 f(x1)>f(x2),从而 f(x)在 R 上是减函数.

(3)由于 f(x)在 R 上是减函数, 故 f(x)在[-3,3]上的最大值是 f(-3),最小值是 f(3). 则由 f(1)=-2, 得 f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2) =f(1)+f(1+1) =3f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6, 从而 f(x)在区间[-3,3]上的最大值为 6,最小值为-6.

备选例题

(1)(2011· 安徽卷改编)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(x)=__________.

? ax ?x<0? (2)已知函数f(x)= ? 满足对任意x1≠x2, ??3a-1?x+4a ?x≥0?

f?x1?-f?x2? 都有 <0成立,则a的取值范围是( x1-x2 1 A.(0,4] 1 C.[4,1) B.(0,1) D.(0,3)

)

【解析】(1)设 x>0, 则-x<0, 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, x≤0 时, 且 f(x)=2x2-x, 所以 f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x, 又 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)=-2x2-x.

f?x1?-f?x2? (2)由任意 x1≠x2,都有 <0,可知函数 f(x)为 x1-x2
?0<a<1 ? 减函数,得到? ?4a≤13a-1<0 ?

1 ,解得 0<a≤4,

故选 A.

【点评】函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和 周期性,以及函数图象的对称性,第(1)小题考查函数的奇 偶性,另外奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称,这是函数奇偶性的重要特征,第(2)小题考查了函 数的单调性的定义,注意函数的单调性是相对于定义域而 言的,单调性是函数的局部性质,函数的单调区间是定义 域的子集,即函数的增减性是相对于函数的定义域中的某 个区间而言的.

1.在研究函数的单调性时,要掌握并熟记一 次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数 函数的单调性,要注意单调区间是定义域的子集. 2.函数的单调性的证明方法:①定义证明法; ②导数证明法. 3.判断函数的单调性的方法:①观察法;② 图象法;③定义法;④复合函数法;⑤导数法.

4.用定义判断函数奇偶性的一般步骤是: ①求出定义域;②看定义域是否关于原点对称; ③在定义域内化简函数式;④利用定义的互逆性 进行判断,如f (? x) ? ? f ? x ? ? f (? x ) ? f ? x ? ? 0 ?? ?1( f ? x ? ? 0);⑤得结论. 5.讨论函数奇偶性时,注意定义域优先原则. 6.由奇偶函数的图象的对称性,只要知道函数在 原点的一侧区间上的有关性质,就可得出函数在其 对称区间上的性质.


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