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2014-2-17重点班圆锥曲线,立体几何、三角知识小测题目及答案

时间:2014-02-18


2014-2-17 重点班圆锥曲线,立体几何、三角知识小测题
1、已知 a 、 b 为非零实数,且 a ? b ,则下列不等式成立的是( A. a 2 ? b 2 B. ) D. ) D. a ? b ? 0

1 1 ? a b

C.

1 1 ? 2 2 ab ab

1 1 ? a

?b a

2、设 a 、 b ? R ,若 a ? | b |? 0 ,则下列不等式中正确的是( A. a ? b ? 0 B. a ? b ? 0
3 3

C. a ? b ? 0
2 2

? 2 x ? y ? 10 ? 3、若 x, y 满足约束条件 ? 0 ? x ? 4 ,则 z ? 4 x ? 3 y 的最小值为( ? 0? y?8 ?
A.20 B.22 C.24 D.28

)

4、设向量 a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2,sin ? ? ,若 a ? b ,则 tan ? ? ? A. ?
5、函数 y

?

?

?

?

? ?

??

? 等于( 4?
D.3



1 3

B.

1 3

C. ?3

? sin( x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象 2

?

与 x 轴的交点,则 tan ?APB _______________.
6、设 f ( x) ? 6 cos x ? 2 3 sin x cos x .(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间;
2

(Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移

?
3

个单位,得 y ? g ( x) 的图象,求

F ( x) ?

g ( x) ? 3 2 3x

x?


?
4 处的切线方程.

1

7、 由于当前学生课业负担较重, 造成青少年视力普遍下降, 现从某中学随机抽取 16 名学生, 经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数字为叶)如右:

(I )若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”,求校医从这16人中随机选取3人,至 多有1人是“好视力”的概率; (II)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记 表示抽到“好视力”学生的人数,求 的分布列及数学期望,据此估计该校高中学生好视 力的人数. 解: (1)设事件 Ai 为所取三名学生中有i名是 “好视力” ,至多有 1 名是“好视力”记为 事件 A,? P ( A) ? P ( A0 ) ? P ( A1 ) ?
3 1 2 C12 C4 C12 121 ? ? ??????5 分 3 3 C16 C16 140

(2)由题意知 ? ~ B(3, ), ?的可能取值为0.1.2.3

1 4

???????6 分

27 3 27 2 1 3 2 p(? ? 1) ? c3 ( ) ? p(? ? 0) ? ( )3 ? 4 64 4 4 64 3 1 9 1 1 2 ???????8 分 p(? ? 2) ? c3 ( )2 ? p(? ? 3) ? ( )3 ? 4 64 4 4 64 所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

27 27 9 1 64 64 64 64 27 27 9 1 3 1 3 数学期望 E? ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? (或者 E? ? np ? 3 ? ? ?10 分. 4 4 64 64 64 64 4 1 该校高中学生好视力人数约为 5600 ? ? 1400 (人)?????12 分. 4
1. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)已知四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形

∠BCD=60°,AB=PB=PD=2,PC= 3 ,AC 与 BD 交于 O 点,H 为 OC 的中点.

2

(1)求证 PH 平面 ABCD; (2)求侧面 PAB 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值.
【答案】

3

2. ( 2013 年 宁 夏 回 族 自 治 区 石 嘴 山 市 高 三 第 一 次 联 考 理 科 数 学 试 题 ) 如 图 , 已 知 椭 圆

x2 y2 2 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,短轴右端点为 A,M(1,0)为线段 OA 的中 2 b a 点.(1)求椭圆 C 的方程;(2)过点 M 任作一条直线与椭圆 C 相交于两点 P、Q,试问在 x 轴 上是否存在定点 N,使得 ?PNM ? ?QNM ,若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,说明理
由.
y

P x O M A N

Q

1.解:(1)由已知, b ? 2 ,又 e ?

2 , 2

4

a2 ? 4 2 ? 即 ,解得 a ? 2 2 , a 2
所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 8

(Ⅱ)假设存在点 N ( x0 , 0) 满足题设条件. 当 PQ ⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有 ?PNM ? ?QNM ,即 x0 ? R ; 当 PQ 与 x 轴不垂直时,设 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程化简得:

(k 2 ? 2) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 8 ? 0 .
设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

2k 2 k2 ?8 , x1 x2 ? , 2 ? k2 2 ? k2

k PN ? kQN ?

y1 y2 k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) ? ? ? x1 ? x0 x2 ? x0 x1 ? x0 x2 ? x0

?

k ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) , ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 )

∵ ( x1 ? 1)( x2 ? x0 ) ? ( x2 ? 1)( x1 ? x0 ) ? 2 x1 x2 ? (1 ? x0 )( x1 ? x2 ) ? 2 x0

?

2(k 2 ? 8) 2(1 ? x0 )k 2 ? ? 2 x0 . 2 ? k2 2 ? k2

若 ?PNM ? ?QNM , 则 k PN ? kQN ? 0 , 即 k[

2(k 2 ? 8) 2(1 ? x0 )k 2 ? ? 2 x0 ] ? 0 , 整理得 k ( x0 ? 4) ? 0 , 2 ? k2 2 ? k2

∵ k ? R ,∴ x0 ? 4 . 综上在 x 轴上存在定点 N (4, 0) ,使得 ?PNM ? ?QNM

5


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