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第20讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(教师版)


深圳科学高中 2014-2015 学年高三数学第一轮复习讲义

第 20 讲
一、考纲要求

函数 y=Asin(ω x+φ )的图像及其性质
郭琳芳

1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义; 2.能画出 y=Asin(ωx+φ)的图像,了解参数 A,ω,φ 对函数图像变化的影响. 二、知

识方法 (一) 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 答案: x 0-φ ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0 0 π 2 π 3π 2 2π

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

(二) 由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

(三)函数 y=Asin(ωx+φ)中的参数 A,ω,φ 的物理意义

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当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, x∈[0, +∞))表示一个振动时, A 叫做 2π T= ω 叫做 1 ,f=T叫做 ,ωx+φ 叫做 ,φ 叫做 .



答案:振幅,周期,频率,相位,初相.

(四) 图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+ ,k∈Z)成轴对称图 2 形. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.

(五) 方法技巧、注意事项 (1) 在由图象求函数 y=Asin(ω x+φ )+k 的解析式时,若最大值为 M,最小值为 m, M-m 则 A= 2 , k= M+m 2π 2 ,ω 由周期 T 确定,即由 ω =T 求出,φ 由特殊点确定.

(2)由 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变 换再周期变换(伸缩变换), 平移的量是|φ|个单位; 而先周期变换(伸缩变换)再相位变换, |φ| 平移的量是 ω (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身 加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值. (3)作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可 根据周期性作出整个函数的图象.

三、夯实基础 1.(2011·重庆六校联考)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω= __ _.

2

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3 答案:2 2. (2013· 浙江)函数 f(x)=sin xcos x+
A.π ,1 B.π ,2

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( 2
C.2π ,1 D.2π ,2



答案:A 3.(2011·江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如 图所示,则 f(0)的值是________.

6 答案: 2 4.(2013·山东)将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移
) 函数的图象,则 ? 的一个可能取值为( 3? ? ? ? A. 4 B. 4 C.0 D. 4

? 个单位后,得到一个偶 8

答案: B 5.(2012· 浙江)把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

答案:A

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四、例题分析 例 1(2013· 安徽)设函数 . 的集合; 的图象经过怎样的变化得到.

(1)求 的最小值,并求使 取得最小值的 (2)不画图,说 明函数 的图像可由 解:(1) f ( x) ? sin x ? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

1 3 3 3 ? sin x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 2 2 2 2

? ? 3? 4? 当 sin( x ? ) ? ?1 时, f ( x) min ? ? 3 ,此时 x ? ? ? 2k? ,? x ? ? 2k? , (k ? Z ) 6 6 2 3 4? 所以, f ( x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ? ? 2k? , k ? Z } . 3 (2) y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ;
然后 y ? 3 sin x 向左平移

3 3 ? ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 sin( x ? ) ? 3 sin( x ? ) 2 2 6 6

? ? 个单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ? ) 6 6

π 例 2 (2012·西安模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0, ω>0,0<φ<2) π 的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 2 ,且图象上的一个最低点为 ?2π ? M? 3 ,-2?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; ? π π? (2)当 x∈?12,2?时,求 f(x)的值域. ? ? 解 ?2π ? (1)由最低点为 M? 3 ,-2?,得 A=2. ? ?

π T π 2π 2π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2,得 2=2,即 T=π,所以 ω= T = π =2.由点 2π ?2π ? ? ? ?4π ? M? 3 ,-2?在图象上,得 2sin?2× 3 +φ?=-2,即 sin? 3 +φ?=-1. ? ? ? ? ? ? 4π π 11π 故 3 +φ=2kπ-2,k∈Z,所以 φ=2kπ- 6 (k∈Z). π? π? π ? ? 又 φ∈?0,2?,所以 φ=6.故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ? ? ?

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π ?π 7π? ? π π? (2)因为 x∈?12,2?,所以 2x+6∈?3, 6 ?. ? ? ? ? π π π 当 2x+6=2,即 x=6时,f(x)取得最大值 2; π 7π π 当 2x+6= 6 ,即 x=2时,f(x)取得最小值-1.故函数 f(x)的值域为[-1,2].

五、达标测试 1.(2013· 全国文)若函数 y ? sin ?? x ? ? ??? ? 0?的部分图像如图,则?= (
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2



答案:B

2. (2013·四川) 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?),( ? ? 0, ?
的值分别是( )

?

? ? ? ) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 2 2

?

A. 2, ?

?

3 答案:A

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

?
3

3.(2013· 福建文)将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?

?
2

?? ?

?
2

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位
3 ) ,则 ? 的值可以是 2

长度后得到函数 g ( x) 的图象,若 f ( x), g ( x) 的图象都经过点 P(0,

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5? 3 答案:B

A.

B.

5? 6

C.

?
2

D.

?
6

4.(2013· 湖北)将函数 y ? 3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所 得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) ? ? ? 5? A. B. C. D. 12 6 3 6 答案:B
? ? 5? ? 5.(2011· 天津)右图是函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? x ? R ? 在区间 ? ? , ? 上的图象,为了 ? 6 6 ? 得到这个函数的图象,只要将 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上的所有的点( ).
A.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标
1 倍,纵坐标不变 2

缩短到原来的
B.向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标 3 伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

?

C.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩
1 倍,纵坐标不变 2

短到原来的
D.向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸 6 长到原来的 2 倍,纵坐标不变 答案:A ?π ? 6.(2011·南京模拟)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点 P?12,0?,图 ? ? ?π ? 象上与点 P 最近的一个最高点是 Q?3,5?. ? ? (1)求函数的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间. 解 2π ?π π ? (1)依题意得:A=5,周期 T=4?3-12?=π,∴ω= π =2.故 y=5sin(2x+φ),又图 ? ?

?

π? π π ?π ? ?π ? ? 象过点 P?12,0?,∴5sin?6+φ?=0,由已知可得6+φ=0,∴φ=-6∴y=5sin?2x-6?. ? ? ? ? ? ?

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π π π π π (2)由-2+2kπ≤2x-6≤2+2kπ,k∈Z,得:-6+kπ≤x≤3+kπ,k∈Z, π π? ? 故函数 f(x)的递增区间为:?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). ? ? 7. (2013·上海)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; ? 2? (1)若 y ? f ( x) 在 [? , ] 上单调递增,求 ? 的取值范围; 4 3 ? (2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 6 y ? g ( x) 的图像,区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零 点,在所有满足上述条件的 [a, b] 中,求 b ? a 的最小值. 解:(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有 ? ? ? ? ??? ? 3 ? 4 2 ?0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? (2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ? )) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 ? 1 ? 7 g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 3 2 3 12 ? 2? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , 3 3 故若 y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点,则 b ? a 的最小值为 2? ? 43? 14 ? ? 15 ? ? . 3 3 3

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