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《数学周报》杯2009年全国初中数学竞赛试题及参考答案

时间:2011-12-05


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中国教育学会中学数学教学专业委员会 《数学周报》 “ 数学周报》杯”2009 年全国初中数学竞赛试题参考答案

小题, 一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分. 以下每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 选择题( 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号 里,不填、多填或错填都得 0 分) 不填、 不填 1.已知非零实数 a , b 满足 2a ? 4 + b + 2 + ( a ? 3)b + 4 = 2a ,则 a + b 等于
2

( (A)-1 【答】C. (B)0 (C)1 (D)2

) .

所以, 题设的等式为 b + 2 + ( a ? 3)b = 0 , 于是 a = 3,b = ?2 , 由题设知 a≥3, 解:
2

从而 a + b =1. 2.如图,菱形 ABCD 的边长为 a,点 O 是对角线 AC 上的一点,且 OA=a,OB =OC=OD=1,则 a 等于( (A) ) .

5 +1 2

(B)

5 ?1 2

(C)1

(D)2

(第 2 题)

【答】A. 解:因为△BOC ∽ △ABC,所以

BO BC = ,即 AB AC

1 a = , a a +1
所以, 由 a > 0 ,解得 a =

a2 ? a ?1 = 0 .
1+ 5 . 2

3.将一枚六个面编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为 a ,第二次掷出的点数为 b ,则使关于 x,y 的方程组

?ax + by = 3, 只有正数解的概率为( ? ?x + 2 y = 2

) .

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(A)

1 12

(B)

2 9

(C)

5 18

(D)

13 36

【答】D. 解:当 2a ? b = 0 时,方程组无解.

6 ? 2b ? ? x = 2a ? b , ? 当 2a ? b ≠ 0 时,方程组的解为 ? ? y = 2a ? 3 . ? 2a ? b ?
?2a ? b > 0, ?2a ? b < 0, ? 6 ? 2b ? ? 2a ? b > 0, ? 3 3 ? ? ? 由已知,得 ? 即 ?a > , 或 ?a < , 2 2 ? 2a ? 3 > 0, ? ? ? 2a ? b ?b < 3, ?b > 3. ? ? ?
由 a , b 的实际意义为 1,2,3,4,5,6,可得

3, 5, ?a = 2, 4, 6, ?a = 1, 共有 5×2=10 种情况;或 ? 共 3 种情况. ? 2, 5, ?b = 1, ?b = 4, 6,
又掷两次骰子出现的基本事件共 6×6=36 种情况,故所求的概率为 4.如图 1 所示,在直角梯形 ABCD 中,AB∥DC, ∠B = 90° .

13 . 36

动点 P 从点

B 出发,沿梯形的边由 B→C→D→A 运动. 设点 P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 y. 把 y
看作 x 的函数,函数的图像如图 2 所示,则△ABC 的面积为( (A)10 (B)16 (C)18 (D)32 ) .

图1 【答】B.

图2
(第 4 题)

解:根据图像可得 BC=4,CD=5,DA=5,进而求得 AB=8,故

S△ABC=

1 ×8×4=16. 2
) .

5.关于 x,y 的方程 x 2 + xy + 2 y 2 = 29 的整数解(x,y)的组数为( (A)2 组 【答】C. (B)3 组 (C)4 组 (D)无穷多组

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解:可将原方程视为关于 x 的二次方程,将其变形为

x 2 + yx + (2 y 2 ? 29) = 0 .
由于该方程有整数根,则判别式 ? ≥ 0 ,且是完全平方数. 由 解得

? = y 2 ? 4(2 y 2 ? 29) = ?7 y 2 + 116 ≥ 0 ,

y2 ≤ y2
?

116 ≈ 16.57 .于是 7
0 116 1 109 4 88 9 53 16 4

显然,只有 y 2 = 16 时, ? = 4 是完全平方数,符合要求. 当 y = 4 时,原方程为 x + 4 x + 3 = 0 ,此时 x1 = ?1, x2 = ?3 ;
2

当 y=-4 时,原方程为 x ? 4 x + 3 = 0 ,此时 x3 = 1, x4 = 3 .
2

所以,原方程的整数解为

? x1 = ?1, ? ? y1 = 4;

? x2 = ?3, ? ? y2 = 4;

? x3 = 1, ? ? y3 = ?4;

? x4 = 3, ? ? y4 = ?4.

小题, 二、填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 填空题( 6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶 5000 km 后报废;若把它安装 在后轮,则自行车行驶 3000 km 后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换 前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 【答】3750. 解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k,则安装在前轮的轮胎每行驶 1 km 磨损量为 km .

k k ,安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置 5000 3000

前走了 x km,交换位置后走了 y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

ky ? kx ? 5000 + 3000 = k , ? ? ? ky + kx = k , ? 5000 3000 ?
两式相加,得

k ( x + y) k ( x + y) + = 2k , 5000 3000
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x+ y =

2 1 1 + 5000 3000

= 3750 .

7.已知线段 AB 的中点为 C,以点 A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线段 AB 的延长线 上取点 D,使得 BD=AC;再以点 D 为圆心,DA 的长为半径作圆,与⊙A 分别相交于 F,G 两 点,连接 FG 交 AB 于点 H,则

AH 的值为 AB



解:如图,延长 AD 与⊙D 交于点 E,连接 AF,EF . 由题设知 AC =

1 1 AD , AB = AE ,在△FHA 和△EFA 中, 3 3
Rt△FHA∽Rt△EFA,

∠EFA = ∠FHA = 90° , ∠FAH = ∠EAF
所以

AH AF = . AF AE
而 AF = AB ,所以

AH 1 = . AB 3

(第 7 题)

8.已知 a1,a2,a3,a4,a5 是满足条件 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 9 的五个不同的整数, 若 b 是关于 x 的方程 ( x ? a1 )( x ? a2 )( x ? a3 )( x ? a4 )( x ? a5 ) = 2009 的整数根,则 b 的值 为 . 【答】 10. 解: 因为 ( b ? a1 )( b ? a2 )( b ? a3 )( b ? a4 )( b ? a5 ) = 2009 ,且 a1,a2,a3,a4,a5 是 五个不同的整数,所有 b ? a1,b ? a2,b ? a3,b ? a4,b ? a5 也是五个不同的整数. 又因为 2009 = 1× ( ?1) × 7 × ( ?7 ) × 41 ,所以

b ? a1 + b ? a2 + b ? a3 + b ? a4 + b ? a5 = 41 .
由 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 9 ,可得 b = 10 . 9.如图,在△ABC 中,CD 是高,CE 为 ∠ACB 的平分线.若 AC=15,BC=20,CD=12, 则 CE 的长等于 【答】 .

60 2 . 7
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解:如图,由勾股定理知 AD=9,BD=16,所以 AB=AD+BD=25 . 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形,且 ∠ACB = 90° . 作 EF⊥BC,垂足为 F.设 EF=x,由 ∠ECF = 20-x.由于 EF∥AC,所以

1 ∠ACB = 45° ,得 CF=x,于是 BF= 2



EF BF = , AC BC x 20 ? x = , 15 20
(第 9 题)

60 60 2 .所以 CE = 2 x = . 解得 x = 7 7
10.10 个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人 心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两 个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出 来.若报出来的数如图所示,则报 3 的人心里想的数 是 . 【答】 ?2 .

(第 10 题)

解:设报 3 的人心里想的数是 x ,则报 5 的人心里想的数应是 8 ? x . 于 是 报 7 的 人 心 里 想 的 数 是 12 ? (8 ? x ) = 4 + x , 报 9 的 人 心 里 想 的 数 是

16 ? (4 + x) = 12 ? x ,报 1 的人心里想的数是 20 ? (12 ? x) = 8 + x ,报 3 的人心里想的数
是 4 ? (8 + x ) = ?4 ? x .所以

x = ?4 ? x ,
解得 x = ?2 . 三、解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分) 解答题( 11.已知抛物线 y = x 2 与动直线 y = ( 2t ? 1) x ? c 有公共点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) ,
2 且 x12 + x2 = t 2 + 2t ? 3 .

(1)求实数 t 的取值范围; (2)当 t 为何值时,c 取到最小值,并求出 c 的最小值. (1)联立 y = x 2 与 y = ( 2t ? 1) x ? c ,消去 y 得二次方程 解:

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x 2 ? (2t ? 1) x + c = 0
有实数根 x1 , x2 ,则 x1 + x2 = 2t ? 1,



x1 x2 = c .所以

1 2 c = x1 x2 = [( x1 + x2 ) 2 ? ( x12 + x2 )] 2 1 1 2 2 2 = [(2t ? 1) ? (t + 2t ? 3)] = (3t ? 6t + 4) . 2 2
………………5 分 把②式代入方程①得



1 x 2 ? (2t ? 1) x + (3t 2 ? 6t + 4) = 0 . 2
………………10 分



t 的取值应满足
2 t 2 + 2t ? 3 = x12 + x2 ≥0,



且使方程③有实数根,即

? = (2t ? 1) 2 ? 2(3t 2 ? 6t + 4) = ?2t 2 + 8t ? 7 ≥0,
解不等式④得



t ≤-3 或 t ≥1,解不等式⑤得 2 ?

2 2 ≤t ≤2 + . 2 2

所以,t 的取值范围为

2?

2 2 ≤t ≤2 + . 2 2

⑥ ………………15 分

(2) 由②式知 c = 由于 c =

1 2 3 1 (3t ? 6t + 4) = (t ? 1) 2 + . 2 2 2

3 1 2 2 2 (t ? 1) 2 + 在 2 ? ≤t ≤ 2 + 时是递增的,所以,当 t = 2 ? 2 2 2 2 2
………………20 分

时, cmin =

3 2 1 11 ? 6 2 (2 ? ? 1) 2 + = . 2 2 2 4
3

12. 已知正整数 a 满足 192 a + 191 , a < 2009 , 且 求满足条件的所有可能的正整数 a 的和. 解:由 192 a + 191 可得 192 a ? 1 . 192 = 3 × 2 ,且
3 3 6

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a 3 ? 1 = ( a ? 1) [ a(a + 1) + 1] = (a ? 1)a(a + 1) + (a ? 1) .
………………5 分 因为 a ( a + 1) + 1 是奇数,所以 2 a ? 1 等价于 2 a ? 1 ,又因为 3 ( a ? 1) a ( a + 1) ,所
6 3 6

以 3 a ? 1 等价于 3 a ? 1 .因此有 192 a ? 1 ,于是可得 a = 192k + 1 .
3

………………15 分 又 0 < a < 2009 ,所以 k = 0,?, .因此,满足条件的所有可能的正整数 a 的和为 1, 10 11+192(1+2+…+10)=10571. ………………20 分

13.如图,给定锐角三角形 ABC, BC < CA ,AD,BE 是它的两条高,过点 C 作△ABC 的外接圆的切线 l ,过点 D,E 分别作 l 的垂线,垂足分别为 F,G.试比较线段 DF 和 EG 的 大小,并证明你的结论. 解法 1:结论是 DF = EG .下面给出证明. ………………5 分

因为 ∠FCD = ∠EAB ,所以 Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得

DF = BE ?
同理可得

CD . AB CE EG = AD ? . AB
………………10 分
(第 13A 题)

AD BE 又因为 tan ∠ACB = = ,所以有 BE ? CD = AD ? CE ,于是可得 CD CE DF = EG .
…………20 分 解法 2:结论是 DF = EG .下面给出证明. ……………… 5 分 连接 DE,因为 ∠ADB = ∠AEB = 90° ,所以 A,B,D,E 四点共 圆,故
(第 13A 题)

……

∠CED = ∠ABC .
又 l 是⊙O 的过点 C 的切线,所以 ∠ACG = ∠ABC . 所以, ∠CED = ∠ACG ,于是 DE∥FG,故 DF=EG.

………………10 分 ………………15 分

………………20 分

? 14.n 个正整数 a1,a2, ,an 满足如下条件: 1 = a1 < a2 < ? < an = 2009 ;

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且 a1,a2, ,an 中任意 n-1 个不同的数的算术平均数都是正整数.求 n 的最大值. ?

? 解 : 设 a1,a2, ,an 中去 掉 ai 后剩下 的 n -1 个 数的算 术平均 数为 正整数 bi ,
i = 1, ?,n .即 bi = 2,

(a1 + a2 + ? + an ) ? ai . n ?1 于是,对于任意的 1≤ i < j ≤n,都有 bi ? b j = a j ? ai n ?1


从而 由于 b1 ? bn =

n ? 1 (a j ? ai ) . an ? a1 2008 = 是正整数,故 n ?1 n ?1 n ? 1 23 × 251 .
由于

………………5 分

………………10 分

an ? 1 = ( an ? an ?1 ) + ( an ?1 ? an ? 2 ) + ? + ( a2 ? a1 )
≥ ( n ? 1) + ( n ? 1) + ? + ( n ? 1) = ( n ? 1) ,
2

所以, ( n ? 1) 2 ≤2008,于是 n ≤45. 结合 n ? 1 23 × 251 ,所以,n ≤9. ………………15 分

另一方面,令 a1 = 8 × 0 + 1, a2 = 8 ×1 + 1, a3 = 8 × 2 + 1 ,…, a8 = 8 × 7 + 1 ,

a9 = 8 × 251 + 1 ,则这 9 个数满足题设要求.
综上所述,n 的最大值为 9. ………………20 分

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