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中职数学8.2.4直线与直线的位置关系(一)



直线

直线 圆

8.2.4直线与直线的位置关系(一)

1.回答下列问题

(1)直线 y=2 x+1 的斜率是
(2)直线 y=2 的斜率是 (3)直线 x=2 的斜率是 2.问题

,在 y 轴上的截距是
; .

;



,在 y 轴上的截距是 ,在 y 轴上的截距

在平面内,两条直线要么平行,要么相交,要么 重合.那么,给定平面直角坐标系中的两条直线,能

否借助于方程来判断它们的位置关系?

两条直线的交点
(1)给定平面直角坐标系中的两条直线 l1:y=k1x+b1; l2:y=k2x+b2. 如果一个点是 l1 与 l2 的交点,那么它的坐标必满足

? y ? k1 x ? b1 ? ? y ? k 2 x ? b2



两条直线的交点
(2)

? y ? k1 x ? b1 ? ? y ? k 2 x ? b2



方程组 ① 有一组解 ? 两直线有一个公共点 ? 直线 l1 与 l2 相交;

方程组 ① 有无数组解 ? 两直线有无数公共点?直线 l1 与 l2 重合; 方程组 ① 无解?两直线没有公共点?直线 l1 与 l2 平行.

例2 判断下列各对直线的位置关系(相交、平行或 重合),如果相交,求出交点:

(1)l1:x-1=0,l2:y+4=0;
(2)l1:x-y-3=0,l2:x+y+1=0; (3)l1:x-2y+3=0,l2:2x-4y+6=0.

解: xx ??y1? ?30? 0 ?? (2 1)联立得方程组 ? ? 解得:

xy? 10 ?0 ?y 4? ? ?? ? x ?1 ? 2 ? y ? ?4

因此, l1 与 l2 相交,且交点为(1,-2 4).

例2

判断下列各对直线的位置关系(相交、平行或重

合),如果相交,求出交点:

(1)l1:x-1=0,l2:y+4=0;
(2)l1:x-y-3=0,l2:x+y+1=0; (3)l1:x-2y+3=0,l2:2x-4y+6=0.

? x ? 2y ? 3 ? 0 解: (3)联立得方程组 ? ?2 x ? 4 y ? 6 ? 0
第二式减第一式的 2 倍得 0=0,所以上述方程 组有无穷多组解,即 l1 与 l2 有无穷多个交点. 因此,l1 与 l2 重合.

用斜率判断直线的位置关系
? y ? k1 x ? b1 ? ? y ? k 2 x ? b2
将方程组 ① 中两式相减,整理得 (k1-k2)x=-(b1-b2). ② ①

(1)当 k1≠k2 时,则方程组 ① 有多少解? l1 与 l2
有几个交点? l1 与 l2 是什么位置关系?

用斜率判断直线的位置关系
? y ? k1 x ? b1 ? ? y ? k 2 x ? b2
将方程组 ① 中两式相减,整理得 ①

(k1-k2)x=-(b1-b2) .



(2)当 k1=k2 且 b1≠b2 时,则方程组 ① 有多少解?
l1 与 l2 有几个交点?l1 与 l2 是什么位置关系? (3)当 k1=k2 且 b1=b2 时,则方程组 ① 有多少解? l1 与 l2 有几个交点? l1 与 l2 是什么位置关系?

如果 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 l1 与 l2 相交 ? k1≠k2;

l1 与 l2 平行 ? k1=k2 且 b1≠b2 ;
l1 与 l2 重合 ? k1=k2 且 b1=b2.

例1 判断下列各对直线的位置关系(相交、平行或

重合),如果相交,求出交点.
(1)l1:y=3x+4,l2:y=3x-4; (2)l1:y=-3,l2:y=1; (3)l1:y=-3x+4,l2:y= x-8.

解: (1)因为两直线斜率都为 3 ,而截距不相等, 所以 l1 与 l2 平行.
(2)因为两直线的斜率都为 0 ,而截距不相等, 所以 l1 与 l2 平行.

例1 判断下列各对直线的位置关系(相交、平行或

重合),如果相交,求出交点.
(1)l1:y=3x+4,l2:y=3x-4; (2)l1:y=-3,l2:y=1; (3)l1:y=-3x+4,l2:y= x-8. 解: (3)因为两直线斜率不相等,所以l1与l2相交.
? y ? ?3x ? 4 联立得方程组 ? ? y ? x ?8

解得: ? x ? 3 ? ? y ? ?5 因此, l1 与 l2 的交点为(3,-5).

判断下列各对直线的位置关系(相交、平行或重 合),如果相交,求出交点: (1)y=2x+3,y=-2x+1;

(2)3x-4=0,x=2;
(3)2x-y+1=0,x-2y+1=0.

? y ? k1 x ? b1 的解与两条直线的位置的对 1.方程组 ? ? y ? k 2 x ? b2 应关系.
2 .如果 l1:y=k1x+b1 ,l2:y=k2x+b2 ,则 l1 与 l2 相交 ? k1≠k2

l1 与 l2 平行 ? k1=k2 且 b1≠b2
l1 与 l2 重合 ? k1=k2 且 b1=b2

P 86 练习 A 组题第 1 题(2)(4), 第 2 题(2). P 86 练习 B 组题第 1 题(选做).


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