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立体几何的具体知识点能力篇


第七讲

立体几何

知识概要 一、直线、平面之间的位置关系 立体几何中的位置关系,主要考查直线与直线的平行和垂直,直线与平面的平行和垂 直,平面与平面的平行和垂直。在证明这些平行和垂直关系时,常常可以通过以下三个方面 入手: (1)利用定义或判定证明。如证明直线与平面平行,可利用定义:如果一条直线与一个平 面没有公共点,则这条直线与这个平

面平行(可用于反证) 。也利用判定:如果平面外一条 直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 (2)利用平行或垂直关系证明。如证明线线垂直常用三垂线定理:在平面内的一条直线, 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 (3) 利用向量法证明。 如对于直线 l1 和 l 2 , 可设 l1 , l 2 的方向向量为

a1 , a2 。 当 a1 ? ? a 2 ,

?

?

?

?

? ? 0 时 l1 // l 2 ;当 a1 ? a 2 ? 0 时, l1 ? l 2 。
二、空间中的角和距离 (1)求异面直线所成角 ①平面法:过点 P 作 l 1 // l1 , l 2 // l 2 ,则 l 1 与 l 2 的夹角就是 l1 与 l 2 的夹角。
‘ ’ ‘ ’

?

?

②向量法:设 l1 , l 2 的方向向量为 a1 , a 2 ,则 l1 与 l 2 的夹角为 arccos ?

?

?

a1 ? a 2 a1 ? a 2
?

?

?



注意:两条异面直线所成角的范围是 ? 0, (2)求直线与平面所成角

? ?? 。 ? 2? ?

①定义法:若直线 l 在平面 ? 内的射影是直线 l ,则 l 与 l 的夹角就是 l 与 ? 的夹角。
' '

②向量法:设直线 l 的方向向量为 a , n 是平面 ? 的法向量,则直线 l 与平面 ? 所成的角为
? ?

?

?

a? n

arcsin ? ? 。 a?n
最小角定理: 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角, 是这条斜线和这个平面内的直线所 成角中最小的角。 (3)求二面角 ①定义法:在二面角 ? -AB- ? 的半平面 ? 任取一点 P,过 P 作 AB 的垂线,垂足为 C,再

过 P 作 ? 的垂线,垂足为 D。连结 CD,则 CD ? AB ,故 ?PCD 为二面角 ? -AB- ? 的平 面角。 ②面积射影定理: 设二面角 ? -AB- ? 的大小为 ? , 平面 ? 内一个平面图形 M 的面积为 S,M, 在 ? 内的射影图形的面积为 S ,则 cos? ? ?
'

S' ,当 ? 为钝角时取“-”号,否则取“+” 。 S

③三面角的余弦定理:三面角 P-ABC 中, ?BPC ? ? , ?CPA ? ? , ?APB ? ? ,又二面 角 B—PA—C= ? ,则 cos? ?
?
?

cos? ? cos ? cos? 。 sin ? sin ?
?
?

④向量法:设 m , n 分别是二面角 ? -AB- ? 的面 ? , ? 的法向量,则< m , n >就是二面

角 ? -AB- ? 的平面角或其补角的大小,其中 cos m, n ?

? ?

m? n
?

? ?

m?n
(4)求两点间距离 ①将其置于某个三角形中,通过解三角形进行计算。 ②建立空间直角坐标系,利用空间两点间的距离公式计算。

?

③用异面直线上两点间的距离公式,如图, MN ? d ? m ? n ? 2mncos? ,其中, ?
2 2 2 2

是二面角 ? -AB- ? 的平面角,点 M,N 分别在半平面 ? , ? 内且 MA ? AB , NA ? AB , 有|AB|=d,|MA|=m,|NB|=n (5)求点到直线的距离 ①作出垂线段,直接计算。 ②利用平面几何知识,如转化为求三角形的高。 (6)求点到平面的距离 ①定义法:先作出垂线段,再求其长度。 ②体积法:转化为求一个棱锥的高 h ? 面上的高。 ③向量法:设 P 为平面 ? 外一点,PA 是平面 ? 的一条斜线(A 为斜足) , n 是平面 ? 的法
?
?

3V ,其中 V 为棱锥的体积,S 为底面面积,h 为底 S

n? PA
?

?

向量,则点 P 到平面的距离 d ?

n

(7)求异面直线距离

①定义法:作出两直线的公垂线段,再求其长度。 ②转化法:将异面直线的距离转化为平行线面间的距离或平行平面间的距离。 ③极值法:构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值。 ④向量法:设 n 是异面直线 l1 , l 2 的法向量,点 A,B 分别在直线 l1 , l 2 上,则两直线的距
?
?

n? AB
?

?

离d ?

n

三、多面体 棱柱和棱锥是两种基本的多面体,它们的基本概念和性质,高中课本已作了详尽的介绍,在 此不再重述。 这里主要介绍几个出现频率较高的多面体的有关性质以及关于多面体的一些重 要定理。 ① 长方体的性质 Ⅰ.长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和。 Ⅱ.长方体的一条对角线与其一端点上三条棱的夹角是 ? , ? , ? ,则

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1
Ⅲ.长方体的一条对角线与过其一端点的三个面的夹角分别是 ?1 ,? 2 ,? 3 ,则

sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ?3 ? 1
②四面体的性质 Ⅰ.任何一个四面体都有外接球和内切球。 Ⅱ.设四面体 ABCD 表面积为 S,内切球半径为 r,则它的体积为 V=Sr/3 Ⅲ.设四面体 ABCD 各面上的高分别为 h1 , h2 , h3 , h4 ,内切球半径为 r,则

1 1 1 1 1 ? ? ? ? r h1 h2 h3 h4
Ⅳ.(斯坦纳定理)在四面体 ABCD 中,体积为 V,记 AB 与 CD 所成角为 ? ,距离为 d,则

( AC ? BD ) ? ( BC ? AD ) 6V , cos? ? d ? sin ? ? AB ? CD 2 ? AB ? CD
其中,正四面体(四个面都是全等的正三角形的四面体)又具有以下特殊性质: Ⅰ.设正四面体的棱长为 a,高为 h,外接球半径为 R,内切球半径为 r,体积为 V,则

2

2

2

2

h?

6 6 6 2 3 a,R ? a,r ? a ,V ? a ,且 R+r=h,R=3r 3 4 12 12 3 。 3

Ⅱ.正四面体相邻两面的二面角为 arccos

Ⅲ.正四面体对棱间的距离是棱长的

2 倍。 2

③欧拉定理与正多面体 Ⅰ.欧拉定理:简单多面体的顶点数 V,棱数 E,面数 F 满足:V+F-E=2. Ⅱ.正多面体有且仅有 5 种:正四面体,正六面体(正方体) ,正八面体,正十二面体和正二 十面体。


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