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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3单元检测第二章 随机变量及其分布章末检测

时间:2018-01-03


章末检测
一、选择题


1.某一试验中事件 A 发生的概率为 p,则在 n 次独立重复试验中,A发生 k 次的 概率为( A.1-pk C.(1-p)k 答案 D
2 2. 设两个正态分布 N(μ1, σ2 σ2 )(σ2>0)的密度函数图象如图所示, 1)(σ1>0)和 N(μ2,

) B.(1-p)k·pn-k
k n-k D.Ck n(1-p) ·p

则有(

)

A.μ 1<μ 2,σ 1<σ

2

B.μ 1<μ 2,σ 1>σ
2

2

C.μ 1>μ 2,σ 1<σ 2D.μ 1>μ 2,σ 1>σ 答案 A

解析 正态分布函数的图象关于 x=μ 对称,σ的大小表示变量的集中程度.σ 越 大,数据分布越分散,曲线越“矮胖”;σ 越小,数据分布越集中,曲线越“瘦 高”. 3.一个口袋装有 2 个白球和 3 个黑球,则先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白 球的概率是( 2 1 A.3 B.4 答案 C 解析 由于是有放回摸球,所以第二次摸出 1 个白球,与第一次摸出白球无关, 2 即相互独立,所以第二次摸出白球的概率为5. 4.若随机变量 ξ 的分布列如下表所示,则 p1 等于( ξ -1 2 4 ) 2 C.5 ) 1 D.5

P 2 A.0 B.15 答案 B 1 2 2 解析 由5+3+p1=1,得 p1=15. 1 C.15 D.1

1 5

2 3

p1

1 5.某同学通过计算机测试的概率为3,他连续测试 3 次,其中恰有 1 次通过的概 率为( A. 4 2 B. 9 9 ) C. 4 27 D. 2 27

答案 A 11 12 4 解析 连续测试 3 次,其中恰有 1 次通过的概率为 P=C1 3( ) (1- ) = . 3 3 9 6.若随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 0 m 1 n )

其中 m∈(0,1),则下列结果中正确的是( A.E(ξ)=m,D(ξ)=n3 B.E(ξ)=n,D(ξ)=n2 C.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m-m2 D.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m2 答案 C

解析 ∵m+n=1,∴E(ξ)=n=1-m,D(ξ)=m(0-n)2+n(1-n)2=m-m2. 7.设随机变量 ξ~B(n,p),若 E(ξ)=2.4,D(ξ)=1.44,则参数 n,p 的值为( A.n=4,p=0.6 C.n=8,p=0.3 答案 B 解析 E(ξ)=np=2.4,D(ξ)=np(1-p)=1.44, 解得 n=6,p=0.4. 8.盒中有 1 个黑球,9 个白球,它们除颜色不同外,其他方面没什么差别,现由 10 人依次摸出 1 个球后放回,设第 1 个人摸出黑球的概率是 P1,第 10 个人摸出 B.n=6,p=0.4 D.n=24,p=0.1 )

黑球的概率是 P10,则( 1 A.P10=10P1 C.P10=0 答案 D

)

1 B.P10=9P1

D.P10=P1

解析 10 人依次有放回地摸球,即每次都从相同盒子摸球,故概率相同. 9 .将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ( A. ) 1 1 B. 9 12 C. 1 15 D. 1 18

答案 B 解析 总数为 63=216, 满足要求的点为(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),(1,3,5),(2,4, 6),同时公差可以为负,故还需乘以 2,还有 6 个常数列,故 P= 6×2+6 1 216 =12.

10.对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出 2 件.在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是( A. 3 2 B. 5 5 C. 1 10 D. 5 9 )

答案 D 解析 记“第一次摸出正品”为事件 A, “第二次摸到正品”为事件 B,则
1 1 C6 C9 3 P(A)=C1 C1=5, 10 9 1 C1 1 6C5 P(AB)=C1 C1=3. 10 9

故 P(B|A)=

P(AB) 5 = . P(A) 9

二、填空题 11.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18,19,20 层停靠,若该电梯在底 1 层载有 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为3,用 X 表示 这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数,则 P(X=4)=________. 10 答案 243 解析 考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验,这是 5 次独立重复试验,

1 故 X~B(5,3), 1 k 2 5-k 即有 P(X=k)=Ck 5( ) ×( ) 3 3 , k=0,1,2,3,4,5. 2 10 4 1 4 ∴P(X=4)=C5 (3) ×(3)1=243. 1 12.已知随机变量ξ ~B(5,3),随机变量 η=2ξ-1,则 E(η)=________. 7 答案 3 5 7 解析 E(ξ)=3,E(η)=2E(ξ)-1=3. 13 .设离散型随机变量 X ~ N(0 , 1) ,则 P(X≤0) = ________ ; P( - 2<X≤2) = ________. 1 答案 2 0.954 4

解析 正态曲线的对称轴为 x=0, 1 ∴P(X≤0)=P(X>0)=2; P(-2<X≤2)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4. 14.在某次学校的游园活动中,高二(2)班设计了这样一个游戏:在一个纸箱里放 进了 5 个红球和 5 个白球,这些球除了颜色不同外完全相同,一次性从中摸出 5 个球,摸到 4 个或 4 个以上红球即为中奖,则中奖的概率是________.(精确到 0.001) 答案 0.103 解析 设摸出的红球个数为 X,则 X 服从超几何分布,其中 N=10,M=5,n=5,
1 C4 C5 5C5 5 于是中奖的概率为 P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)= C5 +C5 ≈0.103. 10 10

三、解答题 15.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、 三个问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得零分.假设这名同学答对第一、 二、三个问题的概率分别为 0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得 300 分的概率; (2)求这名同学至少得 300 分的概率.

解 记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)=0.8,P(A2) =0.7,P(A3)=0.6. (1)这名同学得 300 分的概率
- -

P1=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
- -

=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3) =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228. (2)这名同学至少得 300 分的概率 P2=P1+P(A1A2A3)=0.228+P(A1)· P(A2)· P(A3)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564. 16.

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球将自由下落. 小 球在下落过程中,将 4 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每 1 次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是2. (1)求小球落入 A 袋中的概率 P(A); (2)在容器入口处依次放入 4 个小球,记ξ 为落入 A 袋中小球的个数,试求 ξ=3 的概率与 ξ 的数学期望 E(ξ). 解 (1)法一 记小球落入 B 袋中的概率为 P(B), 则 P(A)+P(B)=1. 由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入 B 袋, 1 1 1 ∴P(B)=(2)3+(2)3=4, 1 3 ∴P(A)=1-4=4. 法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一 次向右下落时小球将落入 A 袋,

1 1 3 2 1 3 3 ∴P(A)=C3 (2) +C3 (2) =4.

3 (2)由题意:ξ~B(4,4),
3 3 3 1 1 27 所以有 P(ξ=3)=C4 (4) (4) =64,

3 ∴E(ξ)=4×4=3. 17 .在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布 N(70,100).已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 人. (1)试问此次参赛学生的总数约为多少人? (2)若成绩在 80 分以上(含 80 分)为优, 试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人? 解 (1)设参赛学生的成绩为 X,因为 X~N(70,100),所以 μ=70,σ=10. 1 则 P(X≥90)=P(X≤50)=2[1-P(50<X<90)] 1 1 =2[1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]=2×(1-0.954 4) =0.022 8,12÷0.022 8≈526(人). 因此,此次参赛学生的总数约为 526 人. 1 (2)由 P(X≥80)=P(X≤60)= [1-P(60<X<80)] 2 1 1 =2[1-P(μ-σ<X<μ+σ)]=2×(1-0.682 6) =0.158 7,得 526×0.158 7≈83. 因此,此次竞赛成绩为优的学生约为 83 人. 18.(2013· 浙江理)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一 个红球得 1 分,取出一个黄球 2 分,取出蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 分布列; (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 η 为取出此球所 5 5 得分数.若 E(η)=3,D(η)=9,求 a∶b∶c. 解 (1)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时ξ=2,此时 P(ξ=2)= 3×3 = 6×6

3×2 2×3 1 1 ;当两次摸到的球分别是红黄、黄红时 ξ = 3 ,此时 P ( ξ = 3) = + = ; 4 6×6 6×6 3

当两次摸到的球分别是黄黄、 红蓝、 蓝红时 ξ=4, 此时 P(ξ=4)=

2×2 3×1 1×3 + + 6×6 6×6 6×6

1×2 2×1 1 5 =18; 当两次摸到的球分别是黄蓝、 蓝黄时 ξ=5, 此时 P(ξ=5)= + = ; 6×6 6×6 9 当两次摸到的球分别是蓝蓝时 ξ=6,此时 P(ξ=6)= 是 1×1 1 = ;所以 ξ 的分布列 6×6 36

ξ
P

2 1 4

3 1 3

4 5 18

5 1 9

6 1 36

(2)由已知得到:η 有三种取值即 1,2,3,所以 η 的分布列是

η
P 所以:

1 a a+b+c

2 b a+b+c

3 c a+b+c

? ? 5 5 a 5 2b ?D(η)=9=(1-3) ×a+b+c+(2-3) ×a+b+c 5 3c ? ? +(3-3) ×a+b+c
2 2 2

5 E(η)=3=

a 2b 3c + + a+b+c a+b+c a+b+c

所以 b=2c,a=3c, 所以 a∶b∶c=3∶2∶1.


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