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2014届高三数学一轮复习《立体几何中的向量方法(二)空间角与距离的求解》理


[第 44 讲

立体几何中的向量方法(二)——空间角与距离的求解]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.设平面 α 的法向量为 a=(1,2,-2),平面 β 的法向量为 b=(-2,-4,k),若 α ∥β ,则 k 等于( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 2. [2013·银川一模]

如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a=(0,2,1),b=( 2, 5, 5),那么这条斜线与平面的夹角是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 3.[2013·沈阳一模] 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为 ( ) A.75° B.60° C.45° D.30° 4. [2013·兰州一模] 在空间直角坐标系 O-xyz 中, 平面 OA B 的法向量为 n=(2, -2, 1),已知 P(-1,3,2),则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( ) A.4 B.2 C.3 D.1

能力提升 5.[2013·长春一模] 已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高 为 4,则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是 ( ) 8 3 A. B. 3 8 4 3 C. D. 3 4 6.[2013·西宁一模] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 A-BD1-B1 的大小为( ) A.60° B.30° C.120° D.150° 7.[2013·西安一模] 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2,3,1),B(4,1,-2), C(6,3,7),则△ABC 的重心坐标为( ) ? 7 ? ? 7 ? A.?6, ,3? B.?4, ,2? ? 2 ? ? 3 ? ? 14 ? ? 7 ? C.?8, ,4? D.?2, ,1? 3 ? ? ? 6 ? 8.在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E 是 C1D1 的中点,则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为 ( )

A.- C.

10 10

B.-

1 20

1 10 D. 20 10 9.在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,∠BCA=90°,点 D1,F1 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC= CA=CC1,则 B D1 与 AF1 所成的角的余弦值是( ) 30 1 30 15 A. B. C. D. 10 2 15 10 10.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,直线 BC1 与平面 A1BD 所成的角的余弦值是________. 11.如图 K44-1,在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M 是线 段 DC1 上的动点,则点 M 到直线 AD1 距离的最小值是________.

图 K44-1

图 K44-2

12. [2013·郑州二模] 如图 K44-2 所示, PA⊥平面 ABC, AC⊥BC, PA=AC=1, BC= 2, 则二面角 A-PB-C 的余弦值为________. 13.在空间直角坐标系中,定义:平面 α 的一般方程为:Ax+By+Cz+D=0(A,B,C, |Ax0+By0+Cz0+D| D∈R, 且 A, B, C 不同时为零), 点 P(x0, y0, z0)到平面 α 的距离为: d= , A2+B2+C2 则在底面边长与高都为 2 的正四棱锥中,底面中心 O 到侧 面的距离等于________. 14.(10 分)如图 K44-3,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点,已知 AB=2,AD=2 2,PA=2,求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

图 K44-3

15.(13 分)如图 K44-4 甲,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2,AD 1 1 =3,CD=1,点 E,F 分别在 AD,BC 上,且 AE= AD,BF= BC.现将此梯形沿 EF 折至使 AD 3 3

= 3的位置(如图乙). (1)求证:AE⊥平面 ABCD; (2)求点 B 到平面 CDEF 的距离; (3)求直线 CE 与平面 BCF 所成角的正弦值.

图 K44-4

难点突破 16. (12 分)[2013·长沙三模] 如图 K44-5, 正△ABC 的边长为 2a, CD 是 AB 边上的高, E,F 分别是 AC 和 BC 的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-CD-B. (1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值; (3)求二面角 B-AC-D 的余弦值.

图 K44-5

课时作业(四十四) 【基础热身】 1.C [解析] ∵α ∥β ,∴(-2,-4,k)=λ (1,2,-2),∴-2=λ ,k=-2λ , ∴k=4. a·b 3 2.D [解析] cosθ = = ,因此所求的夹角为 30°. |a||b| 2 3.C [解析] 如图,四棱锥 P—ABCD 中,过 P 作 PO⊥平面 ABCD 于 O,连接 AO,则 AO 是 AP 在底面 ABCD 上的射影,

∴∠PAO 即为所求线面角,∵AO= 即所求线面角为 45°.

2 AO 2 ,PA=1,∴cos∠PAO= = ,∴ ∠PAO=45°, 2 PA 2

→ |OP·n| |-2-6+2| 6 4.B [解析] d= = 2 = =2. 2 2 |n| 2 +(-2) +1 3 【能力提升】

5.C [解析] 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz, → → 则 A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4),AD1=(-2,0, 4),AB1= → ? ?n·AD1=0, → (0,2,4),AA1=(0,0,4),设平面 AB1D1 的法向量为 n=(x,y,z),则? 即 → ?n·AB ? 1=0, ? ?-2x+4z=0, ? 解得 x=2z 且 y=-2z,不妨设 n=(2,-2,1),设点 A1 到平面 AB1D1 的距 ?2y+4z=0, ? → |AA1·n| 4 离为 d,则 d= = . |n| 3 6.C [解析] 以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系,如图.

设 A(1,0,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0), → 则AC=(-1,1,0)为平面 BB1D1 的一个法向量. 设 n=(x,y,z)为平面 ABD1 的一个法向量. → → 则 n·AD1=0,n·AB=0,

? ?-x+z=0, ? ?z=x, → → 又AD1=(-1,0,1),AB=(0,1,0),∴? ∴? ? ? ?y=0. ?y=0. 取 n=(1,0,1). 1 → → ∴cos〈AC,n〉=- .∴〈AC,n〉=120°,结合图形知二面角 A-BD1-B1 的大小为 2 120°. 2+4+6 3+1+3 7 1+(-2)+7 7. B [解析] △ABC 的重心坐标为 x= =4, y= = , z= 3 3 3 3 =2. ? 1 ? 8. D [解析] 如图建立直角坐标系 D-xyz, 设 DA=1, A(1, 0, 0), C(0, 1, 0), E?0, ,1?. ? 2 ?

→ → ? 1 ? 则AC=(-1,1,0),DE=?0, ,1?,若异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ , ? 2 ? 10 → → 则 cosθ =|cos〈AC,DE〉|= . 10

? 1 ? 9.A [解析] 建立如图所示的坐标系,设 BC=1,则 A(-1,0,0),F1?- ,0,1?, ? 2 ? 1 1 1 1 1 → → ? ? → ? ? → ? ? B(0,-1,0),D1?- ,- ,1?,AF1=? ,0,1?,BD1=?- , ,1?.∴cos〈AF1,BD1〉= 2 ? ? 2 ?2 ? ? 2 2 ? → → AF1·BD1 30 = . → → 10 |AF1|·|BD1|

3 [解析] 如下图,以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴 3 建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,则 D(0,0,0),A1( 1,0,1),B(1,1,0),C1(0, → → → 1,1),∴DA1=(1,0,1),DB=(1,1,0),BC1=(-1,0,1),设平面 A1BD 的一个法向量 → ? ?x+z=0, ? ?z=-x, ?n·DA1=0, ? 为 n=(x,y,z),则? ∴? ∴? ?x+y=0, ? ?y=-x, → ? ?n·DB=0, ? 令 x=1 得,n=(1,-1,-1),设直线 BC1 与平面 A1BD 所成的角为 θ ,则 sinθ =|cos → |BC1·n| 2 6 → 〈BC1,n〉|= = = , → 3 2· 3 |BC1|·|n| 10. ∴cosθ = 1-sin θ =
2

3 . 3

11.

3 → a [解析] 设 M(0,m,m)(0≤m≤a),AD1=(-a,0,a),直线 AD1 的一个单位方 3

向向量 s0=?-

? ?

2 2? → ,0, ?,由MD1=(0,-m,a-m),故点 M 到直线 AD1 的距离 2 2 ?

d=

→ 2 → 2 |MD1| -|MD1·s0| )=

m2+(a-m)2- (a-m)2=

1 2

3 2 1 m -am+ a2,根式 2 2

-a a 3?a?2 a 1 2 1 2 3 内的二次函数当 m=- = 时取最小值 ? ? -a× + a = a ,故 d 的最小值为 a. 3 3 2?3? 3 2 3 3 2× 2 12. 3 3 [解析] 以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴建立空间直角坐标系 C-xyz,

则 A(1,0,0),B(0, 2,0),C(0,0,0),P(1,0,1),

→ → → ∴AP=(0,0,1),PB=(-1, 2,-1),CB=(0, 2,0), 设平面 APB 的法向量为 n1=( x1,y1,z1),平面 PBC 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),则 ?z1=0,

? ?-x1+ 2y1-z1=0, ? 2y2=0, 取 n1=(2, 2,0),n2=(-1,0,1). ? ?-x2+ 2y2-z2=0,
∴cos〈n1,n2〉= -2 6× 2 =- 3 . 3 3 . 3

结合图形知二面角 A-PB-C 的余弦值为

2 5 13. [解析] 如图,以底面中心 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(1,1, 5 0),B(-1,1,0),P(0,0,2),设平面 PAB 的方程为 Ax+By+Cz+D=0,将以上 3 个坐 标代入计算得 1 A=0,B=-D,C=- D, 2

1 ∴平面 PAB 的方程为-Dy- Dz+D=0, 2 |2×0+0-2| 2 5 即 2y+z-2=0,∴d= = . 2 2 5 2 +1

14.解:(1)∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥CD,又∵CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD, 又∵PD= 2 +(2 2) =2 3,CD=2, 1 ∴△PCD 的面积为 ×2×2 3=2 3. 2 (2)方法一:取 PB 的中点 F,连接 EF,AF,则 EF∥BC,∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角. 在△AEF 中,EF= 2,AF= 2,AE=2, ∴△AEF 是等腰直角三角形, π π ∴∠AEF= ,∴异面直线 BC 与 AE 所成的角大小为 . 4 4 方法二:如图所示,建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(2,2 2,0),E(1, 2, 1),
2 2

→ → ∴AE=(1, 2,1),BC=(0,2 2,0), → → 设AE与BC的夹角为 θ ,则 → → AE·BC 4 2 cosθ = = = . → → 2 |AE||BC| 2×2 2 π π 又∵0<θ ≤ ,∴θ = . 2 4 π 故异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 . 4 15.解:(1)证明:由题意知 AE=1,DE=2,AD= 3, 2 2 2 ∴AE +AD =DE . ∴∠EAD=90°,即 EA⊥AD. 又 EA⊥AB,AB∩AD=A,∴AE⊥平面 ABCD. (2)作 AK⊥DE 于点 K. 由题知 AB∥EF. ∵AB?平面 CDEF,EF? 平面 CDEF,∴AB∥平面 CDEF. ∴点 B 到平面 CDEF 的距离即为点 A 到平面 CDEF 的距离. ∵EF⊥AE,EF⊥ED,ED∩EA=E,

∴EF⊥平面 AED,∵AK? 平面 AED,∴AK⊥EF. 又 AK⊥DE,DE∩EF=E,∴AK⊥平面 CDEF. ∴AK 的长即为点 B 到平面 CDEF 的距离. 3 在 Rt△ADE 中,AK= , 2 3 . 2 (3)以点 A 为坐标原点,AD,AB,AE 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角 坐标系, 1 ? → ? 5 ? → ? 如图,则 B(0,2,0),C( 3,1,0),E(0,0,1),F?0, ,1?,BF=?0,- ,1?,BC 3 ? ? 3 ? ? → =( 3,-1,0),CE=(- 3,-1,1),设平面 BCF 的法向量 n=(x,y,z), ∴点 B 到平面 CDEF 的距离为

→ ? ?BF·n=0, 3? ? 由? 可取 n=?1, 3, ?. 3 ? ? → ? ?BC·n=0, 5 3 → 3 |CE·n| 65 设直线 CE 与平面 BCF 所成的角为 α ,则 sinα = = = . → 13 13 |CE||n| 5× 3 所以直线 CE 与平面 BCF 所成角的正弦值为 65 . 13

【难点突破】 16.解:(1)以 D 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系, 则 D(0, 0, 0), A(0, 0, a), B(a, 0, 0), C(0, 3a, 0), E? 0 ,

? ?

3 a? ? a 3 ? F? , a,0?. a, ?, 2 2? ? 2 2 ?

a? → → ?a ∴AB=(a,0,-a),EF=? ,0,- ?, 2? ?2 → 1→ 从而EF= AB, 2 → → ∴AB∥EF,又 AB?平面 DEF,EF? 平面 DEF, 故 AB∥平面 DEF.

→ → (2)∵AB∥EF,∴∠DEF 即为异面直线 AB 与 DE 所成的角(或其补角). 3 a? → ? ∵ED=?0,- a,- ?, 2 2? ?



a? ?a EF=? ,0,- ?,

?2

2?

→ → EF·ED 2 → → ∴cos〈EF,ED〉= = . → → 4 |EF||ED| 2 . 4 (3)∵n0=(1,0,0)为平面 ACD 的一个法向量,设 n=(x,y,z)为平面 ABC 的一个法向 量, 3 3 ? ? → → 则AB · n=ax-az=0, AC· n= 3ay-az=0, 取 z=1, 则 x=1 , y= .∴n=?1, ,1?, 3 3 ? ? ∴异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为

n·n0 21 从而 cos〈n,n0〉= = . |n||n0| 7
所以二面角 B-AC-D 的余弦值为 21 . 7


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