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高三文科数学一轮复习函数学案四

时间:2014-12-03


2015 届高三文科数学一轮复习函数学案四 ——二次函数
主备:施海尧 辅备:胡军强 一、 教学目标: 1. 理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 2. 会求二次函数在闭区间上的最值 3. 运用二次函数、二次方程、二次不等式之间关系解决有关问题 二、 知识梳理 1. 二次函数定义及解析式 2.二次函数最值问题和恒成立问题 3.二次函数根的分布问题 三、 教学过程 探究点

一:求函数解析式 例 1 求下列二次函数解析式. (1)顶点 (2, ?1) ,与 y 轴交点坐标为 (0, 1) ; (2) f ( x) 满足 f (0) ? 1 ,且满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ; (3)最大值为 2,且 f (0) ? f (2) ? 1 . 变式练习: 1.若二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图像的顶点坐标为 ? 2, ?1? , 与 y 轴的交点坐标为(0,11),
2

则 函数解析式为 2. 若

f ? x ? ? ?x2 ? ?b ? 2? x ? 3, x ?[b, c] 的 图 像 x=1 对 称 , 则 c=_______

f(x)=______

探究点二:求函数值域 例 2. 已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? 2ax ? 3 在区间 [?1, 1] 上有最小值,记作 g (a) .
(1)求 g (a) 的函数表达式; 变式练习: 1. 求二次函数 f ( x) ? ?2 x ? 6 x 在下列定义域上的值域:
2

(2)求 g (a) 的最大值.

(1) 定义域为 ?2,1 ;(2)定义域为 x ? Z 0 ? x ? 3 . 2.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 在区间 ?0, m? 上有最大值 3,最小值为 2,则 m 的取值范围 为
2 2

?

?

?

?



3.求 y ? ax ? 4 x ? 1在 x ? [0,3] 上的值域 4. y ? x ? 2 x ? 5 在区间 [a, a ? 3] 的值域 5.已知函数 y ? ? sin x ? a sin x ?
2

a 1 ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2

探究点三:二次函数性质 例 3. 两个二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 与 g ( x) ? bx2 ? ax ? c 的图象只可能是下列图象中
y y y y 的 . O x O x O x O x

1

变式练习 1.函数 y ? x2 ? bx ? c ( x ?[0, ??)) 是单调函数的充要条件是 ( ) ( A) b ? 0 (B) b ? 0 (C ) b ? 0 ( D) b ? 0 2 对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x ) 的一个不动点,已知函


f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? (b ?1)(a ? 0) , (1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;

探究点四:根的分布 例 4. 已知关于 x 的二次方程 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 .
(1)若方程有两根,其中一根在区间 (?1, 0) 内,另一根在区间 (1, 2) 内,求实数 m 的取值 范围; (2)若方程两根均在区间 (0,1) 内,求实数 m 的取值范围.

变式练习
1.已知二次函数 y ? ? m ? 2? x ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一
2

个小于 1,求实数 m 的取值范围。 2.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2 x ? 2ax ? 3 ? a ,如果函数 y=f(x)在区间(1,2)上有
2

零点,求实数 a 的取值范围。 探究点五:恒成立问题

例 5( . 1) 已知对于任意的 x ? R , 函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 总大于零, 则 a 的范围
(2)已知对于任意的 x ? [0,2] ,函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a 总大于零,则 a 的范围
2



(3)已知对于任意的 a ? [0,2] ,函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a 总大于零,则 a 的范围
2

(4)存在 x ? [0,2] ,使函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a 大于零,则 a 的范围
2

变式练习 1.已知 | m |≤ 2 ,函数 f ( x) ? ? x2 ? 2x ? 1 ? m 恒负,则 x 的取值范围是



2 2. 设函数 f ( x) ? ax ? x ? a ( x ?[?1,1]) 的最大值为 M (a) ,则对于一切 a ?[?1,1] ,

M (a) 的最大值为

2

2015 届高三文科数学一轮复习函数作业四 ——二次函数
1.若不等式 x
2

? 1? ? ax ? 1≥ 0 对一切 x ? ? 0, ? 成立,则 a 的最小值为 ? 2?
B. ?2 C. ?

(

)

A. 0
2. 已 知 函 数

5 2

D. ?3
,则下列不等式中成立的是 ( )

2 y? x ? b x? 且 c f (1 ? x) ? f (? x)

A. f (?2) ? f (0) ? f (2) C. f (0) ? f (2) ? f (?2)
3.在 R 上定义运算 ? : x ? y

B. f (0) ? f (?2) ? f (2) D. f (2) ? f (0) ? f (?2)

? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意 x 成立,则
C. ?

(

)

A. ? 1 ? a ? 1

B. 0 ? a ? 2

1 3 ?a? 2 2

D. ?

3 1 ?a? 2 2
( )

4.已知 2x2-3x≤0,那么函数 f(x)=x2+x+1 3 A.有最小值 ,但无最大值 4 19 C.有最小值 1,有最大值 4 5.设

3 B.有最小值 ,有最大值 1 4 D.无最小值,也无最大值

f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x2 ,若对任意的 x ??t,t ? 2? ,不等式
( )

f ( x ? t ) ≥ 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是
A. ? 2, ?∞ ?
6.已知函数

?

B. ? 2,∞ ? ?

C. ? 0, 2?

D. ? ? 2, ? 1? ? ?


? 2, ? ? 0?
( )

f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 4 ? a ? 0 ? ,若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 0 ,
B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 )

A. f ( x1 ) ? f ( x2 )

D. 大小不能确定
( )

7.二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=(

b a

)x 的图象只可能是

8.如果二次函数 点坐标为

y ? ? x2 ? 2mx ? m2 ? 3 的图象的对称轴为 x ? 2 ? 0 ,那么 m ?
,递增区间为
2

,顶

,递减区间为



?x +4x, 9.已知函数 f(x)=? 2 ?4x-x ,

x≥0, x<0.

若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是__________.

3

10.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:①c=0 时, f(x)是奇函数;②b=0,c>0 时,方程 f(x) =0 只有一个实根;③f(x)的图象关于(0 ,c)对称;④方程 f(x)=0 至多有两个实根.其中正确的命题是 __________. 11.设

f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,若 f (m) ? 0 , f (n) ? 0 , m ? n ,则一元二次方程 f ( x) ? 0
n) 内有
个解.

在区间 (m, 12.已知函数

f ( x) ? 2mx2 ? 2(4 ? m) x ? 1, g ( x) ? mx ,若对于任一实数 x , f ( x) 与 g ( x) 至少

有一个为正数,则实数 m 的取值范围是__________

13.已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? a2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,则实数 a 的 范围为 .
14. 已知函数 f ( x) ? x2 ? (4a ? 2)x ? 1(x ? [a ,a ? 1]) 的最小值为 g ( a ). 求函数 y ? g (a)

的解析式。

15.已知 a 是正实数, 函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ( x) 在区间 (-1,1) 上有零点,求 a 的取值范围.

16.如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米. 某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线 20

上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求 炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超 过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

4


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