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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 选修4-4 2

时间:2015-07-13


第二节 参 数 方 程

【知识梳理】 1.参数方程 参数方程的概念: 一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某
? ?x ? f ? t ? ? 个变数t的函数 ? ? y ? g ? t ? ,并且对于t取的每一个允许值,由这个方程

组所确定的点P(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫作这

条曲 参变数 简称_____. 参数 线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫作_______,

相对于参数方程,我们把直接用坐标(x,y)表示的曲线方程f(x,y)=0
叫作曲线的普通方程.

2.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 y-y0=tan α (x-x0) (α ≠
? ,点斜式) 2

参数方程
x 0 ? tcos? ? x ? __________, ? y0 ? tsin? . ? y ? __________ _____________

直线

(t为参数)
a ? rcos? ? x ? __________, ? b ? rsin? . y ? __________ ? _____________



(x-a)2+(y-b)2=r2
x 2 y2 ? 2 =1 2 a b

(θ 为参数) 椭圆
acos? ? x ? _______, ? bsin? . ? y ? _______ ___________

(a>b>0)

(θ 为参数)

3.参数方程与普通方程 普通方程与参数方程: 代数式 直接表示点的坐标之间的关系;参数方程是借助于 普通方程用_______

参数 间接地反映点的坐标之间的关系. _____

【小题快练】(本部分为教师用书独具)
x ?- 1 ? cos?, 1.(2014·北京高考)曲线 ? (θ 为参数)的对称中心( ? ? y ? 2 ? sin?

)

A.在直线y=2x上

B.在直线y=-2x上
C.在直线y=x-1上

D.在直线y=x+1上

x ? ?1 ? cos?, ?cos? ? x ? 1, 【解析】选B.由 ? 得 ? ?

所以(x+1)2+(y-2)2=1.

? y ? 2 ? sin?,

?sin? ? y ? 2.

曲线是以(-1,2)为圆心,1为半径的圆, 所以对称中心为(-1,2),在直线y=-2x上.

? x ? 2t, 2.(2015·咸阳模拟)已知直线l的参数方程为 ? (t为参数),圆C ? y ? 1 ? 4t

的极坐标方程为ρ =2 2 sinθ ,则直线l与圆C的位置关系为
A.相离 B.相切 C.相交 D.由参数确定

(

)

x ? 2t, 【解析】选C.将直线的参数方程 ? ?

? y ? 1 ? 4t

(t为参数)化为普通方程,

得2x-y+1=0. 将圆C的极坐标方程ρ=2 2 sinθ化为普通方程,得x2+y2-2 2 y=0,即 x2+(y- 2 )2=2, 圆心到直线的距离为d= 所以直线l与圆C相交.
2 ?1 <r= 5

2,

3.(2015·安庆模拟)以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为

极轴,建立极坐标系,在两种坐标系中取相同的单位长度,点A的极坐标
? 曲线C: ? x ? 2 ? cos ? (θ 为参数),则曲线C上的点B与点A 为 (2 2, ), ? 4

? y ? -2 ? sin ?

距离的最大值为

.

【解析】由点A的极坐标为 (2 2, ? ), 得直角坐标为A(2,2),曲线C:
? x ? 2 ? cos ? (θ 为参数)的直角坐标方程为(x-2)2+(y+2)2=1,圆心 ? ? y ? -2 ? sin ?
4

(2,-2)与点A(2,2)的距离为4,所以点A在圆的外部,则圆C上的点B与 点A距离的最大值为5. 答案:5

4.(2015·西安模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程是
1 ? x ? t ? , ? ? t ? ?y ? t ? 1 , ? t ?

以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极

坐标系,曲线C2的极坐标方程是 ?sin(? ? ? ) ? 1, 则两曲线交点间
3

的距离是

.

1 ? x ? t ? , ? ? t 化为普通方程,得x2-y2= 【解析】将曲线C1的参数方程 ? ?y ? t ? 1 ? t ? -4,将曲线C2的极坐标方程 ?sin(? ? ? ) =1化为直角坐标方程,得y= 3

-

2 2 2 3 x+2,代入x -y =-4,得x -2 3 x=0,解得

? x ? 0, ? x ? 2 3, ? ? y ? 2, ? ? y ? ?4,

即两曲线交点的坐标分别为A(0,2),B(2 3 ,-4), 所以两曲线交点间的距离是 |AB|=

?

2 3 ? 0 ? ? ?4 ? 2 ? ? 4 3.
2

?

2

答案:4 3

考点1

直线的参数方程与应用
? 的直线l与曲线ρ =3相交 4

【典例1】已知经过点P(-1,2),倾斜角为 于A,B两点,求|PA|·|PB|.

【解题提示】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程 ,利用直线参 数方程参数的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算 .

? 2 x ? ? 1 ? t, ? ? 2 【规范解答】直线l的参数方程为 ? (t为参数),代入圆的 ?y ? 2 ? 2 t ? 直角坐标方程x2+y2=9, 2 ?

整理,得t2+ 2 t-4=0. 设点A,B对应的参数分别是t1,t2,则t1·t2=-4, 所以|PA|·|PB|=|t1t2|=4.

【互动探究】若本例条件不变,如何求|AB|? 【解析】由题意可知,设点A,B对应的参数分别是t1,t2,则 t1+t2=- 2 ,t1t2=-4,

|AB|=|t1-t2|= ? t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2 ? 3 2.

【规律方法】直线的参数方程在交点问题中的应用 已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α ,点M(x,y)为l上任意一点,则 直线l的参数方程为 ?
? x ? x 0 ? tcos?, (t为参数). ? y ? y0 ? tsin?

(1)若M1,M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2,则
|M 0 M1||M 0 M 2 | ?| t1t 2 |, M1M 2 ?| t 2-t1 |?

? t 2 ? t1 ? -4t1t 2 .
2

(2)若线段M1M2的中点为M3,点M1,M2,M3对应的参数分别为t1,t2,t3,

则t 3= t 1 ? t 2 .
2

(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t2<0.

直线的参数方程中参数的几何意义

已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为α ,点M(x,y)为直线l上任意一点,
如图.

设e是直线l的单位方向向量,得e=(cosα ,sinα ). 设 M 0 M =te,显然有(x-x0,y-y0)=(tcosα ,tsinα ),

所以直线l的参数方程为 ?

? x ? x 0 ? tcos?, (t为参数). ? y ? y0 ? tsin?

由 M 0 M =te,得| M 0 M|=|te|=|t|,所以参数t的几何意义是有向线段
M 0 M 的数量(长度+方向):

①当t>0时,点M在点M0的上方;
②当t=0时,点M与点M0重合; ③当t<0时,点M在点M0的下方. 特别地,若直线l的倾斜角α =0时,
? x ? x 0 ? t, 直线l的参数方程为 ? ? y ? y0

④当t>0时,点M在点M0的右侧; ⑤当t=0时,点M与点M0重合; ⑥当t<0时,点M在点M0的左侧.

【变式训练】(2015·合肥模拟)已知抛物线C:y2=4a(x+a)(a>0),过原 点O的直线l与C交于A,B两点. (1)求|OA||OB|的最小值. (2)求
1 1 的值. ? OA OB

? x ? tcos? 【解析】(1)设直线l的参数方程为 ? (t为参数), ? y ? tsin?

与抛物线方程y2=4a(x+a)(a>0)联立, 得t2sin2θ-4atcosθ-4a2=0,
2 4acos? ? 4a 所以t1+t2= ,t1t2= 2 2 sin ? sin ? 2 得|OA||OB|=|t1t2|= 4a2 ≥4a2, sin ?

所以|OA||OB|的最小值为4a2.

4a t ? t ? 4t1t 2 sin 2 ? 1 t ?t (2) 1 ? 1 ? 1 2 ? | t1-t 2 | ? ? 1 2 ? ? ? . 2 OA OB t1 t 2 t1 t 2 4a t1 t 2 a sin 2 ?
2

? x ? 1 ? 3t, 【加固训练】(2015·随州模拟)已知直线l的参数方程为 ? ? y ? 1-2t

(t为参数),求直线l的斜率.
【解析】由直线l的参数方程 ? 以直线l的斜率为2 . 3

? x ? 1 ? 3t, y- 1 2 ?- , 所 (t为参数),得 x- 1 3 ? y ? 1-2t

考点2

圆的参数方程与应用

【典例2】(2014·广州模拟)在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点M的极坐标为 (4 2, ? ) ,曲线
? x ? 1 ? 2cos?, C的参数方程为 ? (α 为参数).求点M到曲线C上的点的距离 ?
4

的最小值.

? ? y ? 2sin?

【解题提示】将点的极坐标化为直角坐标,将曲线的参数方程化为普 通方程,利用几何性质计算.

【规范解答】由点M的极坐标 (4 2, ? ) ,得直角坐标为(4,4),由曲线C
? ? x ? 1 ? 2cos?, 的参数方程 ? ? ? y ? 2sin?
4

(α为参数),得普通方程为(x-1)2+y2=2,

圆心坐标为C(1,0),|CM|= ? 4 ? 1?2 ? 42 =5. 所以点M到曲线C上的点的距离的最小值为5- 2 .

【规律方法】

1.利用圆的参数方程求最值的技巧
(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题, 通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系. (2)求距离的问题,通过设圆的参数方程,就转化为求三角函数的值域 问题.

2.辅助角公式在求最值中的应用

辅助角公式asinθ +bcosθ =
其中sinφ= 或者tanφ=
b a ?b
2 2

a 2 ? b2 sin(θ +φ).
a a ?b
2 2

,cosφ=

,

b (a≠0),且角φ的终边经过点(a,b). a

借助其可求含参数的最值问题.

【变式训练】(2015·新乡模拟)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参
? x ? t ? 3, 数方程为 ? (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极 ? y ? 3t

轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ 2-4ρ cosθ +3=0.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.
(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围.

【解析】(1)直线l的普通方程为 3 x-y+3 3 =0.

曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=1.
(2)设点P(2+cosθ,sinθ)(θ∈R),
? | 2cos(? ? ) ? 5 3 | 6 则d= | 3(2 ? cos?)-sin? ? 3 3 | ? 2 2

所以d的取值范围是 [ 5 3-2 , 5 3 ? 2 ].
2 2

【加固训练】已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为:
? x ? 3 ? 3cos?, (θ 为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,直线的极 ? ? y ? 1 ? 3sin? 坐标方程为: ?cos(? ? ? ) =0,求圆C截直线所得的弦长. 6

? 【解析】圆C: ? x ? 3 ? 3cos?, (θ为参数)的普通方程为(x-

? y ? 1 ? 3sin? (y-1)2=9,表示以点( 3 ,1)为圆心,以3为半径的圆; 将直线 ?cos(? ? ? ) =0的方程化为直角坐标方程为 3 x-y=0,圆心 6 | 3 ? 3 ? 1| ( 3 ,1)到直线 3 x-y=0的距离d= =1, 2 3 ? 12

2+ ) 3

? ?

故圆C截直线所得弦长为 2 32 ?12 ? 4 2.

考点3

椭圆的参数方程
? x ? acos?, ? y ? 3sin?

【典例3】(2015·沈阳模拟)已知曲线C的参数方程是 ? (φ为参数,a>0),直线l的参数方程是 ?

? x ? 3 ? t, (t为参数),曲线C与 ? y ? ?1 ? t

直线l有一个公共点在x轴上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系. (1)求曲线C的普通方程. (2)若点A(ρ 1,θ ), B(?2 , ? ? 2? ),C(?3 , ? ? 4? ) 在曲线C上,求
? 1 OC
2

1 OA
2

3

3

?

1 OB
2

的值.

【解题提示】将直线与曲线的参数方程化为普通方程 ,利用三角函数 的诱导公式以及三角恒等变换公式计算.

? x ? 3 ? t, 【规范解答】(1)由直线l的参数方程 ? (t为参数),得普通方 ? y ? ?1 ? t

程为x+y=2.
? x ? acos?, x 2 y2 又曲线C: ? (φ为参数,a>0)的普通方程为 2 ? =1,由于 a 3 ? y ? 3sin?
2 2 x y 以曲线C的普通方程为 ? =1. 4 3

直线x+y=2与曲线的一个公共点在x轴上,得(2,0)在曲线上,得a2=4,所

(2)因为点A(ρ1,θ), B(?2 , ? ? 2? ),C(?3 , ? ? 4? ) 在曲线上,
3 3

即点A(ρ1cosθ,ρ1sinθ),
2? 2? ),?2sin(? ? )), 3 3 4? 4? C(?3cos(? ? ),?3sin(? ? )), 3 3 2 2 ( ? cos ? ) ( ? sin ? ) 1 1 依题意,得 =1, ? 4 3 B(?2 cos(? ?

得 12 ? 1 cos 2? ? 1 sin 2?,
?1 4 3

同理,得 12 ? 1 cos2 (? ? 2? ) ? 1 sin 2 (? ? 2? ),
?2 4 3 3 3 1 1 4? 1 2 4? 2 ? cos ( ? ? ) ? sin ( ? ? ), 2 ?3 4 3 3 3

所以

1 OA
2

?

1 OB
2

?

1 OC
2

?

1 1 1 ? ? ?12 ?2 2 ?32

1 2? 4? ? [cos 2 ? ? cos 2 (? ? ) ? cos 2 (? ? )] ? 4 3 3 1 2? 4? [sin 2 ? ? sin 2 (? ? ) ? sin 2 (? ? )] 3 3 3 4? 8? 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 1 1 ? cos 2? 3 ? 3 ] ? [ ? 4 2 2 2 4? 8? 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 1 1 ? cos 2? 3 ? 3 ] ? [ ? 3 2 2 2 1 3 1 3 7 ? ? ? ? ? . 4 2 3 2 8

【规律方法】圆与椭圆的参数方程的异同点
(1)圆与椭圆的参数方程

实质都是三角代换,有关圆或椭圆上的动点距离的最大值、
最小值以及取值范围的问题,通常利用圆或椭圆的参数方程 转化为三角函数的最大值、最小值求解. (2)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不 同,圆的参数方程中的参数是圆心角,椭圆的参数方程中的参数是离心 角,只有椭圆上的点在坐标轴上时,离心角才等于圆心角.

【变式训练】(2015·海口模拟)在直角坐标系中,以原点O为极点,x
? 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,设曲线C: ? x ? 3cos?, (α 为参数), ? y ? sin?

直线l:ρ (cosθ +sinθ )=4.

(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程. (2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.

2 ? x ? 3cos?, x 【解析】(1)由C: 消去参数得 ? y 2 ? 1. ? 3 ? y ? sin?

将直线l:ρ(cos θ+sin θ)=4化为直角坐标方程为x+y-4=0. (2)设曲线C上任意一点A( 3 cos α,sin α),
? | 2sin( ? ? )?4| 3cos ? ? sin ? ? 4 3 ? , 2 2

则A到直线l的距离 d ? 所以dmax=3 2 .

【加固训练】(2014·武威模拟)在直角坐标系xOy中,已知点P(0, 3 ),
? ? x ? 5cos?, 曲线C的参数方程为 ? ? ? y ? 15sin?

(φ为参数).以原点为极点,x轴的
3 ? 2cos(? ? ) 6 .

正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ = (1)判断点P与直线l的位置关系,说明理由.

(2)设直线l与曲线C的两个交点为A,B,求|PA|·|PB|的值.

【解析】(1)直线l: 2?cos(? ? ? ) ? 3,
6

即 3 ρcosθ+ρsinθ=

3, 3 ,

所以直线l的直角坐标方程为 3 x+y= 所以点P(0, 3 )在直线l上.

1 ? x ? ? t, ? 2 (2)设直线l的参数方程为 ? (t为参数),曲线C的直角坐标 ? ?y ? 3 ? 3 t 2 2 ? 2 ? 方程为 x ? y ? 1, 5 15

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,
有 3( ? 1 t)2 ? ( 3 ? 3 t)2 =15,
2 2

所以t2+2t-8=0,Δ=36>0,设方程的两根为t1,t2,
所以|PA|·|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=|-8|=8.


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