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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第一章 解三角形综合检测 新人教B版必修5

时间:2017-03-05


第一章

解三角形

(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,已知 a=11,b=20,∠A=130°,则此三角形( A.无解 C.有两解 B.只有一解 D.解的个数不定 )

【解

析】 根据大角对大边,∵b>a,∴∠B>∠A, ∵∠A=130°,∴本题无解. 【答案】 A 2.(2012?广东高考)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 【解析】 在△ABC 中, B.2 3 D. , sin B sin A 3 2 )

AC



BC

2 3 2? 2 BC?sin B ∴AC= = =2 3. sin A 3 2 【答案】 B 3.在△ABC 中,∠B=45°,∠C=60°,c=1,则最短边的边长等于( A. C. 6 3 1 2 B. D. 6 2 3 2 )

【解析】 ∵∠A=180°-45°-60°=75°, ∴∠A>∠C>∠B, ∴边 b 最短. 由

b c csin B sin 45° 6 = ,得 b= = = . sin B sin C sin C sin 60° 3

【答案】 A 4.在△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,则 a∶b∶c=( A. 3∶1∶1 C. 2∶1∶2 B.2∶1∶1 D.3∶1∶1
1

)

【解析】 由∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,得∠A=120°,∠B=30°,∠C=30°, 所以 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C= 【答案】 A 5.(2013?东营高二期中)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, 则△ABC 是( ) 3 1 1 ∶ ∶ = 3∶1∶1. 2 2 2

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 【解析】 sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=5∶11∶13,且∠C 是△ABC 的最大内角, 又因为 5 +11 -13 <0,故 cos C<0,∴角 C 为钝角. 【答案】 B 6.(2012?天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,
2 2 2

C=2B,则 cos C=(
A. 7 25

) 7 B.- 25 D. 24 25

7 C.± 25

【解析】 由 = ,且 8b=5c,∠C=2∠B, sin B sin C 所以 5csin 2B=8csin B, 4 所以 cos B= . 5 7 2 所以 cos C=cos 2B=2cos B-1= . 25 【答案】 A 7.符合下列条件的三角形有且只有一解的是( A.a=1,b=2,c=3 B.a=1,b= 2,∠A=30° C.a=1,b=2,∠A=100° D.b=c=1,∠B=45° 【解析】 A:a+b=3=c 不能构成三角形;B:bsin A<a<b.故有两解.C:a<b,故∠ )

b

c

A 应为锐角,而∠A=100°,不能构成三角形.D:b=c=1,△ABC 为等腰三角形,
∴∠B=∠C=45°, ∴∠A=90°,故只有一解.
2

【答案】 D 8.如图 1 所示,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得树 尖的仰角为 30°,45°,且 A、B 两点之间的距离为 60 m,则树的高度为( )

图1 A.(30+30 3) m C.(15+30 3) m B.(30+15 3) m D.(15+15 3) m

1 60? 2 60 PB 30 【解析】 由正弦定理可得 = , PB= = , sin?45°-30°? sin 30° sin 15° sin 15°

h=PB?sin 45°=
【答案】 A

30 ?sin 45°=(30+30 3)(m). sin 15°

9.(2013?阜新高二期中)在锐角三角形中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边,设 ∠B=2∠A,则 的取值范围是( A.(-2,2) C.(1,2)

b a

) B.(0,2) D.( 2, 3)

b sin B sin 2A 【解析】 ∵ = = =2cos A,而 30°<∠A<45°,故 2cos A∈( 2, 3), a sin A sin A
即 的取值范围是( 2, 3). 【答案】 D 10.已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),

b a

q=(b-a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为(
A. C. π 6 π 2 B. D. π 3 2π 3

)

【解析】 由 p∥q 得:(a+c)(c-a)-b(b-a)=0, 即 c -a -b +ab=0,∴a +b -c =ab.由余弦定理得:cos C= π ∴∠C= . 3 【答案】 B
3
2 2 2 2 2 2

a2+b2-c2 ab 1 = = . 2ab 2ab 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上) 11. (2012?北京高考)在△ABC 中, 若 a=3, b= 3, ∠A= π , 则∠C 的大小为________. 3

【解析】 在△ABC 中,由正弦定理可知 = , sin A sin B 3? 3 2 1 = . 3 2

a

b

即 sin B=

bsin A = a

π 又∵a>b,∴∠B= . 6 π ∴∠C=π -∠A-∠B= . 2 【答案】 π 2

1 2 2 2 12. (2013?大连高二检测)在△ABC 中, 如果 S△BAC= (a +b -c ), 那么∠C=________. 4 1 1 2 2 2 【解析】 由三角形面积公式 S△BAC= absin C= (a +b -c ), 2 4 ∴sin C=

a2+b2-c2 a2+b2-c2 ,而由余弦定理 cos C= , 2ab 2ab

∴sin C=cos C,∴∠C=45°. 【答案】 45°

图2 13.如图 2,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向 上,测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC= 45°,则塔 AB 的高是________米. 【解析】 在△BCD 中,CD=10 m,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC =30°, = , sin 45° sin 30° ∴BC= (m). 【答案】 10 6
4

BC

CD

CDsin 45°
sin 30°

=10 2m,在 Rt△ABC 中,tan 60°= ,∴AB=BCtan 60°=10 6

AB BC

14.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,给出下列结论: ①由已知条件,这个三角形被唯一确定; ②△ABC 一定是钝角三角形; ③sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3; 15 3 ④若 b+c=8,则△ABC 的面积是 . 2 其中正确结论的序号是________. 【解析】 由(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,可设 a=7k,b=5k,c=3k(k>0),

a,b,c 随着 k 的变化而变化,可知结论①错误.
?5k? +?3k? -?7k? ∵cos A= <0, 2?5k?3k ∴结论②正确. ∵sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3, ∴结论③正确. 1 3 15 3 ∵cos A=- ,∴sin A= ,若 b+c=8,不妨设 b=5,c=3,a=7,则 S△ABC= , 2 2 4 ∴结论④不正确. 【答案】 ②③ 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)(1)在△ABC 中,已知∠C=45°,∠A=60°,b=2,求此三角 形最小边的长及 a 与∠B 的值. (2)在△ABC 中,已知∠A=30°,∠B=120°,b=5,求∠C 及 a、c 的值. 【解】 (1)∵∠A=60°,∠C=45°, ∴∠B=180°-(∠A+∠C)=75°. ∴∠C<∠A<∠B. ∴c<a<b,即 c 边最小. 由正弦定理可得 a=
2 2 2

bsin A 2sin 60° = =3 2- 6, sin B sin 75°

bsin C 2sin 45° c= = =2 3-2. sin B sin 75°
综上可知,最小边 c 的长为 2 3-2,a=3 2- 6,∠B=75°. (2)∵∠A=30°,∠B=120°, ∴∠C=180°-(∠A+∠B)=30°. ∴∠A=∠C.∴a=c.

5

由正弦定理可得 a=

bsin A 5sin 30° 5 3 = = . sin B sin 120° 3

5 3 综上可知,∠C=30°,a=c= . 3 16.(本小题满分 12 分)(2012?课标全国卷)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,

C 的对边,c= 3asin C-ccos A.
(1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 【解】 (1)由 c= 3asin C-ccos A 及正弦定理得 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π 1 由于 sin C≠0,所以 sin(A- )= . 6 2 π 又 0<A<π ,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a =b +c -2bccos A,故 b +c =8. 解得 b=c=2. 17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,若∠B=60°,2b=a+c,试判断△ABC 的形状. 【解】 法一 由正弦定理,得 2sin B=sin A+sin C. ∵∠B=60°,∴∠A+∠C=120°, ∠A=120°-∠C,代入上式,得 2sin 60°=sin(120°-C)+sin C, 展开整理得, 3 1 sin C+ cos C=1. 2 2
2 2 2 2 2

∴sin(C+30°)=1,∴∠C+30°=90°, ∴∠C=60°,故∠A=60°. ∴△ABC 为正三角形. 法二 由余弦定理,得 b =a +c -2accos B. ∵∠B=60°,b= ∴(
2 2 2

a+c
2



a+c
2

) =a +c -2accos 60°.
2

2

2

2

整理得(a-c) =0,∴a=c,从而 a=b=c. ∴△ABC 为正三角形. 18.(本小题满分 14 分)(2013?东营高二检测)一缉私艇发现在方位角 45°方向,距离
6

12 海里的海面上有一走私船正以 10 海里/小时的速度沿方位角为 105°方向逃窜, 若缉私艇 的速度为 14 海里/小时,缉私艇沿方位角 45°+α 的方向追去,若要在最短的时间内追上 该走私船,求追及所需时间和 α 角的正弦. (注:方位角是指指北方向按顺时针方向旋转形成的角). 【解】 设缉私艇与走私船原来的位置分别为 A、B,在 C 处两船相遇, 由条件知∠ABC=120°,AB=12(海里), 设 t 小时后追及,∴BC=10t,AC=14t,由正弦定理得 10t 14t 5 3 11 = ? sin α = ,cos α = . sin α sin 120° 14 14 再由余弦定理得 100t =196t +144-2?12?14tcos α 3 2 ? 12t -33t+18=0,∴t=2 或 t= , 4 3 21 但当 t= 时,AC= <12=AB,不合, 4 2 5 3 ∴t=2(小时),sin α = . 14
2 2

7


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