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高三数学奥赛辅导系列:线性递归数列


线性递归数列
【基础知识】 1、 概念: ①、 递归式: 一个数列 {a n } 中的第 n 项 a n 与它前面若干项 a n?1 ,a n?2 , ?,a n?k( k ? n ) 的关系式称为递归式. ②、递归数列:由递归式和初始值确定的数列成为递归数列. 2、常用方法:累加法,迭代法,代换法,代入法等. 3、思想策略:构造新数列的思想. 4、常见类型: 类型Ⅰ:

?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

其特例为: (1) a n ?1 ? pan ? q ( p ? 0) (2) a n ?1 ? pan ? q(n) ( p ? 0) (3) a n ?1 ? p(n)a n ? q ( p ? 0) 解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列. 类型Ⅱ: ?

q ? 0) ?an ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p ? 0, (二阶递归) ?a1 ? a , a2 ? b(a,b为常数)

解题方法:利用特征方程 x 2 ? px ? q ,求其根 ? 、 ? ,构造 a n ? A? n ? B? n ,代入初始值求 得 A, B. 类型Ⅲ: a n ?1 ? f (a n ) 其中函数 f ( x) 为基本初等函数复合而成. 解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型. 【例题】 例 1、已知数列 {a n } 满足以下递归关系 ?
?a n ?1 ? 3a n ? 4 ,求通项 a n . ?a1 ? 1

例 2、已知数列 {a n } 满足 ?

?a n ?1 ? 2a n ? (2n ? 1) ?a1 ? 2

,求通项 a n .

例 3、已知数列 {a n } 满足 ?

?an ?1 ? nan ? 2 (n ≥ 2) ,求通项 a n . ?a1 ? 1

例 4、已知数列 {a n } 满足 ?

?a n ? 2 ? 3a n ?1 ? 2a n ,求通项 a n . ?a1 ? 1 , a 2 ? 2

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例 5、由自然数组成的数列 {a n } ,满足 a1 ? 1 , a m? n ? a m ? a n ? mn ,求 a n .

例 6、已知数列 {a n } 满足 a1 ? 10 , a n ?1 ? n ? 1 a n 4 ( n ≥1 ) ,求 a n .
n4

例 7、已知 f ( x) ? 求 xn .

x ,且 f ( x0 ) ? 1 ,方程 f ( x) ? x 有唯一解,设 x n ? f ( x n ?1 )( n ? N ) , a( x ? 2) 2

例 8、已知数列 {a n } 中, a1 ? 1 , a n?1 ? 1 ( 1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ) ,求 a n . 16

例 9、设正数列 {a n } 满足 an ≤ an ? an ?1 ,证明 an ≤
2

1 ( n ? 2 , 3 , 4 ,?) n?2

【练习】 1、已知数列 {a n } 满足以下递归关系,求 a n . (1) a1 ? 1 , an?1 ? 5an ? 12 ( n ? N ) (2) a1 ? 1 , a n?1 ? 2a n ? n ?1 ( n ? N ) (3) a1 ? 2 , a n?1 ? n ?1 a n ? 2 ( n ? N ) n n (4) a1 ? 1 , S n ? n 2 a n ( S n 为前 n 项和) (5) a1 ? 10 , a n ?1 ? 4 10a n ( n ≥ 2, n?N ) (6) ?
?a n ? 2 ? 2a n ?1 ? 3a n ? a1 ? a 2 ? 1

2、已知数列 {a n } 和 {bn } 中, a1 ? ?10 , b1 ? ?13 ,且 a n?1 ? ?2a n ? 4bn ,bn?1 ? ?5a n ? 7bn ,求 a n 和 bn .
2 ? 1 ( n ? 0 ,1,2,3,4,?) 3、已知 x 0 ? 0 , x n ?1 ? 5 x n ? 14x n ,证明 xn ? N ( n ? N ) .

4、已知数列 {a n } 满足: a n ? 3n cos n(arccos1 ) ,证明 a n 是不能被 3 整除的整数. 3

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