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高一第二学期物理竞赛辅导 第四讲 天体运动

时间:2012-05-02


第四讲
一:知识要点: 知识要点: (1)天体的运动遵循开普勒三定律.

天体运动

第一定律:所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳在这些椭圆的 一个焦点上. 第二定律:太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等.即: v rsinθ=常数 式中 r 为太阳和行星连线的距离,θ为行星的速度与太阳和行星连线之间的

夹角. 第三定律:所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等.即:

T 2 4π 2 = R 3 GM
式中 M 为太阳质量,G 为引力恒量. 实际上,在某一中心天体的引力作用下,绕中心天体运动的物体,都遵循以上三定律, 只需将太阳变为中心天体即可. (2)天体运动的向心力是靠万有引力提供的. 万有引力定律:任何两物体间都存在相互的引力作用,引力的大小与两物体质量的乘积 成正比,与物体间距离的平方成反比,引力的方向在两物体的连线上. 万有引力的计算公式 F=G·

m1m2 r2

式中 G 叫做引力常量,G=6.67×10-11N·m2/kg2.引力常数 G 是表征物体间相互作用的引力 性质,在数值上等于两个质量都是 1kg 的物体相距 1m 时的相互作用力. 万有引力定律适用于两个质量或者是两个质量均匀分布的球体之间的万有引力的计算. 但当两个物体之间的距离远大于它们自身的线度时,可以将这两个物体当作两个质点.另外, 质量均匀分布的球面对球面外质点的引力等同于把球面的质量集中于球心处的质点与球外 质点的引力,而质量均匀分布的球面对球面内质点的引力等于零. (3)天体运动的能量 当一颗质量为 m 的行星以速度 v 绕着质量为 M 的恒星做半径为 R 的圆周运动时,如果 以无穷远处作为势能为零的位置,则它的动能 Ek 和势能 Ep 分别为 E k=

1 2 mv 2
∴Ek=

Ep=-G

Mm R



G

Mm v2 =m R2 R

1 2 1 Mm mv = G 2 2 R

行星运动的总能量为

E=Ek+Ep=

1 Mm 1 1 Mm G -G =- G 2 R 2 2 R

从上式可以看出,卫星飞行越高,其速度越小,但是它的总能量越大,这是发射高轨道 卫星比较困难的原因之一.

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二、例题 例 1、如图 9 所示,半径为 R 的均质球质量为 M,球心在 O 点,现在被内切的挖去了一 个半径为 R/2 的球形空腔(球心在 O′) 。在 O、O′的连线上距离 O 点为 d 的地方放有一个 很小的、质量为 m 的物体,试求这两个物体之间的万有引力。

例 2、宇航员站在一星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一个小球.经过时间 t,小球 落到星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为 L.若抛出时的初速增大到 2 倍,则抛出点 与落地点之间的距离为 3 L.已知两落地点在同一水平面上,该星球的半径为 R,万有引力 常数为 G,求该星球的质量 M.

例 3、2000 年 1 月 26 日我国发射了一颗同步卫星,其定点位置与东经 98°的经线在同 一平面内,若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经 98°和北纬α=40°已知地球半 径 R、地球自转周期 T、地球表面重力加速度为 g(视为常量)和光速 c.试求该同步卫星发 出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间(要求用题给的已知量的符号表示).

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例 4、经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它 们的研究, 使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识.双星系统由两个星 体构成,其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他天体很远, 可以当作弧立系统处理. 现根据对某一双星系统的光度光测量确定,该双星系统中每个得体的质量都是 M,两者 相距 L.它们正围绕两者连线的中点作圆周运动. (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计算. (2)若实验上观测到的运动周期为 T 观测,且 T 观测︰T 计算=1︰ N , (N>1).为了解释 T 观测和 T 计算的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的 暗物质.作为一种简化模型,我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗 物质,而不考臣其他暗物质的影响.试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物 质的密度.

例 5、地球和太阳的质量分别为 m 和 M ,地球绕太阳作椭圆运动,轨道的半长轴为 a , 半短轴为 b ,如图 11 所示。试求地球在椭圆顶点 A、B、C 三点的运动速度,以及轨迹在 A、 C 两点的曲率半径。

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三:能力训练: 能力训练: 1.如图 3-3-10 所示,火箭内平台上放有测试仪器,火箭从地面起动后,以加速度

g 竖 2

直向上匀加速运动,升到某一高度时,测试仪器对平台的压力为起动前压力的 球半径为 R,求火箭此时离地面的高度.(g 为地面附近的重力加速度)

17 ,已知地 18

2.两颗靠得很近的天体,离其他天体非常遥远,它们以其连线上某一点为圆心各自做 匀速圆周运动时,两者之间的距离保持不变,科学家把这样的两个天体称为“双星” ,设双 星的质量分别为 m1,m2,它们之间的距离为 L.求双星的轨道半径 r1 和 r2,以及它们运动的周 期 T.

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3.一飞船沿半径为 R 的圆轨道绕地球运动,其运动周期为 T,如果飞船要返回地面, 可在轨道上某一点 A 处将速率降低到适当数值, 从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运 动,椭圆与地球表面在 B 点相切,如图 3-3-16 所示,求飞船由 A 点到 B 点所需的时间.(已 知地球半径为 R0)

4.两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动,它们通过轨道上同一点的时间相差半个 周期.已知轨道近地点离地心的距离是地球半径 R 的 2 倍,卫星通过近地点时的速度 v = 3GM 4 R ,式中 M 为地球质量,G 为引力常量.卫星上装有同样的角度测量仪,可测 出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角.试设计一种测量方案,利用这两个测量仪测定太 空中某星体与地心在某时刻的距离. (最后结果要求用测得量和地球半径 R 表示)

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