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创新设计必修五WORD训练2-2-1(2)


2.1
一、基础达标

数列的概念与简单表示法(二)

1.在递减数列{an}中,an=kn(k 为常数),则实数 k 的取值范围是 ( A.R C.(-∞,0) 答案 解析 C ∵{an}是递减数列, B.(0,+∞) D.(-∞,0] )

∴an+1-an=k(n+1)-kn=k<0. 1 1 2.

已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足 an+1=2an+2n,则此数列的第 4 项是 ( A.1 答案 B 1 B.2 3 C.4 5 D.8 )

3.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1· a2· a3· …· an=n2,则 a3+a5 等于 ( 25 A. 9 答案 解析 C a1a2a3=32,a1a2=22, 25 B.16 61 C.16 31 D.15 )

a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42, 32 9 52 25 61 则 a3=22=4,a5=42=16.故 a3+a5=16. 4.由 1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足 b1=2,当 n≥2 时,bn =abn-1,则 b6 的值是 ( A.9 答案 解析 C ∵bn=abn-1,∴b2=ab1=a2=3, B.17 C.33 D.65 )

b3=ab2=a3=5,b4=ab3=a5=9, b5=ab4=a9=17,b6=ab5=a17=33. 5.数列{an}的通项公式为 an=n2-6n,则它最小项的值是________. 答案 解析 -9 an=n2-6n=(n-3)2-9,∴当 n=3 时,an 取得最小值-9.

6.已知数列{an},an=an+m(a<0,n∈N*),满足 a1=2,a2=4,则 a3=________. 答案 解析 2 ?2=a+m, ?a=-1, ∵? ∴? 2 ?4=a +m, ?m=3.

∴an=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2. 7.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有多少个 点.



图(1)只有 1 个点,无分支;图(2)除中间 1 个点外,有两个分支,每个分

支有 1 个点;图(3)除中间 1 个点外,有三个分支,每个分支有 2 个点;图(4) 除中间 1 个点外,有四个分支,每个分支有 3 个点;…;猜测第 n 个图中除 中间一个点外,有 n 个分支,每个分支有(n-1)个点,故第 n 个图中点的个 数为 1+n(n-1)=n2-n+1. 8.已知数列{an}的通项公式为 an=-2n2+29n+3,求数列{an}的最大项. 解 29? 1 ? 由已知,得 an=-2n2+29n+3=-2?n- 4 ?2+1088, ? ?

29 由于 n∈N*,故当 n 取距离 4 最近的正整数 7 时,an 取得最大值 108. ∴数列{an}中的最大值为 a7=108. 二、能力提升 an 9.若 a1=1,an+1= ,则给出的数列{an}的第 4 项是 3an+1 ( )

1 A.16 答案 解析

1 B.17 C

1 C.10

1 D.25

a1 1 1 a2= = =4, 3a1+1 3+1 1 4

a2 1 a3= =3 =7, 3a2+1 4+1 1 7 a3 1 a4= =3 =10. 3a3+1 7+1 10.已知数列{an}满足要求 a1=1,an+1=2an+1,则 a5= ( A.15 B.16 答案 解析 C ∵数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1, C.31 D.32 )

∴a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31. 故选 C.

11.已知数列{an}满足 an+

? ?2an 1=? ? ?2an-1

1? ? ?0≤an<2?, ? ? ?1 ? ?2≤an<1?. ? ?

6 若 a1=7,则 a2 012 的值为________. 答案 解析 5 7 5 3 6 计算得 a2=7,a3=7,a4=7,故数列{an}是以 3 为周期的周期数列,

5 又知 2 012 除以 3 余 2,所以 a2 012=a2=7. 12.根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式. (1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*); an (2)a1=1,an+1=an+ ; n+1

(3)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*). 解 (1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9.猜想 an=(n-1)2.

n+1 3 4 5 (2)a1=1,a2=2,a3=2,a4=2.猜想 an= 2 . (3)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想 an=2n-1+1. 三、探究与创新 n+1 13.数列{an}中,a1=2,an+1= n an,求{an}的通项公式. 解 n+1 an+1 n+1 a2 a3 3 a4 4 an n ∵an+1= an,∴ = .∴ =2, = , = ,…, = . n an n a1 a2 2 a3 3 an-1 n-1

a2 a3 a4 an 3 4 n an 把上述等式相乘,得a × × × …× =2× × × …× ,即a =n,而 a1=2, a a 2 3 a n - 1 1 2 3 1 n-1 ∴an=2n.


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