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广东省中山市高二级2013—2014学年度第一学期期末统一考试(数学理)试题


中山市高二级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,

用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。

第Ⅰ卷(选择题共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1.― a ? 1 且 b ? 2 ‖是― a ? b ? 3 ‖的( A.充分不必要条件 C.充要条件
y x ? ?1 64 36 y 2 x2 ? ?1 16 9
2 2

). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).
y x ? ?1 36 64
2 2

2.焦点在 y 轴上的双曲线,实轴长 6,焦距长 10,则双曲线的标准方程是( A. C. B.

D.

y 2 x2 ? ?1 9 16

3.如果函数 y=ax2+bx+a 的图象与 x 轴有两个交点,则点(a,b)在 aOb 平面上的区域为(注:下列 各选项的区域均不含边界,也不含 y 轴) ( ).

B C 1 1 4.已知 x ? 1, y ? 1 且 ln x, , ln y 成等比数列,则 xy 有( 4 4 A.最大值 e B.最小值 e

A

D ).

C.最大值 e D.最小 值 e ?? 5 .设有一个质点位于 A(1 , 1 , –2) 处 , 在力 F =(2, 2, 2 2 ) 的作用下,该质点由 A 位移到
·1 ·

? ?? B(3, 4, ?2 ? 2) 时,力 F 所作的功( W ? F · S )的大小为(
A.16
2 2

). D.10 ).

B.14
2

C.12

6.方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 (mn ? 0) 在同一坐标系中的大致图象可能是(

A

B

C

D

7 . 某 同 学 对 教 材 《 选 修 2-2 》 上 所 研 究 函 数
1 并结合 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 的性质进行变式研究, 3

TI-Nspire 据你所学

图形计算器作图进行直观验证(如右图所示) ,根 的知识,指出下列错误的结论是( A. f ( x) 的极大值为 f (?2) ? B. f ( x) 的极小值为 f (2) ? ?
28 3 4 3

).

C. f ( x) 的单调递减区间为 (?2, 2) D. f ( x) 在区间 [?3,3] 上的最大值为 f (?3) ? 7 8. P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点 F2 作 ?F1PF2 外角平分线的垂线,垂足为 M ,则点 M 的轨迹是( A.椭圆 ). B.圆 C.双曲线 D.双曲线的一支

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡相应横线上) 9.在等差数列 {an } 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 90 ,则数列 {an } 的前 9 项的和为 10.若命题― ?x0 ? R , x02 ? (a ? 1) x0 ? 1 ? 0 ‖是假命题,则实数 a 的取值范围为 于 . . .

11.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等 12.在△ABC 中,有等式:① asinA=bsinB;② bsinC=csinB;③ acosB=bcosA;

a b?c . 其中恒成立的等式序号为________. ? sin A sin B ? sin C 13.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费 y2 与 到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 km 处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万 元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站 km. 14.已知下列命题: ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ① 若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有 AB + BC + CD + DA = 0 ;

·2 ·

? ? ? ? ? ? ② | a ? b |?| a | ? | b | 是 a 、 b 共线的充要条件; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③ 若 a, b, c 是空间三向量,则 | a ? b |?| a ? c | ? | c ? b | ; ??? ? ??? ? ??? ? ???? ④ 对空间任意点 O 与不共线的三点 A、B、C,若 OP =x OA +y OB +z OC (其中 x、y、z∈R) ,
则 P、A、B、C 四点共面. 其中不正确的命题的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 15. (13 分) 如图,在树丛中为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可 以观察到点 B,C. 并测量得到图中的一些数据,此外, ?CDA ? ?CEB ? 60? . (1)求 ?ABC 的面积; (2)求 A、B 两点之间的距离.

16. (13 分)已知等差数列 {an } 的公差 d ? 1 ,前 n 项和 (1)若 1, a1 , a3 成等比数列,求 a1 ; (2)若 S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围.

为 Sn .

17. (13 分)人们生活水平的提高,越来越注重科学饮食. 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该 至少提供 0.075 kg 的碳水化合物,0.06 kg 的蛋白质,0.06 kg 的脂肪. 1 kg 食物 A 含有 0.105 kg 碳水化合物,0.07 kg 蛋白质,0.14 kg 脂肪,花费 28 元;而 1 kg 食物 B 含有 0.105 kg 碳水化合 物,0.14 kg 蛋白质,0.07 kg 脂肪,花费 21 元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使 花费最低,每天需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg?最低花费是多少?

18. (13 分)如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA ,OB,OC 两两垂直,且 OA ? 1 ,OB ? OC ? 2 ,

E 是 OC 的中点. (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求直线 BE 与平面 ABC 所成角的正弦值.



O B





·3 ·

19. (14 分)已知直线 l : y ? 2 x 与抛物线 C : y ?

1 2 x 交于 A( xA , y A) 、 O(0,0) 两点,过点 O 与直线 l 4

垂直的直线交抛物线 C 于点 B( xB , yB ) . 如右图所示. (1)求抛物线 C 的焦点坐标; (2)求经过 A、B 两点的直线与 y 轴交点 M 的坐标; (3)过抛物线 x 2 ? 2 py 的顶点任意作两条互相垂直的直线, 过这两条直线与抛物线的交点 A、B 的直线 AB 是否恒过定点, 如果是,指出此定点,并证明你的结论;如果不是,请说明理由.

20. (14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x . (1)求 f ( x) 的最小值; (2)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a)) )处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值. (3)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围.

·4 ·

中山市高二级 2013—2014 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(理科)答案
一、选择题:ADCB 三、解答题: 15.解: (1) Rt ?ACD 中, AC ? 16?tan 60? ? 16 3 . ………………………………(2 分) BADB 11.8; 12.②④; 13.5; 14.②④. 二、填空题:9.162; 10. [?1, 3] ;

Rt ?BCE 中,

BC ? 1 6 ? t a n ?6?0

(4 分) 1 .6 ……………………………… 3
s i?n ?3 0
2 . ………(6 分) (1 m9 )2

?ABC 的面积为
(2) ?ABC 中,

1 S?ABC ? ? 1 6 3 ? 1 6 ?3 2

AB ? (16 3) 2 ? (16 3) 2 ? 2 ? 16 3 ? 16 3 ? cos30?

………(9 分)

= 16 3 ? 1 ? 1 ? 2 ? = 16 3 ? 2 ? 3 = 16 3 ?
4?2 3 2

3 2

…………………………………(11 分)

= 24 2 ? 8 6 .

……………………………………………………(13 分)

16.解: (1)因为数列 {an } 的公差 d ? 1 ,且 1, a1 , a3 成等比数列, 所以 a12 ? 1 ? (a1 ? 2) , 即 a12 ? a1 ? 2 ? 0 ,解得 a1 ? ?1 或 a1 ? 2 . (2)因为数列 {an } 的公差 d ? 1 ,且 S5 ? a1a9 , 所以 5a1 ? 10 ? a12 ? 8a1 , 即 a12 ? 3a1 ? 10 ? 0 ,解得 ?5 ? a1 ? 2 . ………………………………(9 分) ………………………(13 分) ………………………………(3 分) ……………………………(6 分)

17.解:设每天食用 x kg 食物 A, y kg 食物 B,总花费为 z 元,则目标函数为 z ? 28x ? 21y ,且 x, y 满足约束条件
?0.105 x ? 0.105 y ? 0.075 ?0.07 x ? 0.14 y ? 0.06 ? , …………………………………………………………(3 分) ? ?0.14 x ? 0.07 y ? 0.06 ? ? x ? 0, y ? 0

·5 ·

?7 x ? 7 y ? 5 ?7 x ? 14 y ? 6 ? 整理为 ? ,……(5 分) ?14 x ? 7 y ? 6 ? ? x ? 0, y ? 0

作出约束条件所表示的可行域, 如右图所示. ………(7 分) 将目标函数 z ? 28x ? 21y 变形
4 z . 如 图 , 作 直 线 y?? x? 3 21 l0 : 28x ? 21y ? 0 ,当直线 l0 平移经过可



行域, 在 此 时 z

过点 M 处时, y 轴上截距

z 最小,即 21

有最小值. ……(9 分) ?7 x ? 7 y ? 5 解方程组 ? ,得点 M 的 ?14 x ? 7 y ? 6
1 4 …………………………………………………………………(11 分) x? , y? . 7 7 ∴ zmin ? 28x ? 21y ? 16 ……………………………………………(12 分)

坐标为

1 4 kg (或 0.143 kg) ,食物 B 约 kg(或 0.571 kg) ,能够满足日 7 7 常饮食要求,且花费最低 16 元. ………………………………………(13 分) 18. 解: (1)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系.

∴ 每天需要同时食用食物 A 约

则有 A(0,0,1) 、 B(2,0,0) 、 C (0,2,0) 、 E (0,1,0). ……………………(2 分) ??? ? ???? EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ?1,0), AC ? (0, 2, ?1) ………(4 分) ??? ? ???? ?2 2 ………………………(6 分) ?? , cos < EB, AC > ? 5 5? 5

2 所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为 . ……………(7 分) 5 ? ? ? (2)设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ), 则 ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? 由 n1 ? AB知 : n1 ? AB ? 2 x ? z ? 0; ? ? ? ???? ? ? ? ???? 由 n1 ? AC知 : n1 ? AC ? 2 y ? z ? 0. ……………………………………(9 分) ? ? ? 取 n1 ? (1,1,2) , …………………………………………(10 分)
??? ? ?? ? 2 ?1 30 ? , …………………………………(12 分) cos < EB, n1 > 30 5? 6
所以直线 BE 与平面 ABC 所成角的正弦值为 19.解: (1)抛物线 C : y ?

30 . …………………(13 分) 30

1 2 x 的方程化为 x2 ? 4 y ,所以 2 p ? 4 , p ? 2 . ………(2 分) 4
·6 ·

∴ 抛物线 C 的焦点坐标为 (0,1) . ………………………………………(4 分)
1 2 ? ?y ? x (2)联立方程组 ? 4 ,解得点 A 坐标为 (8,16) . ? y ? 2 x ?

……………………(6 分)

1 ? y ? x2 ? ? 4 联立方程组 ? ,解得点 B 坐标为 (?2,1) . ?y ? ? 1 x ? ? 2

……………………(7 分)

所以直线 AB 的方程为 y ? 1 ? 令 x ? 0 ,解得 y ? 4 . ∴ 点 M 的坐标为 (0, 4) .

16 ? 1 ? ( x ? 2) , ……………………(8 分) 8 ? (?2)

……………………………………………(9 分)

(3)结论:过抛物线 x 2 ? 2 py 的顶点任意作两条互相垂直的直线,过这两条直线与抛物线的交 点的直线 AB 恒过定点 (0, 2 p) . 证明如下:
1 设过抛物线 x 2 ? 2 py 的顶点的一条直线为 y ? kx ( k ? 0 ) ,则另一条为 y ? ? x k
? x 2 ? 2 py 联立方程组 ? ,解得点 A 坐标为 (2 pk , 2 pk 2 ) . ? y ? kx

……………………………(10 分)

…………………………(11 分)

? x 2 ? 2 py 2p 2p ? 联立方程组 ? , ). 1 ,解得点 B 坐标为 (? k k2 ?y ? ? x k ?

……………………………(12 分)

2p 2 pk 2 ? 2 2p k ? (x ? 2 p ) , 所以直线 AB 的方程为 y ? 2 ? 2p k k 2 pk ? (? ) k

…………………………(13 分)

令 x ? 0 ,解得 y ? 2 p . ∴ 直线 AB 恒过定点 (0, 2 p) . ………………………………………………………(14 分)

20. 解: (1)由 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x ,得 f ?( x) ? x(2 ? cos x) . …………………(1 分) 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 . ………………………………………………(2 分)

f ( x) 与 f ?( x) 随 x 的变化情况如下:
·7 ·

……………………………………………………(4 分) 所以函数 f ( x) 在区间 (??,0) 上单调递减, 在区间 (0, ??) 上单调递增, f (0) ? 1 是 f ( x) 的 最小值. ………………………………………………………(5 分)

(2)因为曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y ? b 相切, 所以 f ?(a) ? a(2 ? cos a) ? 0 , b ? f (a) , 解得 a ? 0 , b ? f (0) ? 1 . ……………………………(7 分)

………………………………………………(9 分)

(3)当 b ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 最多只有一个交点; 当 b ? 1 时, f (?2b) ? f (2b) ? 4b2 ? 2b ? 1> 4b ? 2b ? 1 ? b , f (0) ? 1 ? b , 所以存在 x1 ? (?2b,0) , x2 ? (0, 2b) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? b . ………(12 分)

由于函数 f ( x) 在区间 (??, 0) 和 (0, ??) 上均单调,所以当 b ? 1 时曲线 y ? f ( x) 与直线
y ? b 有且只有两个不同 交点.

………………………………(13 分)

综上可知,如果曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有且只有两个不同交点,那么 b 的取值范围是
(1, ??) .

……………………………………………………(14 分)

·8 ·


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