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数列的综合应用


数列的综合应用
(推荐时间:70 分钟) 1. 已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足 bn=anan+1(n∈N*). (1)若{an}是等差数列,且 b3=12,求 a 的值及{an}的通项公式; (2)若{an}是等比数列,求{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)∵{an}是等差数列,a1=1,a2=a,

/>∴an=1+(n-1)(a-1). 又∵b3=12,∴a3a4=12, 即(2a-1)(3a-2)=12, 5 解得 a=2 或 a=- . 6 ∵a>0,∴a=2.∴an=n. (2)∵{an}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0), ∴an=an 1,∴bn=anan+1=a2n 1.
- -



bn+1 =a2, bn

∴数列{bn}是首项为 a,公比为 a2 的等比数列. 当 a=1 时,Sn=n; a?a2n-1? a2n 1-a 当 a≠1 时,Sn= 2 = 2 . a -1 a -1


n ?a=1?, ? ? 2n+1 综上,Sn=?a -a ?a≠1?. 2 ? a - 1 ? 2. 在等比数列{an}中,a1>0,n∈N*,且 a3-a2=8,又 a1、a5 的等比中项为 16. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)设 bn=log4an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,是否存在正整数 k,使得 + + +…+ S1 S2 S3 1 <k 对任意 n∈N*恒成立.若存在,求出正整数 k 的最小值;不存在,请说明理由. Sn 解 (1)设数列{an}的公比为 q,由题意可得 a3=16.

又 a3-a2=8,则 a2=8,∴q=2. ∴an=2n 1.


n+1 + (2)∵bn=log42n 1= , 2

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n?n+3? ∴Sn=b1+b2+…+bn= . 4 1 1 4 4 1 ∵ = = ?n-n+3?, Sn n?n+3? 3? ? 1 1 1 1 ∴ + + +…+ S1 S2 S3 Sn 1 1 4 1 1 1 1 1 1 = ?1-4+2-5+3-6+…+n-n+3? 3? ? 1 1 1 1 1 4 22 = ?1+2+3-n+1-n+2-n+3?< , 3? ? 9 ∴正整数 k 的最小值为 3. 1 3. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n2+kn(其中 k∈N+),且 Sn 的最大值为 8. 2 (1)确定常数 k,并求 an;
?9-2an? (2)求数列? n ?的前 n 项和 Tn. ? 2 ?



(1)由题知,当 n=k∈N*时,

1 Sn=- n2+kn 取得最大值, 2 1 1 即 8=Sk=- k2+k2= k2, 2 2 故 k2=16(k∈N*),因此 k=4, 9 从而 an=Sn-Sn-1= -n(n≥2). 2 7 9 又 a1=S1= ,所以 an= -n. 2 2 9-2an n (2)设 bn= n = n-1, 2 2 n-1 2 3 n Tn=b1+b2+…+bn=1+ + 2+…+ n-2 + n-1, 2 2 2 2 1 1 n 所以 Tn=2Tn-Tn=2+1+ +…+ n-2- n-1 2 2 2 n+2 1 n =4- n-2- n-1=4- n-1 . 2 2 2 4. (2012· 山东)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm,求数列{bm}的 前 m 项和 Sm. 解 (1)因为{an}是一个等差数列,

所以 a3+a4+a5=3a4=84,所以 a4=28.
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设数列{an}的公差为 d, 则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9. 由 a4=a1+3d 得 28=a1+3×9,即 a1=1, 所以 an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*). (2)对 m∈N*,若 9m<an<92m,则 9m+8<9n<92m+8, 因此 9m 1+1≤n≤92m 1,
- -

故得 bm=92m 1-9m 1.
- -

于是 Sm=b1+b2+b3+…+bm =(9+93+…+92m 1)-(1+9+…+9m 1)
- -



9×?1-81m? 1-9m - 1-81 1-9


92m 1-10×9m+1 = . 80 5. 已知等差数列{an}的首项 a1=4,且 a2+a7+a12=-6. (1)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn; (2)将数列{an}的前四项抽去其中一项后, 剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前三 项,记{bn}的前 n 项和为 Tn,若存在 m∈N+,使对任意 n∈N+总有 Tn<Sm+λ 恒成立, 求实数 λ 的最小值. 解 (1)由 a2+a7+a12=-6 得 a7=-2,

又 a1=4,所以公差 d=-1,所以 an=5-n, n?9-n? 从而 Sn= . 2 (2)由题意知 b1=4,b2=2,b3=1, b2 1 设等比数列的公比为 q,则 q= = , b1 2

?1?n? 4? ?1-?2? ? ? ?1?n? 所以 Tn= =8?1-?2? ?. 1 1- 2
1?n 因为 f(n)=? ?2? 是关于自然数 n 的减函数, 所以{Tn}是递增数列,得 4≤Tn<8. m?9-m? 9 1 81 m- ?2+ , 又 Sm= =- ? 2? 2 2? 8 当 m=4 或 m=5 时,Sm 取得最大值, 即(Sm)max=S4=S5=10, 若存在 m∈N+,使对任意 n∈N+总有 Tn<Sm+λ 恒成立,

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则 8≤10+λ,得 λ≥-2, 所以 λ 的最小值为-2. 6. 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程 中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是 4 万元,从第二年到第七年,每年的维 护费用均比上年增加 2 万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加 25%. (1)设第 n 年该生产线的维护费用为 an,求 an 的表达式; (2)若该生产线前 n 年每年的平均维护费用大于 12 万元时,需要更新生产线.求该生产 线前 n 年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 解 (1)由题知,当 n≤7 时,数列{an}是首项为 4,公差为 2 的等差数列,

故 an=4+(n-1)×2=2n+2. 当 n≥8 时, 数列{an}从 a7 开始构成首项为 a7=2×7+2=16, 5 公比为 1+25%= 的等比数列, 4 5?n-7 则此时 an=16×? ?4? , 2n+2,n≤7, ? ? ∴an=? ?5?n-7 ?16×?4? ,n≥8. ? (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, n?n-1? 当 1≤n≤7 时,Sn=4n+ ×2=n2+3n, 2 当 n≥8 时,由 S7=70, 5?n-7 1-? ? 4? 5?n-7 5 则 Sn=70+16× × =80×? ?4? -10, 4 5 1- 4 ∴该生产线前 n 年的每年平均维护费用为 n+3,1≤n≤7, ? S ?5? = n ?80×?4? -10 ,n≥8. ? n
n n-7

?Sn? 当 1≤n≤7 时,? n ?为递增数列, ? ?

当 n≥8 时, 5?n-6 ?5?n-7 80×? ?4? -10 80×?4? -10 Sn+1 Sn 因为 - = - n n+1 n n+1

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5?n-7 ?n ? 80×? ?4? · ?4-1?+10 = >0, n?n+1? ∴ Sn+1 Sn > . n+1 n
? ?

?Sn? ∴? n ?也为递增数列.

5 80× -10 4 S7 S8 又∵ =10<12, = =11.25<12, 7 8 8 S9 = 9 5?2 80×? ?4? -10 9

≈12.78>12,

则第 9 年年初需更新生产线.

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