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坐标系与参数方程(知识点+选题)

时间:2017-03-16


第一节
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

坐标系

?x′=λx,λ>0, ? 设点 P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 φ: ?y′=μy,μ>0 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标 伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:如图 1 所示,在平面内取一个定点 O(极点),自极点 O 引一条 射线 Ox(极轴); 再选定一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通 常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

图1 (2)极坐标: 平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点 M 的极坐标.其中 ρ 称 为点 M 的极径,θ 称为点 M 的极角. 3.极坐标与直角坐标的互化 点M 互化公式 4.圆的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半径为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ=r(0≤θ<2π) ρ=2rcos_θ 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 π? ? π ?-2≤θ≤2? ? ? 直角坐标(x,y) ?x=ρcos θ, ? ?y=ρsin θ 极坐标(ρ,θ) ρ2=x2+y2 y tan θ=x(x≠0)

1

? π? 圆心为?r,2?,半径为 r 的圆 ? ? 5.直线的极坐标方程

ρ=2rsin_θ (0≤0<π)

(1)直线 l 过极点, 且极轴到此直线的角为 α, 则直线 l 的极坐标方程是 θ=α(ρ ∈R). (2)直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴,则直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ= π? ? π a?-2<θ<2?. ? ? π? ? (3)直线过 M?b,2?且平行于极轴,则直线 l 的极坐标方程为 ρsin_θ=b(0<θ ? ? <π).

第二节
1.曲线的参数方程

参数方程

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个 ?x=f?t?, 变数 t 的函数? 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点 ?y=g?t? M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变 数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程,如果知道变数 x,y 中的一个与参 数 t 的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系 y ?x=f?t?, =g(t),那么? 就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中, ?y=g?t? 必须使 x,y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 直线 普通方程 y-y0=tan α(x-x0) 参数方程 ?x=x0+tcos α, ? (t 为参数) ?y=y0+tsin α

2



x2+y2=r2 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0)

?x=rcos θ, ? (θ 为参数) ?y=rsin θ ?x=acos φ, ? (φ 为参数) ?y=bsin φ

椭圆

温馨提示:在直线的参数方程中,参数 t 的系数的平方和为 1 时,t 才有几 何意义且几何意义为:|t|是直线上任一点 M(x,y)到 M0(x0,y0)的距离. 重点 1 坐标系与参数方程
[来源:Z+xx+k.Com]

1.极坐标和直角坐标互化的前提条件是: (1)极点与直角坐标系的原点重合; (2)极轴与直角坐标系的 x 轴正半轴重合; (3)两种坐标系取相同的长度单位.设点 P 的直角坐标为 ( x, y ) ,它的极坐标为 ( ? ,? ) ,

?? 2 ? x2 ? y 2 ? x ? ? cos ? ? 则互化公式是 ? 或? y ;若把直角坐标化为极坐标,求极角 ? 时,应 ? y ? ? sin ? ? tan ? ? x ?
注意判断点 P 所在的象限( 即角 ? 的终边的位置) ,以便正确地求出角 ? ,在 转化过程中注 意不要漏解,特别是在填空题和解答题中,则更要谨防漏解. 2.消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径,常用方法有代入消元法(包括集团代人 法) 、加减消元法、参数转化法和三角代换法等,转化的过程中要注意参数方程中 x, y 含有 的限制条件,在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性. 3.参数方程的用途主要有以下几 个方面: (1)求动点 ( x, y ) 的轨迹,如果 x, y 的关系不好找,我们引入参变量 t 后,很容易找 到 x 与

t 和 y 与 t 的等量关系式,消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程
中起桥梁作用. (2) 可以用曲线的参数方程表示曲线上 一点的坐标, 这样把二元问题化为一元问题来解决, 这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能. (3)有些曲线参数方程的参变量 t 有几何意义. 若能利用参变量的几何意义解题,常会取 得意想不到的效果.如利用 直线标准参数方程中 t 的几何意义解题,会使难题化易、繁题化 简.

[高考常考角度]
角度 1 若曲线的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? 4 cos? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建 立直角坐标系,则该曲线的 直角 坐标方程为 . 解析:关键是记住两点:1、 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,2、 ? ? x ? y 即可.
2 2 2

由已知

? ? 2sin ? ? 4cos? ?? ? 2 ? 2? sin ? ? 4? cos? ?? x2 ? y 2 ? 2 y ? 4x,
? x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 为所求.

3

角度 2 在极坐标系中,点 (?,

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆 心的距离为(



A. 2

B.

4?

?2
9

C.

1?

?2
9

D.

3

解 析 : 极 坐 标 (? ,

, 2sin ) , 即 (1, 3 ). 圆 的 极 坐 标 方 程 3 3 ? 2 ? ? 2cos ? 可 化 为 ? ? 2? cos? , 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x2 ? y 2 ? 2 x , 即

?

) 化 为 直 角 坐 标 为 (2 cos

?

?

( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 所 以 圆 心 坐 标 为 ( 1,0 ), 则 由 两 点 间 距 离 公 式
d ? (1 ? 1) 2 ? ( 3 ? 0) 2 ? 3 .故选 D.

5 2 ? ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? (0≤?<? ) 和 ? 角度 3 已知两曲线参数方程分别为 ? 它们的 4 (t ? R ) , y ? sin ? ? ? ? ?y ? t
交点坐标为 .

5 2 ? ? 4 x2 ?x ? t ? x ? 5 cos ? 2 2 ? y ? 1 ( y ? 0) , ? 解: ? 表示椭圆 4 表示抛物线 y ? x 5 5 ? ? y ? sin ? ? ?y ? t
? x2 ? y2 ? 1 ? ?5 ?? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ?? x ? 1 或 x ? ?5 (舍去) 联立得 ? , ? y2 ? 4 x ? 5 ? 2 5 又因为 y ? 0 ,所以它们的交点坐标为 (1, ) 5
[来源:学#科#网]

角度 4

直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点

? x ? 3 ? cos? A, B 分别在曲线 C1 : ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 | AB | 的最小 值 ? y ? 4 ? sin ?
为 . 点评:利用化 归思想和数形结合 法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程. 解析:曲线 C1 的方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 ,曲线 C2 的方程是 x ? y ? 1,两圆外离,
2 2 2 2

所以 | AB | 的最小值为 32 ? 42 ?1 ?1 ? 3 .

? x ? cos ? 角度 5 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 ? y ? sin ? ? x ? a cos ? 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) ,在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的 ? y ? b sin ?
极坐标系中,射线 l: ? ? ? 与 C1 , C2 各有一个交点.当 ? ? 0 时,这两个交点间的距离

4

为 2,当 ? =

?
2

时,这两个交点重合.

(Ⅰ)分别说明 C1 , C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (Ⅱ)设当 ? =

?
4

时,l 与 C1 , C2 的交点分别为 A1 , B1 ,当 ? = ?

?
4

时,l 与 C1 , C2 的交点为

A2 , B2 ,求四边形 A1 A2 B2 B1 的面 积.
x2 y 2 解析: (Ⅰ) C1 , C2 的普通方程分别为 x ? y ? 1和 2 ? 2 ? 1 ,故 C1 是圆, C2 是椭圆. a b
2 2

当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1 , C2 交点的直角坐标分别为 (1,0),(a,0) ,因为这两点间的距离 为 2,所以 a ? 3 . 当? ? 所以 b ? 1 . (Ⅱ) C1 , C2 的普通方程分别为 x 2 ? y 2 ? 1和

?
2

时,射线 l 与 C1 , C2 交点的直角坐标分别为 (0,1), (0, b) ,因 为这两点重合,

x2 ? y 2 ? 1. 9 ? 2 当 ? ? 时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x ? ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 4 2 3 10 x? ? . 10 ? 当 ? ? ? 时,射线 l 与 C1 , C2 的两个交点 A2 , B2 分别与 A1 , B1 关于 x 轴对称,因此, 4 四边形 A1 A2 B2 B1 为梯形. (2 x ? ? 2 x)( x ? ? x) 2 ? . 故四边形 A1 A2 B2 B1 的面积为 2 5
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易失分点 1

参数的几何意义不明

1 ? x? t ? 2 ? 典例 已知直线 l 的 参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以平面直角坐标系 xOy 中 2 3 ?y ? ? t ? ? 2 2
的 O 点为极点,Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方 程为 ? ? 2 cos(? ?

?
4

).

(1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 | AB | . 易失分提示:对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误.

5

? ? x ? t cos ? 3 ? 解析: (1)直线的参数方程可以化为 ? ,根据直线参数方程的意义,直线 l ? y ? 2 ? t sin ? ? 2 3 ?
经过点 (0,

? 2 ) ,倾斜角为 . 3 2
2 ,即 2 3x ? 2 y ? 2 ? 0 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ?1, 2 2

(2) l 的直角坐标方程为 y ? 3x ?

曲线 C ? ? 2 cos(? ?

?
4

) 的直角坐标方程为 ( x ?

所以圆心 (

2 2 , ) 到直线 l 的距离 d ? 2 2

| 2 3?

2 2 ? 2? ? 2| 6 2 2 ? 4 12 ? 4

所以 | AB |? 2 ? 1 ? (

6 2 10 ) ? 4 2

易失分点 2

极坐标表达不准

[来源:Z.xx.k.Com]

典例 已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3, ? ? 4cos ? , ? ? 0, 则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为___ ______________ 易 失 分 提 示 : 本 题 考 查 曲 线 交 点 的 求 法 , 易 错 解 为 : 由 方 程 组
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

?? ? 2 3 ?? ? 2 3 ? ? cos ? ? 3 ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 3 ? ? ? 4 cos ? ?cos ? ? ?? ? 或 ? 6 6 ? ? 2
(2 3, 即两曲线的交点为

?
6

)或 (2 3, ?

?
6

)

?? ? 2 3 ?? ? 2 3 ?? ? 2 3 ? ? cos ? ? 3 ? ? ? ?? ? ?? ? 正解解析:由方程组 ? 或? ? ? 3 ? ? 2 k? ? ? ? ? 4 cos ? ?cos ? ? ?? ? 2k? ? ? 6 ? ? 6 ? 2
即两曲线的交点为 (2 3, 2k? ?

?

) 或 (2 3, 2k? ? ), k ? Z 6 6

?

在极坐标系中,有序实数对的集合 {( ? ,? ) | ? , ? ? R} 与平面内的点集不是 一一对应的. 给出一个有序数对 ( ? ,? ) ,在极坐标系中可以唯一确定一个点,但极坐标系中的一点,它的 极坐标不是唯一的,若点 M 不是极点,( ? ,? ) 是它的一个掇坐标,那么 M 有无穷多个极坐
6

标 ( ? ,? ? 2k? ) 与 (? ? ,? ? (2k ? 1)? ), k ? Z

各类题型展现:
1. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ?

? x ? 5cos ? (? 为参数) ? y ? 3sin ?

(1)求过椭圆的右焦点,且与直线 ?

? x ? 4 ? 2t (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程. ?y ? 3?t
x2 y 2 ? ? 1,? c ? 25 ? 9 ? 4 ,右焦点为 (4, 0) , 25 9
1 1 ,于是所求直线方程为 y ? ( x ? 4) 2 2

(2)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。 解析: (1)由已知得椭圆的普通方程为

直线的普通方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,所以 k ? 即 x ? 2y ? 4 ? 0 .

(2) S ? 4 | xy |? 60sin ? cos ? ? 30sin 2? , 当 2? ? 2. (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ( 2, (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 若 ? ? [0, ) , 直线 l 的参数方程为 ?

?
2

时,面积最大为 30.

?
4

) ,半径 r ? 3 .

?

4

? x ? 2 ? t cos? ( t 为参数) , 直线 l 交圆 C 于 ? y ? 2 ? t sin ?

A、B 两点,求弦长 AB 的取值范围.
解析: (Ⅰ)方法一:∵圆心 C ( 2,

?
4

) 的直角坐标为 (1,1) ,∴圆 C 的直角坐标方程为

?x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 3 .
化为极坐标方程是 ? ? 2? ?cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 .
2

方 法 二 : 如 图 , 设 圆
2 C M ?

C

上 任 意 一 点

M ?? , ? ? , 则

O2 ? M

22O ? C

?cO o M s ? O C

C O M
化 简 得

( 3) 2 ? ? 2 ? ( 2) 2 ? 2 ? ? 2 cos( ? ? ) 4
. . . . . . .4 分 ? 2 ? 2? ?c ? ? os ? ?s ? i 1? 0 n..

?

7

(Ⅱ)将 ?

? x ? 2 ? t cos? 2 2 代入圆 C 的直角坐标方程 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 3 , y ? 2 ? t sin ? ?
2 2

得 ?1 ? t cos? ? ? ?1 ? t sin ? ? ? 3

即 t 2 ? 2t ?sin ? ? cos? ? ? 1 ? 0

C O

M

所以 t1 ? t 2 ? ?2?sin ? ? cos? ?, t1 ? t 2 ? ?1 . 故 AB ? t1 ? t 2 ? ∵ ? ? [0,

x

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2
?

? 4?sin ? ? cos? ? ? 4 ? 2 2 ? sin 2? ,
2

?

) ?? 2? ? [0, ) ,∴ 2 2 ? AB ? 2 3 , 4 2

即弦长 AB 的取值范围是 [2 2, 2 3) .. . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 3. (本小题满分 10 分)

? ? ? 2 cos(? ? ) .
4

? ?x ? 已知直线 l 的参数方程是 ? ? ?y ? ? ?

2 t 2 ( t 是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 2 t?4 2 2

(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求 切线长的最小值。 解 析 : ( Ⅰ





? ? ? 2 cos(? ? ) ?? ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ?? ? 2 ? 2 ? cos ? ? 2 ? sin ?
4
得 圆的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 即 ( x ?

2 2 2 2 ) ? (y ? ) ?1, 2 2

所以 圆心 C 的直角坐标为 (

2 2 ,? ) 2 2

(Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,切线长为

(

2 2 2 2 2 2 ? ) ?( t ?4 2 ? ) ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4)2 ? 24 ? 2 6 2 2 2 2
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所以,当 t ? ?4 时,切线长的最小值为 2 6

4. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已 知 直 线 l 上 两 点 M , N 的 极 坐 标 分 别 为 ( 2,0), (

2 3 ? , ) ,圆 C 的参数方程 3 2

8

? x ? 2 ? 2 cos? (? 为参数) ? ? y ? ? 3 ? 2 sin ?
(Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 解析: (Ⅰ)由题意知, M , N 的直角坐标为 M (2,0) , M (0,
[来源:学科网]

2 3 ) ,因为 P 是线段 MN 中 3

点,则 P (1,

3 ) 3 3 x 3 2 3 ) 3

因此 OP 直角坐标方程为 y ?

(Ⅱ)因为直线 l 上两点 M (2,0) , M (0,

[来源:学科网]

∴ l 的方程为:

x y ? ? 1即 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,又圆心 (2, ? 3) ,半径 r ? 2 . 2 2 3 3

所以 d ?

| 2?3?2| 3 ? ? 2 ? r ,故直线 l 和圆 C 相交. 2 2

5.( 本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 (1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程 解析:圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ? =4cos ? ,解 ?

? ? =2 ? ? =4cos ?



? =2,? = ?

?
3



故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 (2, 示不唯一 (2) (解法一)由 ?

?

), (2, ? ) 3 3

?

……5 分

注:极坐标系下点的表

? x=? cos ? ,得圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标为 (1, 3),(1, ? 3) ? y =? sin ? ?x ? 1 故圆 C1 与圆 C2 的公 共弦的参数方程为 ? , ? 3 ? t ? 3 ( t 为参数) ?y ? t
9

(或参数方程写成 ?

?x ? 1 ,? 3 ? y ? 3 ) ?y ? y

… 10 分

? x=? cos ? 1 ,得 ? cos ? =1 ,从而 ? = cos ? ? y =? sin ? ?x ? 1 ? ? 于是圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 ? … 10 分 ,? ?? ? 3 ? y ? tan ? 3
(解法二)将 x ? 1 代入 ?

补充练习:
π? ? ? π? 1.在极坐标系中,求点?2,6?到直线 ρsin?θ-6?=1 的距离. ? ? ? ? [解] π? ? 点?2,6?化为直角坐标为( 3,1),3 分 ? ?

? 3 ? 1 ? π? 直线 ρsin?θ-6?=1 化为 ρ? sin θ- cos θ?=1, ? ? 2 2 ? ? 3 1 得 2 y-2x=1, 即直线的方程为 x- 3y+2=0,6 分 故点( 3,1)到直线 x- 3y+2=0 的距离 d= | 3- 3×1+2| 12+?- 3?2 =1.10 分

2 ? π? 2.在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l:ρsin?θ-4?= 2 . ? ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. [解] (1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,2 分

圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0,4 分 2 ? π? 直线 l:ρsin?θ-4?= ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, ? ? 2 则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1,即 x-y+1=0.6 分
2 2 ?x +y -x-y=0, ?x=0, ? (2)由 得? 8分 ?x-y+1=0, ?y=1,

π? ? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为?1,2?.10 分 ? ?

10

? π? 3.(2017· 邯郸调研)在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin?θ+4?= ? ? π? ? 1,圆 C 的圆心的极坐标是 C?1,4?,圆的半径为 1. ? ? (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长. [解] (1)设 O 为极点,OD 为圆 C 的直径,A(ρ,θ)为圆 C 上的一个动点,

π π 则∠AOD=4-θ 或∠AOD=θ-4,2 分 ?π ? ? π? OA=ODcos?4-θ?或 OA=ODcos?θ-4?, ? ? ? ? ? π? ∴圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos?θ-4?.4 分 ? ? 2 ? π? (2)由 ρsin?θ+4?=1,得 2 ρ(sin θ+cos θ)=1,6 分 ? ? ∴直线 l 的直角坐标方程为 x+y- 2=0, ? 2 2? 又圆心 C 的直角坐标为? , ?,满足直线 l 的方程, 2? ?2 ∴直线 l 过圆 C 的圆心,8 分 故直线被圆所截得的弦长为直径 2.10 分 π? ? 4.(2017· 南京调研)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C?3,3?,半径 r=3. ? ? (1)求圆 C 的极坐标方程; → → (2)若点 Q 在圆 C 上运动,点 P 在 OQ 的延长线上,且OQ=2QP,求动点 P 的轨迹方程. [解] (1)设 M(ρ,θ)是圆 C 上任意一点.

? π? 在△OCM 中,∠COM=?θ-3?,由余弦定理得 ? ? ? π? |CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM|· |OC|cos?θ-3?, ? ? ? π? 化简得 ρ=6cos ?θ-3?.4 分 ? ? (2)设点 Q(ρ1,θ1),P(ρ,θ),

11

→ → → 2→ 由OQ=2QP,得OQ=3OP, 2 ∴ρ1=3ρ,θ1=θ,8 分 2 ? π? 代入圆 C 的方程,得3ρ=6cos?θ-3?, ? ? ? π? 即 ρ=9cos?θ-3?.10 分 ? ? ?x=tcos α, ? 5. (2015· 全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1: (t 为参数, ?y=tsin α t≠0),其中 0≤α<π.在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: ρ=2sin θ,C3:ρ=2 3cos θ. (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. [解] (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0, 曲线 C3 的直角坐标方程

为 x2+y2-2 3x=0,2 分
2 2 ?x +y -2y=0, 联立? 2 2 ?x +y -2 3x=0,

3 ? ?x= 2 , ?x=0, 解得? 或? 3 ?y=0 y = ? ? 2. ? 3 3? 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和? , ?.4 分 ? 2 2? (2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α<π. 因此 A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3cos α,α).8 分 π?? ? ? 所以|AB|=|2sin α-2 3cos α|=4?sin?α-3??. ? ? ?? 5π 当 α= 6 时,|AB|取得最大值,最大值为 4.10 分 6.从极点 O 作直线与另一直线 l:ρcos θ=4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使 OM· OP=12. (1)求点 P 的轨迹方程;
12

(2)设 R 为 l 上的任意一点,求|RP|的最小值. [解] (1)设动点 P 的极坐标为(ρ,θ),M 的极坐标为(ρ0,θ),则 ρρ0=12. 2分 ∵ρ0cos θ=4, ∴ρ=3cos θ,即为所求的轨迹方程. (2)将 ρ=3cos θ 化为直角坐标方程, 得 x2+y2=3x, ? 3? ?3? 即?x-2?2+y2=?2?2. ? ? ? ? 8分 4分

3 ?3 ? 知点 P 的轨迹是以?2,0?为圆心,半径为2的圆. ? ? 直线 l 的直角坐标方程是 x=4. 结合图形易得|RP|的最小值为 1. 10 分

?x=1+3cos t, 7.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? (t 为参 ?y=-2+3sin t 数). 在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, ? π? 以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 2ρsin?θ-4?=m(m∈R). ? ? (1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. [解] (1)消去参数 t,得到圆 C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.2 分

? π? 由 2ρsin?θ-4?=m,得 ρsin θ-ρcos θ-m=0, ? ? 所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+m=0.4 分 (2)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,8 分 即 |1-?-2?+m| =2, 2

解得 m=-3± 2 2.10 分 8.极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x ?x=2+t, 轴正半轴为极轴.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 的极 ?y= 3t
13

坐标方程为 ρsin2θ=8cos θ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求弦长|AB|. [解] (1)由 ρsin2θ=8cos θ,得 ρ2sin2θ=8ρcos θ,

故曲线 C 的直角坐标方程为 y2=8x.4 分 1 x=2+2t, ? ? (2)将直线 l 的方程化为标准形式? 3 ? ?y= 2 t.

6分

16 64 代入 y2=8x,并整理得 3t2-16t-64=0,t1+t2= 3 ,t1t2=- 3 .8 分 32 所以|AB|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 3 .10 分 9.(2016· 全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求 C 的极坐标方程; ?x=tcos α, (2)直线 l 的参数方程是? (t 为参数), l 与 C 交于 A, B 两点,|AB| ?y=tsin α = 10,求 l 的斜率. [解] =0.4 分 (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R). 设 A,B 所对应的极径分别为 ρ1,ρ2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方 程得 ρ2+12ρcos α+11=0, 于是 ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.8 分 |AB|=|ρ1-ρ2|= ?ρ1+ρ2?2-4ρ1ρ2 = 144cos2α-44. 3 15 由|AB|= 10得 cos2α=8,tan α=± 3 . 15 15 所以 l 的斜率为 3 或- 3 .10 分 10.(2014· 全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴非负半 (1)由 x=ρcos θ, y=ρsin θ 可得圆 C 的极坐标方程为 ρ2+12ρcos θ+11

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π? ? 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,θ∈?0,2?. ? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中 你得到的参数方程,确定 D 的坐标. [解] (1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).

?x=1+cos t, 可得 C 的参数方程为? (t 为参数,0≤t≤π).4 分 ?y=sin t (2)设 D(1+cos t, sin t), 由(1)知 C 是以 C(1,0)为圆心, 1 为半径的上半圆. 因 为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直, π 所以直线 CD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t=3.8 分 π ? 故 D 的直角坐标为?1+cos 3,sin ? ?3 3? 即? , ?.10 分 ?2 2 ? 11.(2017· 湖北七市三联)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?x=sin α+cos α, ? (α 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极 ?y=1+sin 2α ? π? 坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ρsin?θ+4?= 2, 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2 2 ? ? ? 3π? acos?θ- 4 ?(a>0). ? ? (1)求直线 l 与曲线 C1 的交点的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π); (2)若直线 l 与 C2 相切,求 a 的值. [解] (1)曲线 C1 的普通方程为 y=x2,x∈[- 2, 2],直线 l 的直角坐标方 π? , 3? ?

程为 x+y=2,
2 ?y=x , ?x=1, ?x=-2, 联立? 解得? 或? (舍去). ?x+y=2, ?y=1 ?y=4

π? ? 故直线 l 与曲线 C1 的交点的直角坐标为(1,1),其极坐标为? 2,4?.4 分 ? ? (2)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2+2ax-2ay=0,即 (x+a)2+(y-a)2=2a2(a>0).8 分
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|-a+a-2| 由直线 l 与 C2 相切,得 = 2a,故 a=1.10 分 2 12 . (2017· 福州质检 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?x=3cos α, ? (α 为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, ?y=sin α ? π? 直线 l 的极坐标方程为 ρsin?θ-4?= 2. ? ? (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角; (2)设点 P(0,2),l 和 C 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|. [解] ?x=3cos α, x2 (1)由? 消去参数 α,得 9 +y2=1, ?y=sin α

x2 即 C 的普通方程为 9 +y2=1.2 分 ? π? 由 ρsin?θ-4?= 2,得 ρsin θ-ρcos θ=2,(*) ? ? ?x=ρcos θ, 将? 代入(*),化简得 y=x+2, ?y=ρsin θ π 所以直线 l 的倾斜角为4.4 分 π ? ?x=tcos4, (2)由(1)知, 点 P(0,2)在直线 l 上, 可设直线 l 的参数方程为? π ?y=2+tsin4 ? 为参数), 2 ? ?x= 2 t, 即? 2 ? ?y=2+ 2 t

(t

(t 为参数),

x2 2 代入 9 +y =1 并化简,得 5t2+18 2t+27=0, Δ=(18 2)2-4×5×27=108>0,8 分 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2, 18 2 27 则 t1+t2=- 5 <0,t1t2= 5 >0,所以 t1<0,t2<0,
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18 2 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)= 5 .10 分

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