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必修一高中数学各章节综合试题[1]

时间:2014-12-22


昆一中数学

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整理老师:周爽

高中数学必修一复习资料
高中数学必修——第一章集合与函数 测试题
一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1 、 图 中 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 是 A. A ? CU B B. CU A ? B C. CU ( A ? B) D. CU (

A ? B) ( U A B )

2、下列各组中的两个集合 M 和 N,表示同一集合的是 A. M ? {? } , N ? {3.14159} B. M ? {2,3} , N ? {(2,3)} C. M ? {x | ?1 ? x ? 1, x ? N} , N ? {1}





D. M ? {1, 3,? } , N ? {? ,1,| ? 3 |} )

3、已知集合 A={ x x ≤2, x ? R },B={ x x≥a},且 A ? B ,则实数 a 的取值范围是( (A)a≥-2 (B)a≤-2 (C)a≥2 (D)a≤2 4、设全集 U ? ?x | x ? 8, x ? N ??,若 A ? (CU B) ? ? 1,8?, (CU A) ? B ? ?2,6? ,

(CU A) ? (CU B) ? ?4,7?,则 ( ) (A) A ? ? (B) A ? ? 1,8?, B ? ?2,6? 1,3,5,8?, B ? ?2,3,5,6? (C) A ? ? (D) A ? ? 1,8?, B ? ?2,3,5,6? 1,3,8?, B ? ?2,5,6? 2 2 5、设 P= {x | y ? x }, Q ? {( x, y) | y ? x } ,则 P、Q 的关系是 ( )
(A)P?Q (B)P?Q 6、下列四组函数,表示同一函数的是 (A)f (x)= x 2 , g(x)=x (C)P=Q (D)P?Q= ? ( )

(B) f (x)=x, g(x)=

x x

2

(C)f (x)= x 2 ? 4 , g(x)= x ? 2 ? x ? 2 (D)f (x)=|x+1|, g(x)= ? 7、函数 y ? x ?

? x ? 1 x ? ?1 ?? x ? 1 x ? ?1
( )

x x

的图象是图中的

8、某部队练习发射炮弹,炮弹的高度 h 与时间 t 的函数关系式是 h ?t ? ? ?4.9t ?14.7t ? 18 ,则
2

炮弹在发射几秒后最高呢? A. 1.3 秒 B. 1.4 秒 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

( C. 1.5 秒

) D 1.6 秒

9、已知集合 A ? ?a, b, c,? ,则集合 A 的非空真子集的个数是 10 、 已 知 集 合 M={0 , 1 , 2} , N={ x x ? 2a, a ? M } , 则 集 合 M ? N = ,

M ?N= 。 11、A={ x -2<x<5},B={ x x≤3 或 x≥8},则( CR A ) ? ( CR B )=
2011.1

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12、设 f(x)= ?

?| x ? 1| ?2,| x |? 1, ,则 ? 1 , | x |? 1 ? ?1 ? x 2

1 f[f( )]= 2

三、解答题(每大题 13 分,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 13、已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 . (1)当 m=3 时,求集合 A ? B , A ? B ; (2)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围。

?

?

?

?

14、设集合 A ? x | x 2 ? 4x ? 0 , B ? x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 (1)若 A ? B ? B ,求 a 的值组成的集合 C。

?

?

?

(2)若 A ? B ? B ,求 a 的值。

?

15、求下列函数的值域: ⑴ y?

x ? 1;

⑵ y?

⑶ y ? ? x 2 ? 4 x ? 7 ,x ? {0,1,2,3,4};

1? x2 ; 1? x2 ⑷ y ? ? x 2 ? 4 x ? 7 (x ? [0,3])

16、某市场经营一批进价为 30 元/件的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价 x(元)与 日销售量 y(件)之间有如下表所示的关系。 x 30 40 45 50 ? ? y 60 30 15 0 ? ? (1)根据表中提供的数据,确定 y 与 x 的一个函数关系式 y=f(x) ; (2)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系,写出 P 关于 x 的函数关系式,并指出 销售单价 x 为多少元时,才能获得最大日销售利润?

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参考答案: 1—4:ADBB 5—8:DDCC 9.6 10. ?0,1,2,4? ?0,2,? 11. ? x x ? 3或x ? ?2?

12.

4 13

13.① A ? B ? ?4,5? ②m ? 3 A ? B ? ?? 2,5? 14. ① a ? ?1ora ? 1 ②a ?1 15.① ?1,??? ② ?? 1,1? ③ ?? 7,?4,?3? ④ ?? 7,?3? 16. ① y ? ?3x ? 150 ② p ? ?3( x ? 40) 2 ? 300 当 x=40 时,y 有最大值 300

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高中数学必修一第二章基本初等函数 测试题
一、选择题: 1.已知 p>q>1,0<a<1,则下列各式中正确的是 A. a ? a
p q

( B ) C. a
?p

B. p ? q
a

a

?a

?q

D. p

?a

?q

?a

2、已知 f (10 ) ? x ,则 f (5) ?
x

( D C、 lg10 D、 lg 5 ( A

) )

A、 10

5

B、 5

10

3.函数 y ? loga x 当 x>2 时恒有 y >1,则 a 的取值范围是 A.

1 ? a ? 2且a ? 1 2

B.0 ? a ?

1 1 或1 ? a ? 2 C. 1 ? a ? 2 D. a ? 1或0 ? a ? 2 2

4.北京市为成功举办 2008 年奥运会,决定从 2003 年到 2007 年五年间更新市内现有的全部出租 车,若每年更新的车辆数比前一年递增 10%,则 2003 年底更新现有总车辆数的(参考数据: 1.14=1.46,1.15=1.61) ( B ) A.10% B.16.4% C.16.8% D.20% 5. 设g(x)为R上不恒等于0的奇函数, f ( x) ? ? b的值为 A.2 B.1 C.

1? ? 1 ? ? g ( x) (a>0且a≠1)为偶函数,则常数 x ? a ?1 b ?
( C )

1 2

D.与a有关的值 ( A )

6.当 a ? 0 时,函数 y ? ax ? b 和 y ? b ax 的图象只可能是

?1? 7、设 y1 ? 4 , y2 ? 8 , y3 ? ? ? ,则 ? 2? A、 y3 ? y1 ? y2 B、 y2 ? y1 ? y3
0.9 0.48
1 3

?1.5

( C、 y1 ? y3 ? y2

C )

D、 y1 ? y2 ? y3 )

8.设f(x)=ax,g(x)=x ,h(x)=logax,a满足loga(1-a2)>0,那么当x>1时必有 ( B A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x) C.f(x)<g(x)<h(x) D.f(x)<h(x)<g(x)

9、某商品价格前两年每年递增 20% ,后两年每年递减 20% ,则四年后的价格与原来价格比较, 变化的情况是( A ) A、减少 7.84% B、增加 7.84% C、减少 9.5% D、不增不减 10. 对于幂函数 f ( x) ? x , 若 0 ? x1 ? x2 , 则 f( A. f (
4 5

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

x1 ? x 2 f ( x ) ? f ( x2 ) ), 1 大小关系是 ( A ) 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? B. f ( 1 2 2
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C. 二、填空题

f(

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

D. 无法确定

11.已知函数 f (x)的定义域是(1,2) ,则函数 f (2 x ) 的定义域是 (0,1) . 12.我国 2000 年底的人口总数为 M,要实现到 2010 年底我国人口总数不超过 N(其中 M<N) , 则人口的年平均自然增长率 p 的最大值是 10

N -1 . M

13.将函数 y ? 2 x 的图象向左平移一个单位,得到图象 C1,再将 C1 向上平移一个单位得到图象 C2,作出 C2 关于直线 y=x 对称的图象 C3,则 C3 的解析式为 y ? log2 ( x ? 1) ? 1 .
1
1 3 a

14.已知-1<a<0,则三个数 3a , a 3 , a 3 由小到大的顺序是 a 3 ? a ? 3 . 15. y ? x a
2

?4 a ?9

是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是
2

5

.

16.函数y= log 1 ( x ? 4 x ? 12) 的单调递增区间是 (??,?2) .
2

17.方程 log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2 的解为 0 三、解答题: 18、判断函数 f ( x) ? lg

?

x2 ? 1 ? x 的奇偶性单调性。

?

奇函数,函数是减函数。 解:∵ x ? R, f (? x) ? lg

? x ?1 ? x? ∴ f ( x) ? f (? x) ? lg ? x ? 1 ? x ? ? lg ? x ? 1 ? x ? ? lg ? x ? 1 ? x ? ? lg1 ? 0 即 f ( x) ? ? f (? x) ,∴函数 f ( x) ? lg ? x ? 1 ? x ? 是奇函数。 ?
x2 ? 1 ? x , f ( x) ? lg
2 2 2 2 2

?

2

设 x1 ? x2 , x1 , x2 ? R ,设 u ( x) ? 则 f ( x1 ) ? lg

?

x12 ? 1 ? x1 , f ( x2 ) ? lg

且 u( x2 ) ? u( x1 ) ?

?

?

x2 ? 1 ? x ,

x22 ? 1 ? x2 ?

??

?

x22 ? 1 ? x2

x12 ? 1 ? x1 ?

? ?

?

x22 ? 1 ? x12 ? 1 ? ? x2 ? x1 ?

?

?

? x ? x ? x 2 ?1 ? x 2 ?1 ? 2 1 ? 2 1 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? x2 ? x1 ?? 2 2 2 2 ? ? x2 ? 1 ? x1 ? 1 x ? 1 ? x ? 1 2 1 ? ? x2 2 ? x12
2 2

∵ x2 ? 1 ? x2 ≥ x2 , x1 ? 1 ? x1 ≥ x1 ,∴ x2 ?

x2 2 ? 1 ? 0, x1 ? x12 ? 1 ? 0

∴ u( x2 ) ? u( x1 ) ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴函数 f ( x) ? lg

?

x2 ? 1 ? x 在定义域内是减函数。

?

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19.已知函数 y ? b ? a x ymin=

2

?2 x

(a、b 是常数且 a>0,a≠1)在区间[-

3 ,0]上有 ymax=3, 2

5 ,试求 a 和 b 的值. 2
3 ,0] ∴当 x=-1 时,umin=-1 2
当 x=0 时,umax=0

解:令 u=x2+2x=(x+1)2-1 x∈[-

?b ? a 0 ? 3 ?a ? 2 ? 1)当a ? 1时? 5 解得? ?1 ?b ? 2 ?b ? a ? 2 ? ? ?b ? a ?1 ? 3 a? ? ? ? 2)当0 ? a ? 1时? 解得 ? 5 0 ?b ? a ? ?b ? 2 ? ? ? 2 ? a? ?a ? 2 ? ? 3 综上得? 或? . b ? 2 3 ? ?b ? ? 2 ?

2 3 2 2

20.已知函数f(x)=lg(a x2+2x+1) (1)若f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围及f(x)的值域; (2)若f(x)的值域是R,求实数a的取值范围及f(x)的定义域. 解: (1)因为f(x)的定义域为R,所以ax2+2x+1>0对一切x ? R成立.

?a ? 0, 1 1 解得a>1. 又因为ax2+2x+1=a(x+ )+1- >0, a a ?? ? 4 ? 4a ? 0, 1 所以f(x)=lg(a x2+2x+1) ? lg(1- ),所以实数a的取值范围是(1,+ ? ) , a
由此得 ?
? 1? f(x)的值域是 ?lg? ?1 ? ?,?? ? ? ? ? a? ? ?

( 2 ) 因为f(x)的值域是R,所以u=ax2+2x+1的值域 ? (0, + ? ). 当a=0时,u=2x+1的值域为R ? (0, + ? ); a ? 0, 当a≠0时,u=ax2+2x+1的值域 (0, + ? )等价于 ?

?

? ? 4a ? 4 ? 0. ? ? 4a

解之得0<a ? 1.

所以实数a的取值范围是[0.1]

当a=0时,由2x+1>0得x>-

1 , 2

f (x)的定义域是(-

1 ? ,+ ); 当0<a ? 1时,由ax2+2x+1>0 2
a

解得 x ? ? 1 ? 1 ? a 或x ? ? 1 ? 1 ? a
a

? ? ? ? f (x)的定义域是 ? ? ?,? 1 ? 1 ? a ? ? ? ? 1 ? 1 ? a ,?? ? ? ? ? ? a a ? ? ? ?

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21. (14分)某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系是

0 ? t ? 25, t ? N , ?t ? 20, 该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是 p?? 25 ? t ? 30, t ? N . ??t ? 100, Q ? ?t ? 40 (0 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的
一天是30天中的第几天? 解:设日销售金额为 y(元) ,则 y=p ? Q.
2 ? 0 ? t ? 2 5 t, ? N , ??t ? 20t ? 800, ?y ?? 2 ? ?t ? 140t ? 4000, 2 5? t ? 3 0t, ? N . 2 , ?N , ?? ? (t ? 10) ? 900, 0 ? t ? 2 5 t ?? 2 2 5? t ? 3 0t, ? N . ? ?(t ? 70) ? 900,

当 0 ? t ? 25, t ? N ,t=10 时, y max ? 900(元); 当 25 ? t ? 30, t ? N ,t=25 时, y max ? 1125(元) . 由1125>900,知ymax=1125(元) ,且第25天,日销售额最大. 22.如图,A,B,C 为函数 y ? log 1 x 的图象 上的三点,它们的横坐标分别是 t, t+2, t+4(t ? 1). (1)设 ? ABC的面积为S 求S=f (t) ; (2)判断函数S=f (t)的单调性; (3) 求S=f (t)的最大值. 解: (1)过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴,垂足为A1,B1,C1, 则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S梯形AA1C1C.
2

? log1
3
2

t 2 ? 4t 4 ? log3 (1 ? 2 ) 2 (t ? 2) t ? 4t

(2)因为v= t ? 4t 在 [1,??) 上是增函数,且v ? 5,

4 9 ? 9? v ? 1 ? 在?5. ? ? ? 上是减函数,且1<u ? ; S ? log3 u在?1, ? 上是增函数, v 5 ? 5? 4 )在?1,?? ? 上是减函数 所以复合函数S=f(t) ? log 3 (1 ? 2 t ? 4t 9 (3)由(2)知t=1时,S有最大值,最大值是f (1) ? log 3 ? 2 ? log 3 5 5

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第三章
一、基本内容串讲

函数的应用

本章主干知识是:零点与方程根,用二分法求方程的近似解,函数的模型及其应用 1.函数与方程 (1)方程的根与函数的零点:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a , b) 内有零点,即存在

c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。
(2)二分法:二分法主要应用在求函数的变号零点当中,牢记二分法的基本计算步骤,即 基本思路为:任取两点 x1 和 x2,判断(x1,x2)区间内有无一个实根,如果 f(x1)和 f(x2)符 号相反,说明(x1,x2)之间有一个实根,取(x1,x2)的中点 x,检查 f(x)与 f(x1)是否同 符号,如果不同号,说明实根在(x,x1)区间,这样就已经将寻找根的范围减少了一半了.然后 用同样的办法再进一步缩小范围,直到区间相当小为止. 2.函数的模型及其应用 (1)几类不同增长的函数模型 利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指 数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 (2) 函数模型及其应用 建立函数模型解决实际问题的一般步骤:①收集数据;②画散点图,选择函数模型;③待定 系数法求函数模型;④检验是否符合实际,如果不符合实际,则改用其它函数模型,重复②至④ 步;如果符合实际,则可用这个函数模型来解释或解决实际问题. 解函数实际应用问题的关键:耐心读题,理解题意,分析题中所包含的数量关系(包括等量 关系和不等关系) . 二、考点阐述 考点 1 函数的零点与方程根的联系(A ) 1、已知 f ( x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下面命题错误的( A.函数 f ( x) 在 (1, 2) 或 ? 2,3? 内有零点 C.函数 f ( x) 在 (2,5) 内有零点 解析:C B.函数 f ( x) 在 (3,5) 内无零点 D.函数 f ( x) 在 (2, 4) 内不一定有零点 )

唯一的零点必须在区间 (1,3) ,而不在 ?3,5?
2

2、 .如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是(
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A. ?? 2,6? 解析:D

B. ?? 2,6?

C. ?? 2,6?

D. ? ??, ?2? ? ? 6, ???

? ? m2 ? 4(m ? 3) ? 0, m ? 6 或 m ? ?2


3、 求 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x ? 1 零点的个数为 ( A. 1 解析:C B. 2 C. 3 D. 4

f ( x) ? 2x3 ? 3x ? 1 ? 2x3 ? 2x ? x ? 1 ? 2x( x2 ?1) ? ( x ?1)

? ( x ?1)(2 x2 ? 2 x ?1) , 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 显然有两个实数根,共三个;
4、函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为 解析: 。

2

分别作出 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x ? 2 的图象;

考点 2 用二分法求方程的近似解( C 关注探究过程) 5.用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,那么下一个
3

有根的区间是 解析:



? 2, 2.5?

令 f ( x) ? x3 ? 2x ? 5, f (2) ? ?1 ? 0, f (2.5) ? 2.53 ?10 ? 0

6 . 设 f ?x? ? 3 x ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内 近 似 解 的 过 程 中 得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间(
A. (1,1.25) 解析:B B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2)



D.不能确定

f ?1.5? ? f ?1.25? ? 0 。

考点 3 函数的模型及其应用( D 关注实践应用) 7、某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行了连续 5 年的观测,并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测: (1)如果不采 取任何措施,那么到 2010 年底,该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷; (2)如果从 2000 年 底后采取植树造林等措施,每年改造 0.6 万公顷沙漠,那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到 90 万公顷? 观测时间 1996 年底 1997 底 该地区沙漠比原有面积 增加数(万公顷)
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1998 底 0.6001



1999 底 0.7999



2000 年底

0.2000

0.4000

1.0001

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解析: (1)由表观察知,沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次函数

y=kx+b 的图象。
将 x=1,y=0.2 与 x=2,y=0.4,代入 y=kx+b,求得 k=0.2,b=0, 所以 y=0.2x(x∈N) 。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷,则到 2010 年底沙漠面积大约为 95+0.5×15=98(万公顷) 。 (2)设从 1996 年算起,第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷,由题意得 95+0.2x-0.6(x-5)=90, 解得 x=20(年) 。故到 2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。 三、解题方法分析 1.函数零点的求法 【方法点拨】对于一些比较简单的方程,我们可以通过因式分解、公式等方法求函数的 零点, 对于不能用公式解决的方程,我们可以把这些方程 f ?x ? ? 0 与函数 y ? f ?x ? 联系起 壹点, 来,并利用函数的图象和性质找出零点,从而求出方程的根。 例 1 求函数 y=x -2x -x+2 的零点. 【解析】:对求简单的三次函数的零点:一般原则是进行分解因式,再转化为求方程的根将零点 求出.y=x -2x -x+2=(x-2) (x-1) (x+1) ,令 y=0 可求得已知函数的零点 为-1、1、2. 【点评】:本题主要考查考生对函数零点概念的理解,函数零点与方程的关系. 2.二分法求方程近似解 【方法点拨】对于在区间 [a , b] 上连续不断,且满足 f ( a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) , 通过不断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值. 例 2 借助计算器或计算机,用二分法求方程 ln?2x ? 6? ? 2 ? 3 在区间(1,2)内的近似解
x
3 2 3 2

(精确到 0.1) 。 【解析】:原方程即 ln?2x ? 6? ? 3 ? 2 ? 0 ,令 f ?x? ? ln?2x ? 6? ? 3 ? 2 ,用计算器或计算机
x x

作出函数 x 、 f ?x ? 的对应值表(如下表)和图象(如下图) 。

x
f ?x ?

-2 2.5820

-1 3.0530

0 2.7918

1 1.0794

2 -4.6974

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观察图或上表可知 f ?1? ? f ?2? ? 0 ,说明这个函数在区间(1,2)内有零点 x0 。 取区间(1,2)的中点 x1 ? 1.5 ,用计算器可得 f ?1.5? ? ?1.00 。因为 f ?1? ? f ?1.5? ? 0 ,所 以 x0 ? ?1,1.5? 。 再取 (1, 1.5) 的中点 x2 ? 1.25 , 用计算器可算得 f ?1.25? ? 0.20 。 因为 f ?1.25? ? f ?1.5? ? 0 , 所以 x0 ? ?1.25,1.5?。 同理,可得 x0 ? ?1.25,1.375? , x0 ? ?1.25,1.3125 ?。

? 的两个端点精确到 0.1 的近似值 由于|1.3125-1.25|=0.0625<0.1, 此时区间 ?1.25,1.3125
都是 1.3,所以原方程精确到 0.1 的近似值为 1.3。 【点评】:一般地,对于不能用公式法求根的方程 f(x)=0 来说,我们用二分法求出 方程的近似解. 3.利用给定函数模型解决实际问题 【方法点拨】这类问题是指在问题中明确了函数关系式,我们需要根据函数关系式来处 理实际问题,有时关系式中带有需确定的参数,这些参数需要根据问题的内容或性质来 确定之后,才能使问题本身获解. 例 3 有甲乙两种产品, 生产这两种产品所能获得的利润依次是 P 和 Q 万元, 它们与投入资金 x (万 元)的关系为: P ?

3 3 ? x2 , Q ? (? x ? 3) ,今投入 3 万元资金生产甲、乙两种产品,为获得最 4 4

大利润,对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少?最大利润是多少? 【解析】: 设投入甲产品资金为 x 万元( 0 ? x ? 3) ,投入乙产品资金为(3-x)万元,总利润 为 y 万元. 则 y ? P?Q ?

1 3 1 3 21 (3 ? x 2 ) ? x = ? ( x ? ) 2 ? 4 4 4 2 16

当x ?

3 21 时,ymax ? 2 16
2011.1

答:

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对甲、乙产品各投资为 1.5 万元,获最大利润为

21 万元。 16

【点评】:本题是给定函数求二次函数最值的应用问题,解答这类的问题关键是通过配方 求二次函数的最值。 4.建立确定的函数模型解决实际问题 【方法点拨】通过观察图表,判断问题适用的函数模型,借助计算器或计算机对数据进 行处理,利用待定系数法得出具体的函数解析式,再利用得到的函数模型解决相应的问题。 例4 2008 年 5 月 12 日,四川汶川地区发生里氏 8.0 级特大地震.在随后的几天中,地

震专家对汶川地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表: 强度(J) 震级(里氏) 1.6 ? 10 5.0
19

3.2 ? 10 5.2

19

4.5 ? 10 5.3

19

6.4 ? 10 5.4

19

注:地震强度是指地震时释放的能量 (1)画出震级( y )随地震强度( x )变化的散点图; (2)根据散点图,从下列函数中选取选取一个函数描述震级( y )随地震强度( x )变化关系:

y ? kx ? b, y ? a lg x ? b , y ? a ? 10x ? b
(3)四川汶川地区发生里氏 8.0 级特大地震时释放的能量是多少?(取 lg 2 ? 0.3 ) 【解析】: (1)散点图如下图:

(2)根据散点图,宜选择函数 y ? a lg x ? b 。

?5.0 ? a lg(1.6 ? 1019 ) ? b ? (3)根据已知,得 ? 解得: a ? 0.7, b ? ?7.8 ?5.2 ? a lg(3.2 ? 1019 ) ? b ?
? y ? 0.7 lg x ? 7.8
2011.1

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当 y ? 8.0 时, x ? 10 (J)
24

【点评】:函数模型的选择一方面要分析题中的实际意义,另一方面,要考虑函数的本身特点。 四、课堂练习 1.函数 f(x)=2x+7 的零点为 A、7 2.方程 x ? A、 (0,1) B、 ( C、 ? )

7 2

7 2

D、-7 ( ) D、 (2,3)

1 ? 0 的一个实数解的存在区间为 x
B、 (0.5,1.5)

C、 (-2,1)

3 . 设 f ?x? ? 3 x ? 3x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 x ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,2? 内 近 似 解 的 过 程 中 得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间( )
A
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(1,1.25)

B

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(1.25,1.5)

C

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(1.5, 2)

D

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不能确定 ) D、小于 0

4.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间(1,2)内的函数值为(
2

A、大于等于 0

B、等于 0

C、大于 0

5. 某人骑自行车沿直线匀速旅行, 先前进了 a 千米, 休息了一段时间, 又沿原路返回 b 千米 (b<a) , 再前进 c 千米,则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是( )

6.若方程 a ? x ? a ? 0 有两个实数解,则 a 的取值范围是(
x



A

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(1, ??)
2

B

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(0,1)

C

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(0, 2)

D

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(0, ??)

7.方程 x ? x ? 1 ? 0 的实数解的个数为________________。 8.某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比,且比例系数为 a,其余 费用与船的航行速度无关,约为每小时 b 元,若该船以速度 v 千米/时航行,航行每千米耗去的 总费用为 y (元) ,则 y 与 v 的函数解析式为________. 9.有一块长为 20 厘米,宽为 12 厘米的矩形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形, 然后折成一个无盖的盒子。则盒子的容积 V 与 x 的函数关系式是 。
2011.1

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10.老师今年用 7200 元买一台笔记本。电子技术的飞速发展,计算机成本不断降低,每隔一年 计算机的价格降低三分之一。三年后老师这台笔记本还值 11.已知函数 f ? x ? 的图象是连续不断的,有如下的 x , f ?x ? 对应值表:

x
f ?x ?

-2 -3.51

-1.5 1.02

-1 2.37

-0.5 1.56

0 -0.38

0.5 1.23

1 2.77

1.5 3.45

2 4.89

函数 f ?x ? 在哪几个区间内有零点?为什么? 12. 一个体户有一种货, 如果月初售出可获利 100 元, 再将本利都存入银行, 已知银行月息为 2. 4%, 如果月末售出可获利 120 元,但要付保管费 5 元,问这种货是月初售出好,还是月末售出好? 13.证明:函数 f ( x ) ?

2x ? 5 在区间(2,3)上至少有一个零点。 x2 ? 1
3

14.有一片树林现有木材储蓄量为 7100 cm ,要力争使木材储蓄量 20 年后翻两番,即达到 28400

cm3. (1)求平均每年木材储蓄量的增长率. (2)如果平均每年增长率为 8%,几年可以翻两番?
15.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别是 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为 了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y 与 月份 x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 y ? a ? b ? c (其中 a, b, c 为常数) 已知 4 月
x
王新敞
奎屯 新疆

份该产品的产量为 1.37 万件, 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由 参考答案

王新敞
奎屯

新疆

1-6 C B B D C A 6 提示:作出图象,发现当 a ? 1 时,函数 y ? a x 与函数 y ? x ? a 有 2 个交点。 7.2 8. y=av +
2

b (v>0) v

9. V ( x) ? x ? 20 ? 2x ??12 ? 2x ? (0 ? x ? 6)

10.

6400 3

11.解:因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知 f ?? 2? ? f ?? 1.5? ? 0 ,

f ?? 0.5? ? f ?0? ? 0 , f ?0? ? f ?0.5? ? 0 ,所以函数 f ?x ? 在区间(-2,-1.5) ,
(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点。 12.解:设成本费为 a 元,则若月初售出,到月末共获利润为:y1=100+(a+100)×2.4% 若月末售出,可获利 y2=120-5=115(元) ,y1-y2=0.024a-12.6=0.024(a-525) 故当成本大于 525 元时,月初售出好;成本小于 525 元时,月末售出好. 13. 证明:? 函数 f ( x ) ?

2x ? 5 的定义域为 R,? 函数 f(x)的图像在区间(2,3)上是连续的。 x2 ? 1
2011.1

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整理老师:周爽

? f (2) ?

2 ? 2 ? 5 ?1 2?3 ? 5 1 ? ? 0 ,f (3) ? 2 ? ?0, ? f(2)f(3)<0,? 函数 f(x)在区间(2,3) 2 2 ?1 5 3 ? 1 10
20 20

上至少有一个零点。 14.解: (1)设增长率为 x,由题意得 28400=7100(1+x) ,∴(1+x) =4, 20lg(1+x)=2lg2,lg(1+x)≈0.03010,∴1+x≈1.072,∴x≈0.072=7.2% (2) 设 y 年可以翻两番, 则 28400=7100 (1+0. 08), 即 1. 08 =4, ∴y= 故 18 年后可翻两番。 15.解:根据题意,该产品的月产量 y 是月份 x 的函数,可供选用的函数有两种,其中哪一种函 数确定的 4 月份该产品的产量愈接近于 1.37 万件,哪种函数作为模拟函数就较好,故应先确定
2 出 这 两 个 函 数 的 具 体 解 析 式 设 y1 ? f ( x) ? px ? qx ? r ( p, q, r 为 常 数 , 且 p ? 0) ,
王新敞
奎屯 新疆

y

y

2 lg 2 0.6020 ? ? 18.02 , lg1.08 0.0334

? p ? q ? r ? 1, ? ab ? c ? 1, ? ? y2 ? g ( x) ? a ? b ? c , 根 据 已 知 , 得 ?4 p ? 2q ? r ? 1.2, 或 ?ab2 ? c ? 1.2, ? 9 p ? 3q ? r ? 1.3, ? ab3 ? c ? 1.3, ? ?
x

? p ? ?0.05, q ? 0.35, r ? 0.7; a ? ?0.8, b ? 0.5, c ? 1.4,

? f ( x) ? ?0.05x 2 ? 0.35x ? 0.7.g ( x) ? ?0.8 ? 0.5 x ? 1.4 ,? f (4) ? 1.3, g (4) ? 1.35
显然 g (4) 更接近于 1.37,故选用 y ? ?0.8 ? 0.5 x ? 1.4 作为模拟函数较好

王新敞
奎屯

新疆

2011.1


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